Nota: en aquesta pàgina no tindrem en compte les solucions complexes.
Contingut d'aquesta pàgina:
Novetat!Intel·ligència artificialCom els algorismes condicionen les nostres videsEnric Senabre, Vicent Costa Més informació: sembra llibres. |
Temes relacionats:
Les equaciones biquadrades són les equacions de quart grau amb la següent forma:
És a dir, són equacions de quart grau en les que apareixin, com a màxim, tots els monomis que tenen la incògnita amb exponent parell (és a dir, \(x^4\), \(x^2\) i \(x^0\)). Deiem com a màxim ja que els coeficients \(b\) i \(c\) poden ser 0, però no pot ser-ho el coeficient \(a\).
Com que una equació biquadrada és un cas d'equació de quart grau, l'equació té, com a màxim, 4 solucions.
Es pot resoldre una equació biquadrada, per exemple, per la regla de Ruffini, però sol ser més ràpid aplicar un canvi de variable com veurem en aquesta pàgina.
Considerem l'equació biquadrada en la seva forma general:
Apliquem el canvi de variable següent:
És a dir, escrivim la incògnita \(t\) en lloc de \(x^2\) i \(t^2\) en lloc de \(x^4\):
D'aquesta manera, obtenim una equació de segon grau, tipus d'equació que ja sabem resoldre. Llavors,
Suposem que hem calculat les dues solucions d'aquesta equació de segon grau i són \(t_1\) i \(t_2\). Com que\(t = x^2\), fent l'arrel quadrada, tenim que
Per tant, fent de nou l'arrel quadrada, tenim les quatre solucions de l'equació inicial:
Continuant amb el raonament d'abans,
Si \(t_1 = 0\), en compte de dues solucions (una arrel negativa i una positiva) en tindrem només una: \(x = 0\). Ocorre el mateix si \(t_2 = 0\).
Si \(t_1 > 0\), tenim dues solucions: l'arrel quadrada negativa i la positiva de \(t_1\). Ocorre el mateix si \(t_2 > 0\).
Si \(t_1 < 0\), aleshores hem de calcular l'arrel quadrada d'un nombre negatiu. Açò proporciona dues solucions complexes. Ocorre el mateix si \(t_2 < 0\).
Per tant, tenim els següents casos:
Equació sense solucions (reals), com ocorre amb l'equació
$$ x^4 + 4x^2 +4 = 0 $$
Equació amb 4 solucions (reals) distintes, com en el Problema 3.
Equació amb 3 solucions (reals) distintes, com en el Problema 2.
Equació amb 2 solucions (reals) distintes, com en el Problema 1.
Equació amb una única solució (real), com en el Problema 8.
Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:
Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:
Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:
Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:
Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:
Equacions biquadrades resoltes - © matesfacil.com
Matesfacil.com
by J. Llopis is licensed under a
Creative
Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.