Rectas y Parábolas

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Recordemos que...

    1. Rectas:

    2. Parábolas:

  • 20 Problemas resueltos



Introducción

Las rectas y las parábolas son los primeros tipos de funciones que estudiamos al iniciarnos en el Análisis Matemático. Son funciones continuas (su gráfica se puede dibujar de un solo trazo) y su dominio es todos los reales, es decir, el valor de x puede ser cualquier número.

En esta sección resolvemos problemas típicos de rectas y de parábolas: obtener la ecuación sabiendo alguno de los puntos de la función o sus puntos de corte con los ejes de coordenadas; o bien, sabiendo algunas de sus características como la pendiente de una recta o el vértice de la parábola.

También buscaremos los puntos de intersección entre dos funciones (los puntos donde se cortan, por ejemplo, dos rectas).

Para resolver los problemas necesitamos, por supuesto, resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

Antes de empezar con los problemas, haremos un recordatorio básico de la rectas y las parábolas:


Recordemos que...

1. Rectas

La ecuación de una recta es de la forma

$$ y = ax+b $$

Ejemplo:

problemas de rectas y parábolas

Al número a se le llama pendiente y a al número b, término independiente u ordenada al origen.


Puntos de corte de una Recta

Puntos de corte o intersección con los ejes:

Con el eje OY (de ordenadas)

Ocurre cuando x = 0. Sustituimos x por 0 en la ecuación y obtenemos el valor de y. Es decir, y = b. El punto es (0, b).

Ejemplo:

problemas de rectas y parábolas


Con el eje OX (de abscisas):

Ocurre cuando y = 0. Sustituimos y por 0 en la ecuación y calculamos x. Es decir,

cortes de una recta con el eje de abscisas

El punto es (-b/a,0).

Ejemplos:

problemas de rectas y parábolas


Rectas especiales

Hay dos casos particulares de rectas: las verticales y las horizontales.

Recta horizontal:

Son las rectas que no tienen pendiente, es decir, es una recta paralela al eje OX.

Son de la forma

$$ y = k $$

Esta recta corta al eje OY en el punto (0,k) y si k = 0, entonces la recta coincide con el eje OX.

Ejemplos:

problemas de rectas y parábolas


Recta vertical:

Son rectas paralelas al eje de ordenadas (eje OY).

Son de la forma

$$ x = k $$

Esta recta corta el eje OX en el punto (k,0) y si k = 0, entonces la recta coincide con el eje OY.

Ejemplos:

problemas de rectas y parábolas




2. Parábolas

La ecuación general de una parábola es

$$ y = ax^2 + bx +c $$

los coeficientes b y c pueden ser 0. Si a = 0, es una recta y no una parábola.

  • Cuando a > 0, la parábola tiene forma de U.

    problemas de rectas y parábolas

  • Cuando a < 0, tiene forma de U invertida.

    problemas de rectas y parábolas


Puntos de corte

Con el eje OY (de ordenadas):

Ocurre cuando x = 0. Es decir, y = c. El punto es (0,c).

Ejemplo:

problemas de rectas y parábolas


Con el eje OX (de abscisas):

Ocurre cuando y = 0. Es decir,

$$ 0 = ax^2 + bx + c$$

Tenemos una ecuación de segundo grado. Por tanto, puede haber 1, 2 o ningún punto de corte.

Ejemplos:

La parábola y = x2 - 2x + 1 tiene sólo un punto de corte con el eje de abscisas ya que la ecuación sólo tiene una solución:

$$ x = \frac{2\pm \sqrt{4-4}}{2} = \frac{2\pm 0}{2}=1 $$

problemas de rectas y parábolas

La parábola y = x2 - 4x + 3 tiene dos puntos de corte con el eje de abscisas ya que la ecuación tiene dos soluciones:

$$ x = \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4\pm 2}{2} = 3, \ 1 $$

problemas de rectas y parábolas

La parábola y = - x2 + 2x - 2 no tiene puntos de corte con el eje de abscisas ya que la ecuación no tiene soluciones (reales):

$$ x = \frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2} = \frac{-2\pm \sqrt{-4}}{-2} $$

problemas de rectas y parábolas



Vértice

El vértice de una parábola es su punto máximo o mínimo (uno de los dos). Es el máximo si la parábola tiene forma de U invertida y es el mínimo si tiene forma de U.

