8. Espacio regular Hausdorff, T₃

Definición 8.1.

Un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) es regular si todo subconjunto cerrado \( C\) de \( X\) y todo punto \(x \) que no pertenece a \( C\) admiten entornos abiertos que no se solapan. Es decir, existen dos abiertos disjuntos \(A\) y \(B\) tales que \(x\in A\) y \( C\subseteq B\).

Definición 8.2.

Un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) es regular Hausdorff o \( T_3\) si es un espacio regular y \( T_1\) ( de Fréchet).

Nota: se dice regular Hausdorff porque todo espacio \( T_3\) es de Hausdorff (Teorema 8.1.).

Teorema 8.1.

Un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) que sea \( T_3\) es también de Hausdorff. Es decir, \( T_3 \rightarrow T_2\).

Teorema 8.2.

Un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) es \( T_3\) si y sólo si es regular y \(T_0\).

Ejemplos:

Aplicando los teoremas anteriores o la definición,

• El espacio topológico trivial con más de un punto no es \(T_3\) puesto que no es \(T_0\).

• El espacio de Sierpinski \( (\{ 0, 1\}, \mathcal{T}_{Si} )\) cuya topología es

  $$ \mathcal{T}_{Si} = \{ \emptyset, \{ 1 \} , \{ 0,1 \} \} $$

  no es \(T_3\) porque no es \(T_1\).

• Un conjunto infinito con la topología cofinita no es \( T_3\) porque no es de Hausdorff.

• Los espacios \((\mathbb{R}^n, \mathcal{T}_u)\) son espacios \(T_3\) ya que son regulares y \(T_1\):

  El espacio es \(T_1\) porque es \(T_2\).

  Sea \(C\) un subconjunto cerrado de \(\mathbb{R}^n\) y \(z\) un punto tal que \( z\not\in C\).

  Para cada \(x\in C\) se tiene que \( x\neq z\) y, por tanto, como el espacio es de Hausdorff, existen dos abiertos disjuntos \(A_x\) y \(A_y\) tales que \( x\in A_x\) e \(y\in A_y\).

  Definimos

  $$ A = \bigcup_{x\in C}A_x $$

  El conjunto \(A\) es abierto por ser unión de abiertos y, además, \(A\cap A_y = \emptyset\) y \(C\subset A\).

  Por tanto, el espacio es regular.