Multiplicación de polinomios

Contenido de esta página:

Introducción
Monomios y polinomios (recordatorio)
Grado de un polinomio (recordatorio)
Método para multiplicar polinomios
Grado del polinomio producto (grado del resultado)
Productos notables: cuadrado de un binomio y suma por diferencia.
10 problemas resueltos: multiplicación de polinomios.

1. Introducción

En esta página vamos a ver cómo multiplicar polinomios, por ejemplo, multiplicar los polinomios $3x+1$ y $2-x^2$:

$$(3x+1)\cdot (2-x^2) =$$

$$=-3x^3-x^2+6x+2 $$

Después, hablaremos sobre la relación que hay entre el grado del polinomio del resultado con el grado de los polinomios del producto. También, calcularemos las fórmulas de algunos productos notables, como el cuadrado y el cubo de un binomio. Para terminar, resolveremos 10 problemas de productos de polinomios.

Nota: la parte literal de los monomios con los que trabajaremos tienen sólo potencias de $x$.

2. Monomios y polinomios

Recordatorio de los conceptos de monomio, binomio, trinomio y polinomio.

Un monomio es el producto de un número real (un número positivo, negativo o cero) por una o varias variables literales.

Un ejemplo de monomio es $ -5x^2$, que también podemos escribir como $-5\cdot x^2$ ó $-5\cdot x\cdot x$.

El número del monomio (con signo) se denomina coeficiente del monomio. El resto del monomio (variables literales, es decir, las letras) se denomina parte literal del monomio.

En el monomio $-5x^2$, el coeficiente es $-5$ y la parte literal es $x^2$.

Un monomio puede no tener parte literal. Por ejemplo, el monomio $4$ no tiene parte literal. En este caso, puede considerarse que la parte literal tiene exponente nulo: $ 4 = 4x^0$.
Un monomio puede no tener coeficiente, por ejemplo, $x^2$. En realidad, esto ocurre cuando el coeficiente es 1: $ x^2 = 1\cdot x^2$.

Un binomio es una expresión algebraica constituida por dos monomios. Por ejemplo, $ 3x -x^2$.

Un trinomio está constituido por tres monomios. Por ejemplo, $2x-3x^2+x^3$.

Un polinomio está constituido por varios monomios. Por ejemplo, $x^2-x^5-x$.

Recordad que dos monomios sólo se pueden sumar (o restar) cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplos:

Los monomios $3x$ y $5x$ se pueden sumar: $$ 3x+5x = 8x $$
Los monomios $3x$ y $5x^2$ no se pueden sumar.
Los monomios $2x$ y $3y$ no se pueden sumar.

3. Grado de un polinomio

Concepto de grado de un polinomio.

En esta página, la parte literal de los monomios es una potencia de $x$. Por ejemplo, $3x$, $2x^2$, $4x^5$,... En esta situación, se define el grado de un monomio como el exponente de su parte literal.

Ejemplos:

El grado de $3x^2$ es 2.
El grado de $5x$ es 1.
El grado de $7$ es 0 porque $7 = 7x^0$.

El grado de un polinomio es al mayor de los grados de los monomios que lo conforman.

Ejemplos:

El grado del binomio $x-2x^3$ es 3.
El grado del trinomio $x-x^2-5$ es 2.
El grado del polinomio $x^2-x-3x^5+2$ es 5.

4. Método para multiplicar polinomios

El resultado de multiplicar dos polinomios es la suma del producto de todos los monomios del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio.

Importante: las multiplicaciones incluyen los signos de los monomios.

Recordatorio: al multiplicar dos potencias con la misma base, los exponentes se suman. Por ejemplo,

$$ x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5 $$

Ejemplo 1

Multiplicación de polinomios: método, ejemplos y problemas resueltos paso a paso. Monomios, binomios, trinomios y polinomios. Producto de polinomios y productos notables. Secundaria. Álgebra. Expresiones algebraicas.

Vamos a multiplicar el binomio $2x+3$ por el monomio $4x$. Para ello, multiplicamos $2x$ por $4x$ y $3$ por $4x$:

El producto $2x\cdot 4x$ se simplifica multiplicado sus coeficientes y sumando los exponentes de sus partes literales (1 y 1):

Hacemos lo mismo con el producto $3\cdot 4x$ (ahora los exponentes son 0 y 1):

Por tanto, el producto calculado es

Ejemplo 2

Vamos a multiplicar los binomios $x+2$ y $6x+1$.

Primero, multiplicamos el monomio $x$ del primer polinomio por los dos monomios del segundo. Después, hacemos lo mismo con el segundo monomio ($+2$):

Simplificamos el resultado (multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes de las partes literales):

Podemos simplificar más:

Por tanto,

Ejemplo 3

Vamos a multiplicar los binomios $2x+3$ y $5x-2$. ¡Cuidado con el signo negativo!

Primero, multiplicamos el monomio $2x$ del primer polinomio por los dos monomios del segundo. Después, hacemos lo mismo con el segundo monomio ($+3$):

Simplificamos el resultado:

Podemos simplificar más:

Por tanto,

5. Grado del resultado

El grado del polinomio que se obtiene al multiplicar dos polinomios es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Ejemplos:

El producto de un polinomio de grado 1 y de uno de grado 2 es un polinomio de grado 3. Por ejemplo,

El producto de dos polinomios de grado 2 es un polinomio de grado 4. Por ejemplo,

6. Productos notables

Cuadrado de un binomio (suma):

Cuadrado de un binomio (resta):

Suma por diferencia:

Recordad que una potencia representa el producto de un factor por sí mismo tantas veces como indica el exponente. Por ejemplo, la potencia $2^2$ es el producto $2\cdot 2$.

Al igual que hacemos con los números, cuando tenemos un polinomio multiplicado por sí mismo, podemos escribirlo en forma de potencia.

Ejemplos:

Binomio al cuadrado:

Binomio al cubo:

Podemos calcular estas potencias multiplicando uno a uno los monomios, pero tenemos las fórmulas anteriores para obtener el resultado más rápidamente.

Ejemplo:

Aplicamos la fórmula de la suma al cuadrado para calcular el cuadrado $(2x+1)^2$: