Contingut d'aquesta pàgina:
Novetat!
Intel·ligència artificial
Com els algorismes condicionen les nostres vides
Enric Senabre, Vicent Costa
Més informació: sembra llibres.
|
 |
1. Introducció
En aquesta pàgina resolem 20 problemes calculant el
mínim comú múltiple (m.c.m.) o el màxim comú divisor
(M.C.D.) de dos o més nombres. La dificultat d'aquests
problemes consisteix en l'elecció del m.c.m. o del M.C.D.
L'esquema de resolució serà:
-
Triar entre m.c.m. i M.C.D.
-
Descompondre els nombres del problema com a un producte
de potències de nombres primers.
Calcular el m.c.m. o el M.C.D.
Recordem que:
El m.c.m. es calcula multiplicant els factors «comuns i no comuns al major exponent» i el
M.C.D. es calcula multiplicant els factors
«comuns al menor exponent».
Més informació:
2. Problemes Resolts
Problema 1
Andreu i Pere mengen en la mateixa hamburgueseria però, Andrés assisteix cada 20 dies i Pere cada 38. Quan tornaran a trobar-se?
Veure solució
Si demà comencem a comptar els dies, aleshores:
-
Andreu assisteix el dia 20, el dia 40,
el dia 60... Aquests dies són els múltiples de 20.
-
I Pere assisteix el dia 38, el dia 76, el dia 114...Aquests dies són els múltiples de 38.
Ambdós coincideixen quan assisteixen el mateix dia, és a dir,
quan assisteixen un dia que és múltiple de 20 i de 38.
A més, el primer dia que coincideixen és el
mínim dels múltiples comuns.
Per tant, hem de calcular el mínim comú múltiple.
Descomposem els nombres per escriuire'ls com
a producte de potències de nombres primers:
El m.c.m. es calcula multiplicant els factors «comuns i no comuns al major exponent»:
Per tant, tornaran a trobar-se d'aquí a 380 dies.
Problema 2
David té 24 dolços per a repartir i Ferran en té 18. Si ambdós volen regalar els dolços al seus respectius familiars de manera que tots tinguin la mateixa quantitat i que aquesta sigui la més gran possible, quants dolços han de repartir a cada persona? A quants familiars regalarà dolços cadascun d'ells?
Veure solució
El nombre de dolços que han de donar a cada persona ha de
dividir les quantitats de dolços (perquè és una
partició en parts iguals). És a dir, ha de ser
un divisor comú de 24 i de 18.
A més, com que la quantitat ha de ser màxima, ha de ser el major divisor
comú.
Descomposem els nombres:
El M.C.D. es calcula multiplicant els factors «comuns al menor exponent»:
Per tant, cada familiar rebrà 6 dolços.
Com que David té 24 dolços i en donarà 6 a cada familiar, els repartirà entre 4 persones (24/6 = 4). I com que Ferran
en té 18, els repartirà entre 3 persones (18/6 = 3).
Problema 3
Antoni té una corda de 120 metres
i una altra de 96 metres. Desitja tallar-les de manera que
tots els trossos siguin
iguals però el més llarg possible.
Quants trossos de corda obtindrà?
Veure solució
Per poder tallar les dues cordes en trossos iguals,
la longitud dels trossos ha de dividir a la longitud de
les cordes. És a dir, ha de ser un divisor de 120
i de 96.
A més, aquesta longitud ha de ser la màxima.
Per tant, hem de calcular el M.C.D. de les longituds.
Descomposem els nombres:
El M.C.D. es calcula multiplicant els factors «comuns al menor exponent»:
Per tant, tots els trossos de corda han de mesurar
24 metres. De la corda de 120 metres s'obtindran 120/24 = 5
trossos i de la corda de 96 metres se'n obtindran 96/24 = 4.
Problema 4
En un veïnat, un camió de gelats passa cada 8 dies i un camió d'entrepans passa cada dues setmanes. Es sap que fa 15 dies ambdós vehicles van passar el mateix dia.
