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Problemas de Optimización

(cálculo diferencial básico)

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • 24 Problemas resueltos de optimización (nivel bachillerato).



Introducción

Los siguientes problemas resueltos son problemas de optimización mediante cálculo diferencial básico (nivel bachillerato). Para resolverlos, se precisa derivar y aplicar el criterio de la primera derivada.

Para resolver los siguientes problemas optimización de cálculo diferencial básico, utilizaremos el siguiente método:

  1. Plantear la función \(f\) que debe optimizarse (maximizar o minimizar).

  2. Calcular la derivada de la función \(f\).

  3. Buscar los puntos críticos de \(f\) igualando a 0 la derivada \(f'\).

  4. Estudiar la monotonía de la función (creciente o decreciente) en los intervalos que generan los puntos críticos para determinar el tipo de extremos (relativos o absolutos).

Solamente se utiliza el criterio de la primera derivada (excepto en el Problema 22 y en el Problema 23) puesto que no todos los alumnos estudian el de la segunda derivada.

Toda la información necesaria para seguir los pasos del método de arriba se encuentra en:

Problemas Resueltos


Problema 1

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20x10cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja.

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado \(L\) debe medir entre 2 y 3 cm (\(2\leq L\leq 3\)).

Solución

Problema 2

Una empresa vende 0.7 toneladas de zumo y 0.3 toneladas de sobrante por cada tonelada de materia prima. El coste de la materia prima es de 0.8€/kg, los precios de venta del zumo y del sobrante son 2.5€/kg y 0.05€/kg, respectivamente, y el coste de producción viene dado por la función

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

donde \(x\) representa las toneladas de zumo producido.

Obtener:

  1. Una expresión para calcular las ganancias netas en función de las toneladas de materia prima.

  2. La cantidad de zumo que se debe fabricar para que las ganancias netas sean máximas.

Solución

Problema 3

Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular para la hoja y tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y lado superior). El precio del tablón es de $128 por metro cuadrado y el de los listones es de $87 por metro lineal.

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

Calcular:

  1. Las dimensiones de una puerta de \(2m^2\) de superficie de hoja para que el coste sea mínimo. ¿Cuál será su precio?

  2. Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio?

Solución

Problema 4

Encontrar parejas de números \(x\) e \(y\) tales que \(y\) sea el doble del cuadrado de \(x\) y que la resta de sus cuadrados (\(x^2 - y^2\)) sea máxima.

Solución

Problema 5

Las ganancias diarias en miles de dólares de una empresa petrolera son

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

si \(0\leq x < 15\) y

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

si \(15\geq x\), siendo \(x\) el número de barriles de 1000L que se producen.

Calcular cuántos barriles deben producirse para maximizar las ganancias teniendo en cuenta que no se pueden extraer más de 35000L diarios.

Solución


Problema 6

Una empresa está trazando parcelas iguales y rectangulares sobre el plano de un terreno para construir chalets de \(200m^2\) de superficie. Según la legislación de la zona, entre el chalet y la valla de la parcela debe haber un margen de 3 metros en los lados verticales y uno de 10 metros en los lados horizontales.

Calcular las dimensiones que deben tener las parcelas para que su área sea mínima. ¿Cuál será el área de una parcela?

Solución

Problema 7

Se desea colocar un cartel publicitario rectangular en el hueco que hay debajo de un puente cuya forma viene dada por la parábola

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

El cartel debe sujetarse por sus dos vértices superiores y la distancia entre el cartel y el suelo debe ser de 3m:

Calcular las dimensiones del cartel para que su área sea máxima y los puntos de los vértices superiores del cartel.

Solución

Problema 8

Para fabricar un depósito cilíndrico de agua se necesitan materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $2 y el del lateral es de $15.

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

Calcular la altura \(h\) y el diámetro \(d=2r\) para que el coste de un depósito de 10 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del depósito?

Solución


Problema 9

Se desea construir una mesa con la siguiente forma

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

siendo \(L\) la longitud del ancho del rectángulo y \(R\) el radio del extremo semicircular.

El precio del cristal a medida con forma rectangular es de $90 por metro cuadrado. Sin embargo, el precio del cristal con corte circular viene dado por la función

$$ Coste(R) = 150·R^2 $$

Calcular las medidas de la mesa de \(6m^2\) para que el coste sea mínimo bajo la condición \(1\leq R\leq 2\) y comentar el resultado obtenido.

Solución


Problema 10

Se inscribe un rectángulo de base \(b\) y altura \(h\) en una circunferencia de radio \(r\). Si el centro del rectángulo coincide con el de la circunferencia, calcular sus lados en función del radio \(r\) para que su área sea máxima.

