Métodos para Sistemas de Ecuaciones: Sustitución, Igualación y Reducción

Contenido de esta página:

• Introducción: sistemas de ecuaciones y métodos básicos para su resolución
• 4 sistemas resueltos por los tres métodos (sustitución, igualación y reducción)

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos ya que en esta página sólo se estudian los sistemas determinados.

En esta página resolvemos sistemas de dos ecuaciones (lineales) con dos incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado.

• Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, \(x\)) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, \(y\). Una vez resuelta, calculamos el valor de \(x\) sustituyendo el valor de \(y\) que ya conocemos.
• Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
• Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

No olvidemos que si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0, la ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra. Usaremos esta propiedad con frecuencia en el método de reducción.

Recordad que podemos resolver el sistema por cualquiera de estos tres métodos, pero con la experiencia aprenderemos a eligir uno u otro según la forma de las ecuaciones porque de ello depende que el método sea más rápido o largo de aplicar.

Sistema 1

Como la primera ecuación es más simple, despejamos una incógnita en dicha ecuación, por ejemplo, la \(x\):

Ahora, sustituimos la \(x\) en la otra ecuación, es decir, donde aparece \(x\), escribimos \(3-y\). De este modo, obtenemos una ecuación con una única incógnita (\(y\)) y podemos resolverla fácilemente:

Como ya tenemos el valor de la incógnita \(y\), sólo falta calcular la otra incógnita. Para ello, podemos usar la expresión (la fórmula) que obtuvimos en el primer paso (escribimos \(2\) en lugar de \(y\)):

Por tanto, la solución del sistema es

Sistema 2

Tenemos que despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones para, posteriormente, igualar ambas expresiones obtenidas.

Elegimos despejar la incógnita \(y\) porque así desaparecerá el denominador y será más fácil trabajar.

Despejamos en ambas ecuaciones la \(y\):

Igualamos ambas expresiones para obtener una ecuación con una sóla incógnita (\(x\)) y la resolvemos:

Como ya tenemos el valor de \(x\), sustituimos en cualquiera de las expresiones obtenidas para calcular el valor de la incógnita \(y\). Escogemos la primera expresión que obtuvimos:

Por tanto, la solución del sistema es

Sistema 3

Antes que nada, podemos multiplicar la primera ecuación por la fracción 1/5 y la segunda por la fracción 1/7. De este modo, vamos a reducir el coeficiente de la incógnita \(y\):

Ahora, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. Con esta operación conseguimos que la incógnita \(x\) tenga el mismo coeficiente con signo distinto en cada ecuación para que la incógnita desaparezca cuando sumamos ambas ecuaciones:

Sustituimos el valor de \(y = -8/5\) en la primera ecuación y la resolvemos:

Por tanto, la solución del sistema es

Sistema 4

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