Raül creu que d'aquí a un mes els vehicles tornaran a trobar-se i
Òscar creu es trobaran d'aquí a dues setmanes. Quin dels amics té raó?
Veure solució
Primer calculem cada quant de temps coincideixen els vehicles sense tenir en compte l'última vegada que van coincidir. Per a acò, hem de calcular el m.c.m. de 8 i 14.
Factoritzem els nombres:
El m.c.m. es calcula multiplicant els factors «comuns i no comuns al major exponent»:
Per tant, els vehicles coincideixen cada 56 dies.
Però, com que el primer dia que van coincidir fou 15 dies enrere, la següent coincidència serà d'aquí a 56 -15 = 41 dies. Així és que ni Raül ni Òscar tenen raó.
Problema 5
En una banda composta per un baterista, un guitarrista,
un baixista i un saxofonista, el baterista
toca en lapses de 8 temps, el guitarrista en lapses de 12, el baixista en lapses de 6 i el
saxofonista en lapses de 16. Si tots comencen alhora, en quants temps els seus períodes
tornaran a iniciar-se alhora?
Veure solució
S'ha de calcular el m.c.m. de 8, 12, 6 i 16. Encara que
hi ha quatre nombres en compte de dos, els passos a
seguir són els mateixos.
Primer descomposem els nombres però escriurem directament la descomposició ja que són nombres petits:
El m.c.m. es calcula multiplicant els factors «comuns i no comuns al major exponent»:
Per tant, els períodes tornaran a iniciar-se cada 48 temps.
Problema 6
Sònia té una pista de carreres amb dos cotxes. El primer cotxe
dóna una vuelta completa a la pista en 31 segons i
el segon ho fa en 17 segons.
Carles també té la seva pista de carreres amb dos cotxes
però, el primer cotxe dóna una volta completa en 36 segons i el
segon ho fa en 42 segons.
Com que Carles sempre perd quan juga amb Sònia, li proposa que el guanyador sigui qui tinnga en la seva pista els seus dos cotxes
situats en la meta alhora. Quin dels amics guanyarà?
Veure solució
Primer calculem, en cada pista, cada quant coincideixen
els dos cotxes: calculem el m.c.m. dels temps i després, comparem els temps per saber quin és menor.
Calculem el m.c.m. dels temps dels cotxes de Sònia:
El m.c.m. es calcula multiplicant els factors «comuns i no comuns al major exponent»:
Per tant, en la pista de Sònia els cotxes coincidiran a la
meta cada 527 segons.
Ara repetim el procés per als cotxes de Carles:
El m.c.m. es calcula multiplicant els factors «comuns i no comuns al major exponent»:
Per tant, els cotxes de Carles coincidiran a la meta
cada 252 segons.
Carles guanyarà perquè els seus cotxes coincidiran a la meta
abans que els de Sònia.
Nota: els temps de Sònia són millors que els de Carles
però, com que són nombres primers, no tenen factors comuns i el seu m.c.m. és
un nombre gran.
Problema 7
Màxim vol pintar una casa petita. Segons els seus càlculs,
necessitarà 12 litres de pintura vermella, 24 litres de pintura
verda i 16 litres de pintura blanca. Si Màxim vol comprar pots de
pintura que tinguin la mateix quantitat de litres
i que el nombre de pots sigui el menor possible, de quants litres
ha de ser cada pot
i quants pots de cada color ha de comprar?
Veure solució
Les sumes dels litres dels pots de color vermell,
verd i blanc han de ser 12, 24 i 16, respectivament.
Per a que tots els pots tinguin la mateixa capacitat i que no sobre pintura, aquesta capacitat ha de dividir a 12, 24 i 16.
A més, com que Màxim vol tenir la mínima quantitat de pots, els
pots han de tenir capacitat màxima. Per tant, hem de calcular el M.C.D. de 12, 24 i 16.
Factoritzem els nombres:
El M.C.D. es calcula multiplicant els factors «comuns al menor exponent»:
Per tant, la capacitat dels pots ha de ser de 4 litres.
