Matrices: diagonalización



Teorema

Una matriz A real de dimensión n (cuadrada) es diagonalizable en los reales si y sólo si existe una base de

n formada por vectores propios de A.

 

Demostración (Notación MatLab)

Supongamos que A es diagonalizable:

Sea A = PDP-1 con P regular y D diagonal una diagonalización de A. Multiplicando por P tenemos que AP = DP.

Consideremos D = diag(d1 ,…,dn ).

La columna j de D es D(:,j):

demostración de diagonalizabilidad

Es decir, dj es un valor propio de A y D(:,j) un vector propio asociado a dj.

Por tanto, el sistema { P(:,i) }ni=1 está formado por vectores propios de A y, además, es una base por ser la matriz P regular. De donde deducimos que si una matriz es diagonalizable, la matriz diagonal a la que es semejante está formada por valores propios de A.


Supongamos ahora que { xi}i=1n es una base formada por vectores propios de A. Puesto que los vectores son linealmente independientes y que los vectores propios asociados a un autovalor son un subespacio, existen n autovalores, di , tales que Axi = dixi . Como la matriz es real y la base también, los autovalores también lo son.

Definimos las matrices D = diag(d1,…,dn ) y P que tiene por columnas P(:,i) = xi, de dimensión n. La matriz P es regular por ser sus columnas una base.

demostración de diagonalizabilidad

De donde AP = PD y, al ser P regular, A = APP-1 = PDP-1.