¿Cuál es el área del rectángulo?

Ayuda: algunos ejemplos de rectángulos inscritos del modo indicado en el enunciado son

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

Solución


Problema 11

Encontrar dos números tales que la suma de uno de ellos con el cubo del otro sea 108 y que su producto sea lo más grande posible.

Solución


Problema 12

Se desea construir una mesa de madera de 3 metros cuadrados con la siguiente forma:

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

La mesa está formada por un rectángulo de lados \(b\) y \(h\) y en los lados que miden \(h\) hay adosados dos semicírculos de igual radio \(R\).

Si el precio de la madera es de 120€ por metro cuadrado y el coste del biselado de los bordes de la mesa es de 5€ por decímetro para los bordes rectos y 11€ por decímetro para los bordes curvos, calcular las dimensiones de la mesa (\(b\) y \(h\)) para que su coste sea mínimo.

Solución


Problema 13

De entre todos los rectángulos con igual perímetro, ¿cuál es el de mayor área?

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

Solución


Problema 14

Se inscribe un triángulo en una circunferencia de radio \(r = 1\) y centro el origen del plano cartesiano. Si los vértices del triángulo son \((0,r)\), \((x,y)\) y \((-x,y)\) (los tres están sobre la circunferencia), calcular los vértices del triángulo de área máxima. ¿Cuál es su área? ¿Es un triángulo equilátero o isósceles?

Solución


Problema 15

La siguiente figura representa el tronco y las dos ramas de un árbol (segmentos rojos) que mide 3 metros de altura. Se observa que cada año el tronco y las ramas crecen 1 metro (en la dirección que indican las flechas azules).

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

Calcular:

¿Cuándo alcanza el árbol su altura máxima?

Solución


Problema 16

Encontrar los extremos relativos y absolutos (si los hay) de la función

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

y obtener una función \(F(x)\) primitiva de \(f\) tal que \(F(2) = f(2)\).

Solución


Problema 17

Encontrar dos números distintos \(a\) y \(b\) tales que uno de ellos sea el cubo del otro (\(b =a^3\) ) y la resta de sus cuadrados (\(a^2-b^2\)) sea máxima.

Razonar todos los pasos y enunciar los teoremas o resultados empleados.

Solución


Problema 18

El trazado de una nueva carretera sobre el término municipal del pueblo A coincide con la gráfica de la función

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

El ayuntamiento del pueblo A desea estudiar los puntos de la carretera más cercanos al pueblo para construir tiendas y los más lejanos para construir naves industriales. Así se consigue que todas las edificaciones tengan un rápido acceso desde la carretera y los ciudadanos tengan cerca las tiendas y lejos los ruidos de las industrias.

Encontrar todos los puntos óptimos para ambos tipos de construcciones según los criterios del ayuntamiento sabiendo que las coordenadas del pueblo son (0,0).

Ayuda: las únicas raíces reales del polinomio \(3x^4-9x+1\) son, aproximadamente, \(x_1 \simeq 0.11\) y \(x_2 \simeq 1.4\).

Solución


Problema 19

Calcular los extremos relativos y/o absolutos de la función \(f(x)=sin(2x)-x\) definida en el intervalo

$$I=\left] - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \subset\mathbb{R}$$

y calcular la integral definida de \(f\) en el intervalo \(I\).

Solución


Problema 20

Demostrar que la sucesión \(a_n\) es monótona decreciente \(\forall n\in\mathbb{N}\) y calcular su límite (\( n\to +\infty\)).

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

Solución


Problema 21 (dificultad alta)

Calcular de forma razonada todos los extremos relativos y/o absolutos de la siguiente función definida a trozos:

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siendo \(\mathbb{Z}\) el conjunto de los números enteros:

$$ \mathbb{Z}=\{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3,...\}$$

Solución


Problema 22

Demostrar que toda parábola \(y=ax^2+bx+c\) (con \(a\neq 0\)) tiene un máximo o mínimo absoluto y que su vértice se encuentra en el punto \(\left(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a}\right)\).

Solución

Problema 23

La función

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tiene un extremo en \(x=\pm 1\) y

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

Calcular los coeficientes \(a,b,c\) y \(d\) y determinar si los extremos proporcionados son mínimos o máximos.

Solución

Problema 24

Sabiendo que la derivada de la función \(f\) es

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y que \(f(-1)=2\) :

Se pide:

problemas de optimización para bachiller: aplicación del cálculo diferencial: criterio de la primera derivada. Máximos, mínimos y monotonía

Solución

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