Per calcular la quantitat de pots de cada color que necessita Màxim,
només cal dividir entre 4:
Pots de pintura vermella:
Pots de pintura verda:
Pots de pintura blanca:
Problema 8
En un port del Carib s'ofereixen tres diferents creuers:
un tarda 6 dies en anar i tornar,
el segon tarda 8 dies i el tercer tarda 10 dies.
Si els tres creuers partiren a la mateixa hora fa 39
dies, quants dies han de passar perquè els tres creuers tornen a
partir el mateix dia?
Veure solució
Calculem el m.c.m. per saber cada quants dies coincideixen els creuers. Encara que són tres nombres en compte de dos, el procediment és el mateix.
Factoritzem els nombres:
El m.c.m. es calcula multiplicant els factors «comuns i no comuns al major exponent»:
Per tant, sabem que els tres
creuers parteixen alhora cada 120 dies. Ara bé, atès que l'última
vegada que coincidiren fou 39 dies enrere, la pròxima
coincidència serà d'aquí a 81 dies:
Problema 9
Daniel i Maties han comprat 40 i 32 caramels, respectivament,
per a una festa d'aniversari. Volen repartir-los entre tots
els convidats de manera que cadascú doni el mateix nombre
de caramels a cada convidat però, que tots els convidats
tinguin la mateixa quantitat de caramels i aquesta sigui màxima.
Calcular
el nombre màxim de convidats que han d'assistir per a que ningú
es quede sense caramels.
Veure solució
Daniel i Maties han de donar el mateix nombre de caramels a cada persona, és a dir, el nombre ha de ser divisor de les seves
respectives quantitats de caramels. A més, com que
la quantitat ha de ser màxima, hem de calcular el M.C.D.
Factoritzem els nombres:
El M.C.D. es calcula multiplicant els factors «comuns al menor exponent»:
Per tant, el nombre de caramels per persona és 8. Per saber a quantes persones poden convidar, s'han de
sumar les quantitats de caramels i dividir-les entre el M.C.D.:
Problema 10
Joan, Pau, David i Andrea van a córrer a un parc
tots els dies. Joan li dóna una volta al parc en 2 minuts,
Pau li dóna 3 voltes al parc en 7 minuts i 30 segons,
David li dóna 4 voltes en 9 minuts i 20 segons i
Andrea li dóna 2 voltes al parc en 4 minuts i
20 segons.
Si tots parteixen alhora i del mateix lloc, contestar:
-
Qui són el més i el menys veloç?
-
Quant tardarien en trobar-se tots en el punt de partida?
Veure solució
Primer escrivim tots els temps en segons:
Joan tarda 2 minuts en donar una volta, és a dir, el seu tepms és de
Pau tarda 7 minuts i 30 segons en donar tres voltes.
Aquest temps en segons és
Llavors, el seu temps és de
David tarda 9 minuts i 20 segons en donar 4 voltes. En segons,
Llavors, el seu temps és de
Andrea tarda 4 minuts i 20 segons en donar 2 voltes. En segons,
Llavors, el seu temps és de
Ara ja podem saber
que el més veloç és Joan i el menys
veloç és Pau.
Cadascun dels atletes es trobarà a la meta
quan hagi passat el temps que tarda en donar una
volta completa. Per tant, el temps en el que
els quatre es troben a la meta ha de ser un múltiple
comú dels tots els temps.
A més, com que volem saber quan és la primera vegada que açò ocorre,
calculem el mínim dels múltiples.
Per tant, hem de calcular el m.c.m.:
Descomposem els nombres:
El m.c.m. es calcula multiplicant els factors «comuns i no comuns al major exponent»:
Escrivim els segons en minuts:
És probable que paren de córrer abans
de que es troben a la meta tots alhora.
Problema 11
Un aquari petit hagué de tancar per motius econòmics. Per aquesta raó, altres aquaris van tenir que comprar els seus peixos. En
total, es van vendre 48 peixos pallasso, 60 peixos globus, 36
peixos tiuró nadons, 24 polps i 72 peixos lleó.
Per realitzar la venta, es van triar els contenidors del
mateix tamany i que contenien
la major quantitat possible d'animals. A més, en cada contenidor sols podia
haver-hi peixos d'una única espècie.