Ejempplos:

problemas de rectas y parábolas

El vértice de la parábola y = -2x2 - 1 es un máximo.

problemas de rectas y parábolas

El vértice de la parábola y = 2x2 - 5 es un mínimo.

El vértice está en el punto cuya primera coordenada es

vértice parábola

Para saber la coordenada y tenemos que substituir en la ecuación el valor de x.


20 Problemas resueltos


Primera Parte: Rectas

Problema 1

Calcular los puntos de corte de los ejes con la rectasiguiente. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

ecuacion de una recta

Ver solución


Problema 2

Calcular los puntos de corte de los ejes con de la recta. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

ecuacion de una recta

Ver solución


Problema 3

Calcular los puntos de corte de los ejes con de la recta. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

ecuacion de una recta

Ver solución


Problema 4

Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( -3,2) y B (-2,3).

Ver solución


Problema 5

Calcular la recta que pasa por el punto A( 7,7) y que tiene pendiente -3. ¿Pasa también por el origen? El origen es el punto O(0,0).

Ver solución


Problema 6

Responder las siguientes cuestiones:

  1. ¿Cuántas rectas diferentes hay que pasen por dos puntos A y B?
  2. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal (paralela al eje OX)?
  3. Las siguientes rectas son paralelas. ¿Por qué? Dar ejemplos de otras rectas paralelas a estas:

gráfica de la recta

Ver solución


Problema 7

Las siguientes rectas no son paralelas y por tanto se cortan en un punto. Calcular dicho punto:

ejercicios de rectas

Ver solución


Problema 8

Las gráficas de las siguientes rectas se cortan en los vértices de un triángulo. Escribir los puntos de los vértices y calcular la longitud de la base del triángulo:

Ver solución


Problema 9

Encontrar, si existen, la recta que une los tres puntos A(-1,-15), B(3,9) y C(2,3) y la que une los tres puntos D(0,9), E(-2,21) y F(8,0).

Ver solución


Problema 10

Anteriormente hemos hablado de las paralelas. Encontrar una recta perpendicular a la recta

problemas resueltos de rectas

Ver solución


Segunda Parte: Parábolas


Problema 1

Calcular los puntos de corte de la siguiente parábola con los ejes de coordenadas:

problemas resueltos de parábolas

Ver solución

Podemos escribir la ecuación en forma factorizada como

problemas resueltos de parabólas

Puntos de corte con el eje de abscisa (eje OX): ocurre cuando y=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos

problemas resueltos de parabólas

Y como la ecuación de segundo grado está factorizada no es necesario aplicar la fórmula cuadrática. Las soluciones son x=0,1.

Luego tenemos dos puntos de corte

problemas resueltos de parabólas

Punto de corte con el eje de ordenadas (eje OY): ocurre cuando x=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos

problemas resueltos de parabólas

El punto es (0,0).

Notemos que hemos obtenido el punto (0,0) (el origen) como punto de corte con el eje de abscisas y el de ordenadas. Y es que, en efecto, en el origen, la parábola corta a los dos ejes.

Calculamos ahora el vértice y con los puntos de corte y el vértice podemos graficar rápidamente la parábola:

problemas resueltos de parabólas

El valor de y lo obtenemos sustituyendo el valor de x en la ecuación:

problemas resueltos de parabólas

El vértice es

problemas resueltos de parabólas

La gráfica es

gráfica de la parabóla



Problema 2

Encontrar las dos parábolas que cortan al eje de abscisas (eje OX) en los puntos A(0,0), B(2,0) pero con vértices distintos (1,-5) y (1,-2).

Ver solución

La ecuación general de una parábola

problemas de parabólas

Sabemos que las dos rectas pasan por los puntos

problemas de parabólas

Luego dichos punto verifican la ecuación. Los sustituimos en:

problemas de parabólas

Por tanto, ya sabemos que ambas parábolas son la ecuación

problemas de parabólas

El valor de a lo obtendremos a partir del vértice, que sabemos que son

problemas de parabólas

Sustituimos en la ecuación:

problemas de parabólas

Por tanto, una de las parábolas es

parábola y=5x^2 -10

Del otro vértice obtenemos

problemas de parabólas

Luego la otra parábola es

parábola y=2x^2 -4

Con los 3 puntos de cada parábola podemos graficarlas rápidamente

gráfica de la dos parábolas



Problema 3

Calcular las dos parábolas que tienen el vértice en el mismo punto, V(-5,5), sabiendo que una corta al eje de ordenadas (eje OY) en el punto (0,10) y pasa por (-10,10) y la otra corta al eje de ordenadas en el punto (0,-10) y pasa por (-10,-10).

