logotipo matesfacil

Equacions biquadrades resoltes

Nota: en aquesta pàgina no tindrem en compte les solucions complexes.

Contingut d'aquesta pàgina:

  1. Introducció
  2. Mètode de resolució
  3. Comentaris sobre les solucions
  4. 5 equacions biquadrades resoltes

Novetat!



Intel·ligència artificial

Com els algorismes condicionen les nostres vides

Enric Senabre, Vicent Costa



Més informació: sembra llibres.

intel·ligència artificial

Temes relacionats:

1. Introducció

Les equaciones biquadrades són les equacions de quart grau amb la següent forma:

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

És a dir, són equacions de quart grau en les que apareixin, com a màxim, tots els monomis que tenen la incògnita amb exponent parell (és a dir, \(x^4\), \(x^2\) i \(x^0\)). Deiem com a màxim ja que els coeficients \(b\) i \(c\) poden ser 0, però no pot ser-ho el coeficient \(a\).

Com que una equació biquadrada és un cas d'equació de quart grau, l'equació té, com a màxim, 4 solucions.

Es pot resoldre una equació biquadrada, per exemple, per la regla de Ruffini, però sol ser més ràpid aplicar un canvi de variable com veurem en aquesta pàgina.

2. Mètodo de resolució

Considerem l'equació biquadrada en la seva forma general:

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

Apliquem el canvi de variable següent:

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

És a dir, escrivim la incògnita \(t\) en lloc de \(x^2\) i \(t^2\) en lloc de \(x^4\):

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

D'aquesta manera, obtenim una equació de segon grau, tipus d'equació que ja sabem resoldre. Llavors,

La resolució d'una equació biquadrada es redueix a la resolució d'una equació de segon grau.

Suposem que hem calculat les dues solucions d'aquesta equació de segon grau i són \(t_1\) i \(t_2\). Com que\(t = x^2\), fent l'arrel quadrada, tenim que

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

Per tant, fent de nou l'arrel quadrada, tenim les quatre solucions de l'equació inicial:

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.


3. Comentaris sobre les solucions

Continuant amb el raonament d'abans,

  • Si \(t_1 = 0\), en compte de dues solucions (una arrel negativa i una positiva) en tindrem només una: \(x = 0\). Ocorre el mateix si \(t_2 = 0\).

  • Si \(t_1 > 0\), tenim dues solucions: l'arrel quadrada negativa i la positiva de \(t_1\). Ocorre el mateix si \(t_2 > 0\).

  • Si \(t_1 < 0\), aleshores hem de calcular l'arrel quadrada d'un nombre negatiu. Açò proporciona dues solucions complexes. Ocorre el mateix si \(t_2 < 0\).

Per tant, tenim els següents casos:

  • Equació sense solucions (reals), com ocorre amb l'equació

    $$ x^4 + 4x^2 +4 = 0 $$

  • Equació amb 4 solucions (reals) distintes, com en el Problema 3.

  • Equació amb 3 solucions (reals) distintes, com en el Problema 2.

  • Equació amb 2 solucions (reals) distintes, com en el Problema 1.

  • Equació amb una única solució (real), com en el Problema 8.

4. Problemes d'equacions biquadrades

Problema 1

Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

Veure solució

Problema 2

Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

Veure solució

Problema 3

Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

Veure solució

Problema 4

Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

Veure solució

Problema 5

Resoldre i factoritzar la següent equació biquadrada:

Expliquem com resoldre equacions biquadrades pel mètode de canvi de variable. Resolem 10 equacions biquadrades explicant els passos. Equacions. Àlgebra.

Veure solució


ejercicios interactivos de matemáticas


Equacions biquadrades resoltes - © matesfacil.com

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.