Quants peixos hi havia en cada contenidor i quants
contenidors es va necessitar per a cada espècie?
Veure solució
Atès que en cada contenidor només pot haver-hi una
única espècie, el nombre de peixos que hi ha en cada
contenidor ha de dividir al nombre total de peixos de cada espècie.
També, ha de ser màxim.
Així doncs, hem de calcular el M.C.D. de les quantitats
de peixos.
Descomposem els nombres:
El M.C.D. es calcula multiplicant els factors «comuns al menor exponent»:
Per saber quants contenidors es
necessiten per a cada espècie, dividim la quantitat de peixos (de cada
espècie) entre la capacitat dels contenidors:
Problema 12
Una empresa petita que ven llet té tres sucursals:
una al nord, una al sur i una a l'est. Sabem que
la sucursal del nord produeix 300 ampolles de llet diàries,
la del sur en produeix 240 i la de l'est en produeix 360.
Es vol
transportar totes les ampolles de llet en camionetes que contenen la mateixa quantit d'ampolles però, que aquesta sigui màxima. Quantes ampolles de llet s'han de transportar en cada camioneta?
Veure solució
Per saber el nombre màxim d'ampolles de llet que
ha de dur cada camioneta, hem de calcular el M.C.D.
Descomposem els nombres:
El M.C.D. es calcula multiplicant els factors «comuns al menor exponent»:
Aleshores, cada camioneta ha de transportar 60 ampolles de llet.
Problema 13
Una tenda compra memòries USB de diferents
colors a l'engròs. Per al Nadal es va fer una comanda extraordinària de 84 memòries
vermelles, 196 blaves i 252 verdes. Per guardar la mercancía de manera organitzada, es va exigir que enviaren les memòries
en caixes iguals, que cada caixa contingués memòries del mateix color i que el nombre de memòries en cada caixa fos el màxim.
Quantes memòries hi haurà en
cada caixa i quantes caixes de cada color hi haurà?
Veure solució
Com que les caixes han de contenir memòries del mateix color,
el nombre d'unitats per caixa ha de dividir les quantitates
totals de memòries de cada color.
Calculem el M.C.D. de 84, 196 i 252:
Per saber quantes caixes de cada color hi ha, dividim el nombre de memòries de cada color entre el M.C.D.:
Problema 14
Un estudiant d'astronomia sap que Venus li dóna la volta al Sol en
225 dies i Mart en 687 dies.
També sap que l'última vegada que Venus, la Terra i Mart es van
alinear fou fa 1805645 dies.
D'aquí a quant de temps es tornaran a alinear els 3 planetes
en el mateix punt?
Veure solució
Primer calculem el m.c.m. per saber cada quant s'alineen els planets:
Com que l'última vegada fou fa 1 805 645 dies,
la propera vegada serà d'aquí a
Per saber els anys, dividim entre 365:
És a dir, d'aquí a més de cinc mil anys.
Problema 15
Jaume té una empresa que fabrica instruments
musicals i ha de proveir una comanda de 320
guitarres per a la tenda A,
240 baixos per a la tenda B, 400 saxofons
per a la tenda C i 160 teclats per a la tenda
D.
Si Jaume decideix utilitzar camions carregats
amb la mateixa quantitat d'instruments
però, que aquesta sigui la màxima possible per tal d'optimitzar el temps,
quants camions haurà d'enviar a cada tenda?
Veure solució
Calculem el M.C.D. del nombre d'instruments
que requereix cada tenda:
Per tant, el M.C.D. és
Axí, cada camió ha de transportar
80 instruments.
Per saber quants camions requereix cada
tenda, dividim el nombre d'instruments entre 80:
Problema 16
Marc vol instal·lar al su jardí
tres diferents fonts d'aigua automàtiques.
La primera font s'encén cada 6 hores,
la segona ho farà cada 8 hores i la tercera, cada 14 hores.
Si la primera vegada que inicia el comptador és al migdia, quantes vegades
al mes s'encendran les fonts alhora?
