Sistemas de ecuaciones: Sustitución, reducción e igualación

Introducción a los sistemas de ecuaciones


Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Por ejemplo:

$$\left\{ \begin{eqnarray} 3x+2y=1 \\ x-5y=6 \end{eqnarray} \right. $$

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y).

Resolver este tipo de problemas (un sistema) consiste en encontrar el valor para cada incógnita de forma que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

La solución al sistema del ejemplo es

$$ \begin{eqnarray} x=1 \\ y=-1 \end{eqnarray}$$

Pero no siempre existe solución o bien pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos ya que en esta sección sólo se estudian los sistemas determinados.

Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

En esta sección resolvemos sistemas (lineales) de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado.

  • sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, obtenemos el valor de x usando el valor de y que ya conocemos.

  • reducción: consiste en operar con las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

  • igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una sola ecuación con una incógnita.

No olvidemos que si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0, la ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra. Usaremos esta propiedad con frecuencia en el método de reducción.

4 Sistemas de Ecuaciones resueltos

Por sustitución, igualación y reducción.



Sistema 1

resolución paso a paso de sistemas de ecuaciones por
            	sustitución, igualación y reducción

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Sistema 2

resolución paso a paso de sistemas de ecuaciones por
            	sustitución, igualación y reducción

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Sistema 3

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            	sustitución, igualación y reducción

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Sistema 4

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            	sustitución, igualación y reducción

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