Matrices: diagonalización

Teorema Toda matriz real y simétrica A es diagonalizable. Además, se tiene que A = PDP^-1 donde D es diagonal y P ortogonal (P^-1 = P^T).
Demostración (Notación MatLab) Lo demostraremos por inducción sobre k, la dimensión de A. Sea k = 1: La matriz es de la forma A = [a], siendo a en . Podemos escribir A = I·A·I donde I = [1] es la matriz identidad de dimensión 1, que es regular y ortogonal, y A es diagonal. Tenemos pues una diagonalización de A. Supongamos que es cierto para dimensión k-1 (hipótesis de inducción). Veamos que se cumple para dimensión k: Sea A una matriz real simétrica de dimensión k. Puesto que A es simétrica, su espectro (autovalores) es positivo y real. Sea μ un autovalor de A. Existe x de ^k no nulo tal que Ax = μx y con norma₂ 1 (podemos suponer que es unitario ya que los vectores propios asociados a un autovalor conforman un subespacio). Al ser x de norma₂ 1, existe una matriz Q real, de dimensión k y ortogonal cuya primera columna es el vector x ya que: podemos completar el sistema {x} hasta una base { x }U{ y_i }^k_i=2 y aplicar el método de Gram-Schmidt comenzando por x para obtener la base ortonormalizada {x}U{x_i }^ki=2. Luego definimos Q(:,1) = x , Q(:,i) = x_i y se tiene que es una matriz ortogonal puesto que Consideremos el producto Q^-1AQ = Q^TAQ. Su primera columna es Por ser A simétrica y Q ortogonal, (Q^-1AQ)^T = Q^-1AQ ya que (Q^-1AQ)^T = (Q^TAQ)^T = Q^TA^T(Q^T)^T = Q^TAQ = Q^-1AQ. En particular tenemos que Con lo que Q^-1AQ tiene la siguiente estructura por bloques donde 0_ixj representa la matriz nula de dimensión ixj y B es la matriz B = (Q^-1AQ)(2:k,2:k) que es de dimensión (k-1)x(k-1) y, por tanto, diagonalizable mediante una matriz ortogonal por hipótesis de inducción. Sean, pues, R de ^(k-1)x(k-1) ortogonal y H de ^(k-1)x(k-1) diagonal tales que B = R^-1HR. Luego Podemos escribir la matriz como producto (por bloques) de matrices: Nótese que D de ^kxk es diagonal por serlo H. Además, De donde se deduce que Z = P^-1. Además, P = Z^T por ser R ortogonal. Es decir, Z = P^-1 = P^T por tanto, Y ahora sólo hay que tener en cuenta que el producto de ortogonales es ortogonal ya que

Teorema

Toda matriz real y simétrica A es diagonalizable. Además, se tiene que A = PDP^-1 donde D es diagonal y P ortogonal (P^-1 = P^T).

Demostración (Notación MatLab)

Lo demostraremos por inducción sobre k, la dimensión de A.

Sea k = 1:

La matriz es de la forma A = [a], siendo a en .

Podemos escribir A = I·A·I donde I = [1] es la matriz identidad de dimensión 1, que es regular y ortogonal, y A es diagonal. Tenemos pues una diagonalización de A.

Supongamos que es cierto para dimensión k-1 (hipótesis de inducción).

Veamos que se cumple para dimensión k:

Sea A una matriz real simétrica de dimensión k. Puesto que A es simétrica, su espectro (autovalores) es positivo y real. Sea μ un autovalor de A. Existe x de ^k no nulo tal que Ax = μx y con norma₂ 1 (podemos suponer que es unitario ya que los vectores propios asociados a un autovalor conforman un subespacio).

Al ser x de norma₂ 1, existe una matriz Q real, de dimensión k y ortogonal cuya primera columna es el vector x ya que: podemos completar el sistema {x} hasta una base { x }U{ y_i }^k_i=2 y aplicar el método de Gram-Schmidt comenzando por x para obtener la base ortonormalizada {x}U{x_i }^ki=2. Luego definimos Q(:,1) = x , Q(:,i) = x_i y se tiene que es una matriz ortogonal puesto que

Consideremos el producto Q^-1AQ = Q^TAQ. Su primera columna es

Por ser A simétrica y Q ortogonal, (Q^-1AQ)^T = Q^-1AQ ya que (Q^-1AQ)^T = (Q^TAQ)^T = Q^TA^T(Q^T)^T = Q^TAQ = Q^-1AQ.

En particular tenemos que

Con lo que Q^-1AQ tiene la siguiente estructura por bloques

donde 0_ixj representa la matriz nula de dimensión ixj y B es la matriz B = (Q^-1AQ)(2:k,2:k) que es de dimensión (k-1)x(k-1) y, por tanto, diagonalizable mediante una matriz ortogonal por hipótesis de inducción.

Sean, pues, R de ^(k-1)x(k-1) ortogonal y H de ^(k-1)x(k-1) diagonal tales que B = R^-1HR. Luego

Podemos escribir la matriz como producto (por bloques) de matrices:

Nótese que D de ^kxk es diagonal por serlo H. Además,

De donde se deduce que Z = P^-1. Además, P = Z^T por ser R ortogonal. Es decir, Z = P^-1 = P^T por tanto,

Y ahora sólo hay que tener en cuenta que el producto de ortogonales es ortogonal ya que