Veure solució
Hem de calcular el mínim comú múltiple:
Per tant, cada 168 hores totes les fonts s'inicien
simultàniament. Com que un mes té 30 dies, té
un total de 30·24 = 720 hores i, per tant, aquesta situació ocorre 720/168 ≈4 vegades al mes.
Nota: la dada de que el comptador s'inicia al migdia no és significant.
Problema 17
Una empresa mexicana que fabrica telèfons mòbils
ha d'enviar una comanda d'un milió de telèfons a Europa. Aquesta empresa té
cinc models de telèfons: A1, A2, A3, A4 i A5.
La comanda s'especifica en la següent taula:
La comnada s'entegarà en lots amb la mateixa quantitat de
telèfons i separats per models. Si es desitja que la
quantitat de lots sigui la mínima possible,
quants lots de cada model ha d'haver-hi?
Veure solució
Hem de calcular el M.C.D.
Com que les quantitats són milers, hem de multiplicar-les per 1000. És a dir, per
Al descompondre les quantitats, hem de tenir en compte les potències anteriors (sumar 3 a l'exponent de
2 i sumar 3 al de 5).
Descomposem els nombres:
Llavors, el M.C.D. és
Cada lot constarà de 5 mil telèfons. Per calcular els lots totals de cada
model dividim els milers entre 5:
Problema 18
Una empresa internacional de dispositius tecnològics
té sucursals a Espanya, Argentina i
Mèxic.
Quan el sistema operatiu d'una de les sucursals es reinicia,
tots els seus ordinadors deixen de funcionar
durant un cert temps i les seves tasques han de realitzar-se a les altres sucursals.
Per tal d'evitar retards en el funcionament de la empresa, els enginyers informàtics de la empresa estableixen que els sistemes han de reiniciar-se cada cert temps segons s'indica en la següent taula:
Calcular quantes vegades es reinicien alhora els tres sistemes en un
període de 30 anys.
Veure solució
Calculem el m.c.m dels temps:
Trenta anys són 365·30 = 10 950 dies. Per tant, en aquest període el reinici només coincideix 1 vegada.
D'aquesta manera, els enginyers aconsegueixen que durant 30 anys només hi hagi un dia en què l'empresa no disposa d'ordinadors.
Problema 19
Una aerolínia que ven vols amb origen Alemanya transporta
passatgers arreu del món. El seu sistema de
compra de passatges proporcionà les
següents dades:
Es desitja el major nombre de persones per avió i que tots
els avions tinguin la mateixa capacitat. Calcular:
-
Quants passatgers per avió hi haurà.
-
Quants avions volaran a cada país.
-
Quants avions volaran en total.
Veure solució
Hem d'obtenir el M.C.D. per saber quantes persones hi haurà per avió:
Descomposem els nombres:
El el M.C.D. és
En cada avió han de viatjar 150 passatgers.
Per saber el nombre d'avions destinats a cada país, dividim el nombre de passatgers entre 150:
En total, volaran 51 avions.
Problema 20
Pau està traçant els plànols d'un projecte de mecànica
en un full de dimensió 56cm x 104cm. Necessita
dibuixar una quadrícula de manera que:
-
La quadrícula estigui formada per quadrats
iguals (tots els costats són iguals).
-
El tamany dels quadrats ha de ser màxim.
-
La longitud en centímetres dels costats del
quadrat ha de ser un nombre natural, és a dir,
sense decimals.
Calcular el nombre total de quadrats que ha tenir la quadrícula.
Veure solució
La longitud dels costats dels quadrats és exacta (sense decimals) si és un nombre divisor de 56 i 104. Com que, a més, els quadrats han de ser el més gran possible, hem de que calcular el M.C.D. de 56 i 104:
Per tant, els quadrats han de ser de 8cm de costat.
Si 56cm és l'altura del full i
104cm és l'ample, la quadrícula ha de tenir 56/8 = 7 quadrats d'altura
i 104/8 = 13 quadrats d'ample.
Així doncs, la quadrícula ha d'estar formada per
un total de 7·13 = 91 quadrats.
