logotip matesfacil

Integració de funcions racionals

Contingut d'aquesta pàgina:

  • Introducció

  • Mètode de resolució

  • 25 Integrals Resoltes


Introdució

Dediquem aquesta pàgina exclusivament a la integració de funcions racionals. És a dir, a la resolució d'integrals els integrands de les quals són quocients de polinomis. Algunes de les integrals que es resolen no són d'aquest tipus fins que s'aplica un canvi de variable.

A més, no incloem les integrals que tenen per resultat un logaritme. Aquestes són les integrals en què el numerador de l'integrand es pot escriure com la derivada del denominador i, per tant, la seva resolució és immediata. Per exemple,

$$ \int{\frac{x}{1+x^2}}dx = \frac{1}{2}\cdot ln|1+x^2| + C$$

Existeixen bàsicament tres tipus d'integrals de funcions racionals segons el tipus de l'integrand. Cada un d'aquests tipus té el seu propi mètode de resolució. Els explicarem a continuació.

Finalment, atès que pretenem que aquest text també sigui útil per a un nivel universitari, advertim al lector que la descripció dels mètodes és prou tècnica. No obstant això, únicament emprarem els mètodes que s'estudien en batxillerat.

Mètode de resolució

Sigui la integral

$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx$$

on \(P(x)\) i \(Q(x)\) són els polinomis del numerador i del denominador, respectivament.

Distingim els següents casos:

  1. grau( P ) \(\geq\) grau( Q ): efectuem la divisió dels polinomis.

  2. grau( P ) < grau( Q ):

    En aquest cas, aplicarem el Teorema Fonamental de l'Àlgebra. Subcasos:

    • Cas a: Totes les arrels de Q són reals

    • Cas b: NO totes les arrels de Q són reals

Cas 1: grau de P major o igual que el de Q

En aquest cas, el mètode consisteix en efectuar una divisió polinòmica per poder descompondre la integral. Abans d'açò, però, s'han de factoritzar els polinomis del numerador i del denominador (expressar-los com a productes de factors de la forma (x - arrel) ) per tal simplificar l'integrand.

Per tant, donada la integral

$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx$$

Al efectuar la divisió, tindrem que

$$P(x) = Q(x) \cdot C(x) + R(x)$$

sent C(x) el polinomi quocient i R(x) el polinomi residu de la divisió.

Si dividim la igualtat anterior entre Q(x) obtenim

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$$

D'aquesta manera, aplicant les propietats de les integrals, haurem descompost la integral en la suma de dues integrals:

$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx =\int{C(x)}dx + \int{\frac{R(x)}{Q(x)}}dx$$

Cas 2: grau de P menor que el de Q

Cas (a): totes les arrels de Q són reals

Podem factoritzar el polinomi \(Q\) i escriure'l com

integración de funciones racionales

on cada \(a_i\) són les arrels (reals) de \(Q\) i \(k_i\) és el grau de multiplicitat de l'arrel \(a_i\), és a dir, el nombre de vegades que es repiteix l'arrel.

Nota: per comoditat, estem suposant que els polinomis són mònics, és a dir, que 1 és el seu coeficient director.

Si cal, per buscar les arrels dels polinomis, podem aplicar la regla de Ruffini.

Segons el Teorema Fonamental de l'Àlgebra, podem expressar el quocient \(P(x)/Q(x)\) com una suma de quocients als que denominem fraccions simples:

integración de funciones racionales

on els termes \(b_i^j\) són reals i els desconeixem. Haurem de cercar-los donant valors a x.

Cas (b): NO totes les arrels de Q són reals

Factoritzem el denominador, \(Q\), obtenint una expressió com la següent

integración de funciones racionales

on \(a_i\) són les arrels reals de \(Q\) amb multiplicitats \(k_i\) i \(\alpha_j + i\beta_j\) són les arrels complexes amb multiplicitats \(q_j\).

Nota: si un complex \(z=\alpha + i\beta\) és arrel d'un polinomi, aleshores el seu conjugat \(\overline{z}=\alpha_j - i\beta_j\) també ho és i, a més, tenen la mateixa multiplicitat.

Pel Teorema Fonamental de l'Àlgebra, podem escriure el quocient \(P(x)/Q(x)\) com

integración de funciones racionales

on \(m_i^j\) i \(n_i^j\) són constants reals que desconeixem.

Nota: no s'ha confondre el sunbíndex \(m\) (nombre d'arrels complexes del polinomi) amb les constants \(m_i^j\).

El polinomi \(R(x)\) és la suma de fraccions simples associada a les arrels reals que ja sabem com escriure (cas anterior) i que hem omitit per tal de simplificar la notació.

Observeu que es tracta del mateix procediment encara que les fraccions simples associades a les arrels complexes tenen una forma distinta.

Hem de calcular les constants \(m_i^j\) i \(n_i^j\). Per calcular-les, multipliquem la igualtat d'abans per la factorització de \(Q\) i donem valors a \(x\) per obtenir un sistema d'equacions lineals. Una vegada calculades, podrem expressar la integral com una suma d'integrals simples.

25 Integrals Resoltes


Integral 1

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 2

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 3

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 4

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 5

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució


Integral 6

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 7

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 8 (dificultat alta)

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 9

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 10

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 11

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 12

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 13

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 14

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 15

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 16

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 17

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 18

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 19

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 20

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 21

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 22

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 23

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 24

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

Integral 25 (dificultat alta)

mètodes d'integració: exercicis resolts d'integració de funcions racionals (fraccions)

Veure solució

acceso al foro


Itegrals de funcions racionals: mètodes d'integració - (c) - matesfacil.com

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.