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Métodos para Sistemas de Ecuaciones: Sustitución, Igualación y Reducción

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • 4 Sistenas Resueltos por los tres métodos

Introducción

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Ejemplo de un sistema:

$$\left\{ \begin{eqnarray} 3x+2y=1 \\ x-5y=6 \end{eqnarray} \right. $$

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (\(x\) e \(y\).


Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.


La solución al sistema del ejemplo anterior es

$$\begin{eqnarray} x=1 \\ y=-1 \end{eqnarray}$$

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos ya que en esta página sólo se estudian los sistemas determinados.

Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

En esta página resolvemos sistemas de dos ecuaciones (lineales) con dos incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado.

  • Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, \(x\)) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, \(y\). Una vez resuelta, calculamos el valor de \(x\) sustituyendo el valor de \(y\) que ya conocemos.

  • Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

  • Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

No olvidemos que si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0, la ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra. Usaremos esta propiedad con frecuencia en el método de reducción.

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Sistemas Resueltos

Sistema 1

resolución paso a paso de sistemas de ecuaciones por
            	sustitución, igualación y reducción

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Sistema 2

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Sistema 3

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Sistema 4

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