Ver solución

La ecuación general de las parábolas es

problemas de parabólas

Usaremos primero el vértice que es común en ambas parábolas. Como las parábolas pasan por (-5,5), dicho punto verifica ambas ecuaciones. Sustituimos:

problemas de parabólas

Sabemos que una de ellas pasa por (0,10) y por (-10,10) . Sustituimos en la ecuación:

problemas de parabólas

Al sustituir la c, la ecuación que teníamos al principio queda como

problemas de parabólas

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (a y b) para la primera parábola

problemas de parabólas

De la segunda ecuación obtenemos que

problemas de parabólas

Sustituyendo en la primera

problemas de parabólas

Por tanto, tenemos la parábola

problemas de parabólas

Para calcular la otra procedemos de igual modo:

Sabemos que pasa por (0,-10) y por (-10,-10) . Sustituimos en la ecuación:

problemas de parabólas

Al sustituir la c, la ecuación que teníamos al principio queda como

problemas de parabólas

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (a y b)

problemas de parabólas

De la segunda ecuación obtenemos que

problemas de parabólas

Sustituyendo en la primera

problemas de parabólas

Por tanto, tenemos la parábola

problemas de parabólas

La gráfica es

problemas de parabólas



Problema 4

Dar un ejemplo de una parábola que no corta al eje de abscisas (eje OX), de otra que lo corta en un solo punto y de otra que lo corta en dos puntos.

Ver solución

La parábola

problemas de parabólas

corta al eje de abscisas (eje OX) cuando y=0. Es decir, para los valores de x que cumplen

problemas de parabólas

Tenemos una ecuación de segundo grado y es por ello que las parábolas cortan al eje en un punto, dos punto o ninguno. Depende del número de soluciones que tiene la ecuación.

Sabemos que el número de soluciones depende del discriminante

problemas de parabólas

  • Si Δ > 0, tiene dos soluciones distintas (dos puntos de corte).

  • Si Δ = 0, tiene una única solución (un punto de corte).

  • Si Δ < 0, no tiene soluciones (no hay punto de corte).

Podemos tomar, por ejemplo, los valores a=c=1.

Con lo que el discriminante queda

problemas de parabólas

Ahora podemos tomar los siguiente valores para b:

problemas de parabólas

Así, tenemos

Parábola que no corta al eje:

$$y=x^2+1$$

Parábola que corta al eje en un punto:

$$y=x^2+2x+1$$

Parábola que corta al eje en dos puntos:

$$y=x^2+3x+1$$

La gráficas son

problemas de parabólas

Como comentario, podemos decir que las tres parábolas pasan por un mismo punto (0,1), esto se debe a que tienen el mismo término independiente (c=1).



Problema 5

Para cada valor del parámetro a consideramos la parábola

problemas de parabólas

  1. Calcular los puntos de corte con los ejes de ordenadas y de abscisas.

  2. ¿Qué diferencia hay entre las parábolas que tienen a > 0 y las que tienen a < 0 ?

  3. Si a es positivo, ¿cómo cambia la parábola cuando a es un número más grande?

Ver solución
  1. Puntos de corte con el eje de abscisas (eje OX): ocurre cuando y = 0.

    Tenemos que resolver la ecuación

    problemas de parabólas

    Al estar en forma factorizada, sabemos que la única solución es x = -1.

    Por tanto, el punto es (0,-1).

    Puntos de corte con el eje de ordenadas (eje OY): ocurre cuando x = 0.

    Por tanto,

    problemas de parabólas

    El punto es (0,a).

  2. Las parábolas con a>0 tienen forma de U; las parábolas con a < 0 tienen forma de U invertida. Esto se debe a que a el es coeficiente del término principal ( x2 ), por lo que tiene más peso al calcular y.

    En nuestro caso,

    $$y=a(x+1)^2$$

    el signo de y es el mismo que el de a. Luego si a > 0, a medida que crece x, crece y (forma de U); y si a < 0, a medida que crece x, decrece y (forma de U invertida).

  3. Las parábolas con un valor de a mayor crecen más rápido, lo que significa que la parábola será más cerrada.

    Vemos ejemplos para algunos valores de a:

    problemas de parabólas



Problema 6

Dada la parábola

problemas de parabólas

calcular la parábola que se obtiene al hacer una simetría respecto del eje de las abscisas. Hay algunos puntos que coinciden en ambas parábolas. ¿Cuáles y por qué?

