Rectas y Parábolas

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Recordemos que... (ecuaciones, puntos de corte, vértice...)

  • 20 Problemas resueltos


Introducción

Las rectas y las parábolas son los primeros tipos de funciones que estudiamos al iniciarnos en el Análisis Matemático. Son funciones continuas (su gráfica se puede dibujar de un solo trazo) y su dominio es todos los reales, es decir, el valor de x puede ser cualquier número.

En esta sección resolvemos problemas típicos de rectas y de parábolas: obtener la ecuación sabiendo alguno de los puntos de la función o sus puntos de corte con los ejes de coordenadas; o bien, sabiendo algunas de sus características como la pendiente de una recta o el vértice de la parábola.

También buscaremos los puntos de intersección entre dos funciones (los puntos donde se cortan, por ejemplo, dos rectas).

Para resolver los problemas necesitamos, por supuesto, resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

Antes de empezar con los problemas, haremos un recordatorio básico de la rectas y las parábolas:


Recordemos que...

Rectas:

La ecuación de una recta es de la forma

ecuacion de una recta

Al número a se le llama pendiente y a b término independiente u ordenada al origen.

Puntos de corte o intersección con los ejes:

  • Con el eje OY (de ordenadas): cuando x = 0. Sustituimos x por 0 en la ecuación y obtenemos el valor de y. Es decir, y = b. El punto es (0, b).

  • Con el eje OX (de abscisas): cuando y = 0. Sustituimos y por 0 en la ecuación y obtenemos x. Es decir,

    cortes de una recta con el eje de abscisas

    El punto es (-b/a,0).

Rectas especiales:

  • Recta horizontal: es de la forma

    ecuacion de una recta horizontal

    es una recta horizontal (paralela al eje OX). Corta al eje OY en el punto (0,k) y si k = 0 , la recta coincide con el eje OX.

  • Recta vertical: es de la forma

    ecuacion de una recta vertical

    es una recta vertical (paralela al eje OY). Corta el eje OX en el punto (k,0) y si k = 0, la recta coincide con el eje OY.


Parábolas

La ecuación general de una parábola es

ecuacion de una parábola

  • Cuando a > 0, la parábola tiene forma de U.

  • Cuando a < 0, tiene forma de U invertida.

Puntos de corte o intersección con los ejes:

  • En el eje OY (de ordenadas): cuando x = 0. Es decir, y = c. El punto es (0,c).

  • En el eje OX (de abscisas): cuando y = 0. Es decir, 0 = ax2 + bx + c . Tenemos una ecuación de segundo grado. Por tanto, podemos tener 1, 2 ó ningún punto de corte.

Vértice: es un mínimo o máximo (según si tiene forma de U ó de U invertida). Está en el punto cuya primera coordenada es

vértice parábola

Para saber la coordenada y tenemos que substituir en la ecuación el valor de x.


20 Problemas resueltos


A. Rectas (click para ver solución)
1

Calcular los puntos de corte de los ejes con de la recta. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

ecuacion de una recta

2

Calcular los puntos de corte de los ejes con de la recta. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

ecuacion de una recta

3

Calcular los puntos de corte de los ejes con de la recta. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

ecuacion de una recta

4

Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( -3,2) y B (-2,3).

5

Calcular la recta que pasa por el punto A( 7,7) y que tiene pendiente -3. ¿Pasa también por el origen? El origen es el punto O(0,0).

6

Responder las siguientes cuestiones:

  1. ¿Cuántas rectas diferentes hay que pasen por dos puntos A y B?
  2. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal (paralela al eje OX)?
  3. Las siguientes rectas son paralelas. ¿Por qué? Dar ejemplos de otras rectas paralelas a estas:

gráfica de la recta

7

Las siguientes rectas no son paralelas y por tanto se cortan en un punto. Calcular dicho punto:

ejercicios de rectas

8

Las gráficas de las siguientes rectas se cortan en los vértices de un triángulo. Escribir los puntos de los vértices y calcular la longitud de la base del triángulo:

9

Encontrar, si existen, la recta que une los tres puntos A(-1,-15), B(3,9) y C(2,3) y la que une los tres puntos D(0,9), E(-2,21) y F(8,0).

10

Anteriormente hemos hablado de las paralelas. Encontrar una recta perpendicular a la recta

problemas resueltos de rectas



B. Parábolas (click para ver solución)
1

Calcular los puntos de corte de la siguiente parábola con los ejes de coordenadas:

problemas resueltos de parábolas

2

Encontrar las dos parábolas que cortan al eje de abscisas (eje OX) en los puntos A(0,0), B(2,0) pero con vértices distintos (1,-5) y (1,-2).

3

Calcular las dos parábolas que tienen el vértice en el mismo punto, V(-5,5), sabiendo que una corta al eje de ordenadas (eje OY) en el punto (0,10) y pasa por (-10,10) y la otra corta al eje de ordenadas en el punto (0,-10) y pasa por (-10,-10).

4

Dar un ejemplo de una parábola que no corta al eje de abscisas (eje OX), de otra que lo corta en un solo punto y de otra que lo corta en dos puntos.

5

Para cada valor del parámetro a consideramos la parábola

problemas de parabólas

  1. Calcular los puntos de corte con los ejes de ordenadas y de abscisas.

  2. ¿Qué diferencia hay entre las parábolas que tienen a > 0 y las que tienen a < 0 ?

  3. Si a es positivo, ¿cómo cambia la parábola cuando a es un número más grande?

6

Dada la parábola

problemas de parabólas

calcular la parábola que se obtiene al hacer una simetría respecto del eje de las abscisas. Hay algunos puntos que coinciden en ambas parábolas. ¿Cuáles y por qué?

7

Calcular la parábola que resulta al desplazar 3 unidades hacia arriba la parábola

problemas de parabólas

Y la parábola que resulta si en vez de hacia arriba la desplazamos hacia la derecha.

8

Foco y directriz de una parábola: consideremos las parábolas que pueden escribirse como

problemas de parabólas

siendo h, p, k parámetros (números fijos). Entonces, el foco de la parábola es el punto ( h , k + p ), el vértice es ( h , k ) y la directriz es la recta y = k - p.

Se cumple que la distancia de un punto de la parábola al foco es la misma que desde dicho punto a la directriz.

Calcular el foco y la directriz de las siguientes parábolas:

  1. problemas de parabólas

  2. problemas de parabólas

9

El eje de simetría de todas las parábolas vistas anteriormente es vertical (paralelo al eje OY). La siguiente ecuación representa una parábola con eje de simetría horizontal (paralelo al eje OX) y, a diferencia de las anteriores, corta al eje OY en dos puntos. Calcular dichos puntos de corte y el vértice de la parábola.

problemas de parabólas

10

Calcular la parábola con eje de simetría horizontal que tiene el vértice en el punto (-1,1) y corta al eje OY en los puntos (0,3) y (0,-1).

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