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Multiplicación de polinomios

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Monomios y polinomios (recordatorio)

  • Grado de un polinomio (recordatorio)

  • Método para multiplicar polinomios

  • Grado del polinomio producto (grado del resultado)

  • Productos notables: cuadrado de un binomio y suma por diferencia.

  • 10 problemas resueltos: multiplicación de polinomios.

1. Introducción

En esta página vamos a ver cómo multiplicar polinomios, por ejemplo, multiplicar los polinomios \(3x+1\) y \(2-x^2\):

$$(3x+1)\cdot (2-x^2) =$$

$$=-3x^3-x^2+6x+2 $$

Después, hablaremos sobre la relación que hay entre el grado del polinomio del resultado con el grado de los polinomios del producto. También, calcularemos las fórmulas de algunos productos notables, como el cuadrado y el cubo de un binomio. Para terminar, resolveremos 10 problemas de productos de polinomios.

Nota: la parte literal de los monomios con los que trabajaremos tienen sólo potencias de \(x\).

2. Monomios y polinomios

Recordatorio de los conceptos de monomio, binomio, trinomio y polinomio.

Ver texto

3. Grado de un polinomio

Concepto de grado de un polinomio.

Ver texto

4. Método para multiplicar

El resultado de multiplicar dos polinomios es la suma del producto de todos los monomios del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio.

Importante: las multiplicaciones incluyen los signos de los monomios.

Recordatorio: al multiplicar dos potencias con la misma base, los exponentes se suman. Por ejemplo,

$$ x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5 $$

Ejemplo 1

Multiplicación de polinomios: método, ejemplos y problemas resueltos paso a paso. Monomios, binomios, trinomios y polinomios. Producto de polinomios y productos notables. Secundaria. Álgebra. Expresiones algebraicas.

Vamos a multiplicar el binomio \(2x+3\) por el monomio \(4x\). Para ello, multiplicamos \(2x\) por \(4x\) y \(3\) por \(4x\):

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El producto \(2x\cdot 4x\) se simplifica multiplicado sus coeficientes y sumando los exponentes de sus partes literales (1 y 1):

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Hacemos lo mismo con el producto \(3\cdot 4x\) (ahora los exponentes son 0 y 1):

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Por tanto, el producto calculado es

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Ejemplo 2

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Vamos a multiplicar los binomios \(x+2\) y \(6x+1\).

Primero, multiplicamos el monomio \(x\) del primer polinomio por los dos monomios del segundo. Después, hacemos lo mismo con el segundo monomio (\(+2\)):

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Simplificamos el resultado (multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes de las partes literales):

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Podemos simplificar más:

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Por tanto,

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Ejemplo 3

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Vamos a multiplicar los binomios \(2x+3\) y \(5x-2\). ¡Cuidado con el signo negativo!

Primero, multiplicamos el monomio \(2x\) del primer polinomio por los dos monomios del segundo. Después, hacemos lo mismo con el segundo monomio (\(+3\)):

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Simplificamos el resultado:

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Podemos simplificar más:

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Por tanto,

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5. Grado del resultado

El grado del polinomio que se obtiene al multiplicar dos polinomios es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Ver ejemplos

6. Productos notables

Cuadrado de un binomio (suma):

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Cuadrado de un binomio (resta):

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Suma por diferencia:

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Ver texto y ejemplos

Las fórmulas de los productos notables se obtienen multiplicando los monomios uno a uno. Más información: Productos notables.

X

Problemas Resueltos

Problema 1

Calcular los siguientes productos de monomios:

  • \( 2x\cdot 3x\)

  • \(-5\cdot 4x\)

  • \( -3\cdot (-2x)\)

  • \(x^7\cdot (-x^2)\)

  • \(-x^2\cdot (-x^3)\)

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Problema 2

Calcular los siguientes productos de un monomio por un binomio:

  • \( 3x\cdot (1+x^2)\)

  • \( (2x-5)\cdot x^3\)

  • \( (5x-2)\cdot (-x^2)\)

  • \((2-5x)\cdot (-x^3)\)

  • \( (-2x)\cdot (-x^2-1)\)

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Problema 3

Calcular los siguientes productos de un monomio por un trinomio:

  • \( 3x\cdot (1+2x+3x^2)\)

  • \( 2x^2 \cdot (1-2x+2x^3)\)

  • \( -5x^3 \cdot (x^2-x^3+2)\)

  • \( (5x^4 -3x^2-1)\cdot x\)

  • \( (x^2-x^5-x)\cdot (-3x^5)\)

Ver solución

Problema 4

Sin calcular el producto, ¿cuál es el grado del polinomio resultado de los siguientes productos?

  • \( (2+x)\cdot (x^2-1)\)

  • \( (x^2-x^4)\cdot (2x-x^2)\)

  • \( (x^2-x^6+4)\cdot (5x-6x^3+2)\)

  • \( (3+x^2)\cdot (x-3x^8-x^2)\)

  • \( (3x^2+x^3)\cdot (x^3-2x^2)\cdot (1-x^7)\)

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Problema 5

Calcular, con o sin fórmula, los siguientes binomios al cuadrado:

  • \( (1+x)^2 \)

  • \( (x^2+1)^2 \)

  • \( (x-4)^2 \)

  • \( (x^2-2)^2 \)

  • \( (-2-x^2)^2 \)

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Problema 6

Calcular los siguientes productos (suma por diferencia) sin aplicar la fórmula:

  • \( (1-2x)\cdot (1+2x)\)

  • \( (x^2-x)\cdot (x^2+x)\)

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Problema 7

El producto "suma por diferencia" es un producto notable cuya fórmula es

$$ (a+b)\cdot (a-b) = a^2 -b^2$$

  • Calcular los productos del problema anterior aplicando la fórmula.

  • Obtener la fórmula calculando el producto \((a+b)\cdot (a-b)\).

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Problema 8

Calcular el siguiente producto de polinomios con coeficientes racionales (fracciones):

$$ \left( \frac{2}{3}\cdot x \right)\cdot (1+5x) $$

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Problema 9

Calcular el siguiente producto de polinomios con coeficientes racionales (fracciones):

$$ \left( \frac{2}{3}\cdot x -2 \right)\cdot (3-\frac{1}{2}\cdot x^2 ) $$

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Problema 10

Calcular el producto

$$ (x+2)\cdot (x+2)\cdot (x+2) $$

Comprobar que se obtiene el mismo resultado aplicando la fórmula del cubo de un binomio:

$$ (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3$$

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