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Rectas y parábolas

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Recordatorio de rectas y parábolas

  • 10 problemas resueltos sobre rectas

  • 10 problemas resueltos sobre parábolas


Introducción

Las rectas y las parábolas son los primeros tipos de funciones que estudiamos al iniciarnos en el Análisis Matemático. Son funciones continuas (su gráfica se puede dibujar de un solo trazo) y su dominio es todos los reales, es decir, el valor de \(x\) puede ser cualquier número.

En esta página resolvemos problemas típicos (y básicos) de rectas y de parábolas (del plano). Por ejemplo: obtener la ecuación conociendo algunos de sus puntos, su pendiente (en las rectas) o su vértice (en las parábolas). También, calcular puntos de corte con los ejes de coordenadas o los puntos de intersección entre dos rectas o dos parábolas.

Para resolver los problemas necesitamos, por supuesto, resolver ecuaciones de primer grado y ecuaciones de segundo grado. No utilizaremos vectores, excepto en el ejercicio 9 (por variar) de los ejercicios de rectas.

Antes abordar los problemas, haremos un recordatorio básico de la rectas y las parábolas.

1. Rectas

La ecuación general de una recta es

$$ y = ax+b $$

Al número \(a\) se le llama pendiente y al número \(b\), término independiente u ordenada al origen.

Ver ejemplos

Puntos de corte con los ejes

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Rectas especiales

Hay dos tipos de rectas que consideramos especiales: las rectas horizontales y las rectas verticales.

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2. Parábolas

La ecuación general de una parábola es

$$ y = ax^2 + bx +c $$

Los coeficientes \(b\) y \(c\) pueden ser 0. Si \(a = 0\), es una recta y no una parábola.

El coeficiente \(a\) se denomina coeficiente principal y el coeficiente \(b\), término independiente.

Forma de una parábola

El coeficiente \(a\) de la parábola determina su orientación.

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Puntos de corte con los ejes

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Vértice de una parábola

El vértice de una parábola está en el punto cuya primera coordenada es

$$ x = \frac{-b}{2a}$$

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3. Problemas sobre rectas


Problema 1

Calcular los puntos de corte de los ejes con la recta

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

¿Cuál es la pendiente y la ordenada de la recta?

¿El punto A(1, 2) es un punto de la recta?

Solución

Problema 2

Calcular los puntos de corte de los ejes con la recta

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

¿Cuál es la pendiente y la ordenada de la recta?

¿El punto A(1, 2) es un punto de la recta?

Solución

Problema 3

Calcular los puntos de corte de los ejes con la recta

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

¿Cuál es la pendiente y la ordenada de la recta?

¿El punto A(2, 10.25) es un punto de la recta?

Solución

Problema 4

Calcular la ecuación de una recta que pase por los puntos A(-3,2) y B(-2,3).

¿Cuántas rectas hay que pasen por los puntos A y B?

Solución

Problema 5

Calcular la recta que pasa por el punto A(7,7) y que tiene pendiente -3. ¿Pasa también por el origen?

Nota: el origen es el punto O(0,0).

Solución

Problema 6

Responder las siguientes cuestiones:

  1. ¿Cuántas rectas diferentes hay que pasen por dos puntos distintos A y B?

  2. ¿Cómo podemos saber si una recta \(y=ax+b\) pasa por un punto P(m, n)?

  3. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal (paralela al eje OX)?

  4. Dos rectas (distintas) que no se cortan son rectas paralelas. Las siguientes dos rectas son paralelas:

    Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

    Observando sus ecuaciones, ¿cómo podemos deducir que son paralelas?

    Dar ejemplos de otras rectas paralelas a las anteriores.

  5. Dada una recta, ¿cuántas rectas (distintas) son paralelas a dicha recta?

Solución

Problema 7

Las siguientes rectas no son paralelas y, por tanto, se cortan en un punto. Calcular dicho punto:

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

El punto donde dos rectas se cortan se denomina punto de intersección.

Solución

Problema 8

Las gráficas de las siguientes rectas se cortan en los vértices de un triángulo. Escribir los puntos de los vértices y calcular la longitud de la base del triángulo:

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

Solución

Problema 9

Encontrar, si existen:

Dados 3 puntos distintos, ¿siempre existe una recta que los une?

Solución

Problema 10 (dificultad alta)

Dos rectas que se cortan formándo un ángulo de 90 grados se dice que son rectas perpendiculares.

Por ejemplo, los ejes del plano son rectas perpendiculares.

Encontrar una recta perpendicular a la recta \( y = ax +b\) siendo \(a\neq 0\).

Ayuda:

Solución

4. Problemas sobre parábolas


Problema 1

Calcular los puntos de corte de la siguiente parábola con los ejes de coordenadas:

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

Solución

Problema 2

Encontrar las dos parábolas que cortan al eje de abscisas (eje OX) en los puntos A(0,0) y B(2,0), pero con vértices distintos: (1,-5) y (1,-2).

Solución

Problema 3

Calcular las dos parábolas que tienen el vértice en el mismo punto V(-5,5), sabiendo que una corta al eje de ordenadas (eje OY) en el punto (0,10) y pasa por (-10,10) y la otra corta al eje de ordenadas en el punto (0,-10) y pasa por (-10,-10).

Solución

Problema 4

Dar un ejemplo de una parábola que no corta al eje de abscisas (eje OX), de otra que lo corta en un solo punto y de otra que lo corta en dos puntos.

Solución

Problema 5

Para cada valor del parámetro \(a\), consideramos la parábola de ecuación

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

  1. Calcular los puntos de corte con los ejes de ordenadas y de abscisas.

  2. ¿Qué diferencia hay entre las parábolas que tienen \(a > 0\) y las que tienen \(a < 0\) ?

  3. Si \(a\) es positivo, ¿cómo cambia la parábola cuando \(a\) es un número más grande?

Solución

Problema 6

Dada la parábola

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

calcular la parábola que se obtiene al aplicarle una simetría respecto del eje de las abscisas.

Hay algunos puntos que coinciden en ambas parábolas. ¿Cuáles y por qué?

Solución

Problema 7

Calcular la parábola que resulta al desplazar 3 unidades hacia arriba la parábola

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

Y la parábola que resulta si, en vez de hacia arriba, la desplazamos hacia la derecha 3 unidades.

Solución

Problema 8

Foco y directriz de una parábola.

Consideremos las parábolas que pueden escribirse como

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

siendo \(h,\ p,\ k\) parámetros (números fijos). Entonces, el foco de la parábola es el punto \(( h , k + p )\), el vértice es \(( h , k )\) y la directriz es la recta \(y = k - p\).

Se cumple que la distancia de un punto de la parábola al foco es la misma que la distancia de dicho punto a la directriz.

Calcular el foco y la directriz de las siguientes parábolas:

  1. Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

  2. Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

Solución

Problema 9

El eje de simetría de todas las parábolas vistas anteriormente es vertical (paralelo al eje OY).

La ecuación

Problemas resueltos de rectas y de parábolas: encontrar rectas y parabólas con determinada pendiente, vértice, que pasen por determinados puntos, etc. Problemas para secundaria.

es una parábola con eje de simetría horizontal (paralelo al eje OX) y, a diferencia de las anteriores, corta al eje OY en dos puntos.

Calcular los puntos de corte y el vértice de la parábola anterior.

Solución

Problema 10

Calcular la parábola con eje de simetría horizontal que tiene el vértice en el punto (-1,1) y corta al eje OY en los puntos (0,3) y (0,-1).

Solución


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