6. Espacio topológico de Fréchet, T1
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Índice de contenidos:
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Definición
Ejemplos
Propiedades
Definición 5.1.
Un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \)
es de Fréchet o T1 si
para cada par de puntos distintos existe al menos un entorno de cada uno de dichos puntos que no contiene al otro punto. Es decir,
$$x,y\in X, x\neq y \rightarrow$$
$$ \exists U_x\in \mathcal{E}(x),$$
$$ \exists U_y\in \mathcal{E}(y), $$
$$ x\not\in U_y, y\not\in U_x $$
Ejemplo 1:
El espacio topológico \( (\mathbb{R}, \mathcal{T}_u) \) es de
Fréchet:
Sean dos puntos distintos \( x\) e \( y\). Podemos suponer que
\( x < y\). Entonces, existen otros tres puntos \( a\),
\( b\) y \( c\) tales que
$$ a< x < b < y < c $$
Los siguientes conjuntos disjuntos
$$ U_x = (a,b) $$
$$ U_y = (b,c) $$
son abiertos y, por tanto,
entornos de \( x\) y de \( y\), respectivamente.
Nota: este espacio es de Hausdorff y, por
tanto, es de Fréchet (Teorema 5.3).
Ejemplo 2:
El espacio de Sierpinski \( (\{ 0, 1\}, \mathcal{T}_{Si} )\) cuya topología es
$$ \mathcal{T}_{Si} = \{ \emptyset,
\{ 1 \} , \{ 0,1 \} \} $$
es un espacio de Kolmogórov
pero no es de Fréchet.
Nota: los conjuntos cerrados de este espacio son
$$ \{ \emptyset,
\{ 0 \} , \{ 0,1 \} \} $$
Los únicos entornos de 1 son
$$ \mathcal{E}(1) =\{\{ 1 \}, \{ 0, 1 \} \} $$
El único entorno de 0 es {0,1}.
Por tanto, existe un entorno de 1 que no contiene a 0, por lo que es de Kolmogórov.
Pero no es de Fréchet porque el único entorno de 0 también contiene a 1.
Teorema 5.1.
Un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \)
es de Fréchet si y sólo si todo punto es cerrado:
$$X\ es\ T_1 \Leftrightarrow $$
$$ \forall x\in X, \{ x \} \ es\ cerrado $$
Ver Demostración
$$ \Leftarrow $$
Es suficiente demostrar que para cada par de puntos
distintos \( x \) e \( y \)
de \( X \), existen abiertos \( A \) y \( B \) tales que
$$ x\in A, y\in B, $$
$$ x\not\in B, y\not\in A$$
Pero esto es inmediato si consideramos los conjuntos
$$ B := X-\{ x\} \in\mathcal{T}$$
$$ A := X-\{ y\} \in\mathcal{T} $$
$$ \Rightarrow $$
Supongamos que no se cumple el siguiente enunciado:
$$ \forall x\in X, \{ x \} \ es\ cerrado $$
Esto significa que existe al menos un punto \( z \) de \( X \)
tal que el conjunto {z} no es cerrado.
Luego el
complementario de este conjunto no es abierto:
$$ Z^* =X-\{z\} \not\in \mathcal{T} $$
Por una caracterización de los conjuntos abiertos, existe
algún punto \( y \) de \( Z^* \) tal que no existe
ningún abierto \( A \) que contiene a\( y \) y
que
está contenido en \( Z^* \).
Consideremos los puntos \( z \) e\( y \) anteriores.
Son distintos porque
$$ z \not \in Z^* , y\in Z^* $$
Por la suposición de que el espacio es \( T_1 \),
debe existir algún abierto \( A \) de la topología que
contiene al punto\( y \) pero no contiene
al punto \( z \).
Por lo anterior, sabemos que el abierto \( A \) debe cumplir
\( A \not\subseteq X-\{ z \} \). Pero obviamente \( A \subseteq X \). De ambas condiciones se deduce que el abierto
\( A \) es el espacio total y, por tanto, contiene
al punto \( z \). Pero esto es una
contradicción (porque \( A \) no debe contener a
\( z \)).
Teorema 5.2.
Todo espacio de Fréchet es de Kolmogórov. Es decir, \( T_1 \rightarrow T_0 \).
Ver Demostración
La demostración es inmediata.
Por la definición de Fréchet, dados dos
puntos distintos \( x \) e \( y \),
existen dos entornos
$$ U_x \in\mathcal{E}(x), U_y \in\mathcal{E}(y), $$
$$ x\not\in U_y, y\not\in U_x$$
Por tanto, existe algún entorno de alguno de estos dos puntos (por ejemplo,
el entorno \( U_x \) es entorno de \( x \)) que
no contiene al otro punto (\( U_x \) no contiene a
\( y \)). Ésta es la definición de espacio de
Kolmogórov.
Teorema 5.3.
Todo espacio topológico \((X,\mathcal{T}) \) de Hausdorff
es de Fréchet. Es decir, \( T_2 \rightarrow T_1 \).
Ver Demostración
Sean dos puntos distintos \( x\) e \( y\) de \( X\). Por
la definición de espacio de Hausdorff, existen dos
abiertos \(A\) y \( B\) disjuntos tales que \(x\in A\) e
\( y\in B\).
Estos abiertos son, en paritcular, entornos de los puntos y
no contiene al otro punto:
$$ A\in \mathcal{E}(x),$$
$$ B\in \mathcal{E}(y)$$
$$ y\not\in A, x\not\in B $$
Teorema 5.4.
Un espacio topológico \((X,\mathcal{T}) \) es de Fréchet
si y sólo si todo subconjunto finito de \( X \) es
cerrado.
Ver Demostración
$$ \Rightarrow $$
Dado \( x \) de \( X\), por el Teorema 5.1.,
el conjunto \( \{ x\}\) es cerrado.
Si \( A\) es un subconjunto finito de \(X\), está formado
por \(n\) puntos de \( X\):
$$ A = \{ x_i: 1\leq i\leq n\} $$
El conjunto \( A\) es unión de conjuntos cerrados:
$$ A = \bigcup_{1\leq i\leq n} \{ x_i\} $$
y por tanto, es un conjunto cerrado.
$$ \Leftarrow$$
Dado \( x\) de \( X\), el conjunto \( A = \{ x \} \)
es un conjunto finito y, por hipótesis, es cerrado.
Aplicando el Teorema 5.1., el espacio es
de Fréchet.
Teorema 5.5.
Un espacio topológico \((X,\mathcal{T}) \) es de Fréchet
si y sólo si todo subconjunto cofinito de \( X \) es
abierto.
Nota: el conjunto \( A\subseteq X\) es
cofinito si su complementario
\( X-A\) es finito.
Ver Demostración
$$ \Rightarrow $$
Sea \(A\) cofinito. Entonces, su complementario
\( B = X-A \) es finito.
Por el Teorema 5.4., \( B\) es cerrado y,
por tanto, \(A\) es abierto.
$$ \Leftarrow$$
Sea \( x\) un punto de \( X\). El conjunto
\( A = \{x\} \) es finito. El conjunto
complementario \( B = X-A\) es abierto por
ser cofinito (por hipótesis). Luego \( A\) es
cerrado.
Aplicando el Teorema 5.1., el espacio es
de Fréchet.
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