Ver solución

Antes de todo vamos a escribir la parábola en la forma general. Para ello tenemos que desarrollar el cuadrado de la suma:

problemas de parabólas

Queremos hacer una simetría respecto del eje OX. Para ello cambiamos el signo a la segunda coordenada, y.

Por tanto,

problemas de parabólas

Las gráficas son

problemas de parabólas

Los puntos en las que las parábolas coinciden son la intersección y los podemos calcular igualando las parábolas. Pero no es necesario, ya que estos puntos son los que tienen 0 en la segunda coordenada porque al cambiar el signo, sigue siendo 0.

Los puntos son:

problemas de parabólas

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

problemas de parabólas

Por tanto, son los puntos

problemas de parabólas



Problema 7

Calcular la parábola que resulta al desplazar 3 unidades hacia arriba la parábola

problemas de parabólas

Y la parábola que resulta si en vez de hacia arriba la desplazamos hacia la derecha.

Ver solución

Desplazar la parábola hacia arriba 3 unidades significa sumar 3 a la segunda coordenada, es decir, a y. Por tanto, la parábola es

problemas de parabólas

Las gráficas son

problemas de parabólas

Desplazar la parábola 3 unidades hacia la derecha significa que para x = 3, la y tiene que valer lo que valía para x = 0. Por tanto, lo que hay que hacer es cambiar x por x-3. La ecuación queda

problemas de parabólas

Las gráficas son

problemas de parabólas



Problema 8

Foco y directriz de una parábola: consideremos las parábolas que pueden escribirse como

problemas de parabólas

siendo h, p, k parámetros (números fijos). Entonces, el foco de la parábola es el punto ( h , k + p ), el vértice es ( h , k ) y la directriz es la recta y = k - p.

Se cumple que la distancia de un punto de la parábola al foco es la misma que desde dicho punto a la directriz.

Calcular el foco y la directriz de las siguientes parábolas:

  1. problemas de parabólas

  2. problemas de parabólas

Ver solución

1. Tenemos que operar en la ecuación para conseguir la forma del enunciado:

problemas de parabólas

Por tanto,

problemas de parabólas

El foco es (3,1/4), el vértice es (3,0) y la directriz y = -1/4.

problemas de parabólas

2. Operamos en la ecuación

problemas de parabólas

Por tanto,

problemas de parabólas

El foco es (2, 5/4), el vértice es (2,1) y la directriz es y=3/4.



Problema 9

El eje de simetría de todas las parábolas vistas anteriormente es vertical (paralelo al eje OY). La siguiente ecuación representa una parábola con eje de simetría horizontal (paralelo al eje OX) y, a diferencia de las anteriores, corta al eje OY en dos puntos. Calcular dichos puntos de corte y el vértice de la parábola.

problemas de parabólas

Ver solución

La única diferencia con las otras parábolas es que hemos cambiado la x por la y y, por ello, la parábola está rotada (hemos girado el plano).

Los puntos de corte con el eje OX tienen lugar cuando y = 0. Sustituyendo en la ecuación, tenemos que x = -1. Por tanto, el único punto de corte es (-1,0)

Los puntos de corte con el eje OY tienen lugar cuando x = 0.

Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos los valores de y:

problemas de parabólas

problemas de parabólas

Por tanto, los puntos de corte son

problemas de parabólas

La gráfica es

problemas de parabólas



Problema 10

Calcular la parábola con eje de simetría horizontal que tiene el vértice en el punto (-1,1) y corta al eje OY en los puntos (0,3) y (0,-1).

Ver solución

La ecuación general de la parábola es

problemas de parabólas

Sabemos que para una parábola de eje de simetría vertical el vértice es el punto

problemas de parabólas

Al cambiar el eje, cambiamos la x por la y. Como el vértice está en (-1,1),

problemas de parabólas

La equación queda

problemas de parabólas

Por otro lado, sabemos que la parábola pasa por los puntos (0,3) y (0,-1) Sustituyendo en la ecuación obtenemos:

problemas de parabólas

Por tanto,

problemas de parabólas

Usamos de nuevo el vértice (-1,1) para sustituir

problemas de parabólas

Luego la ecuación es

problemas de parabólas

Y la gráfica

problemas de parabólas



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