Extremos y monotonía de funciones (con problemas resueltos)
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Extremos y monotonía de funciones

En esta página recordamos los conceptos de extremos relativos y absolutos de una función (de una variable real) y los criterios de la primera y la segunda derivada. Proporcionamos el método a seguir para hallar y clasificar los extremos de una función y 20 ejemplos (problemas resueltos).

Contenido de esta página:

  1. Conceptos necesarios
  2. Método de resolución
  3. Ejemplo
  4. 20 problemas resueltos

1. Conceptos necesarios

Sea \(f\) una función continua en su dominio.

Monotonía:

  • La función \(f\) es monótona creciente si para todo \(x<y\) se tiene \(f(x)< f(y)\).
  • La función \(f\) es monótona decreciente si para todo \(x<y\) se tiene \(f(x)> f(y)\).

La monotonía es estricta si la desigualdad de la definición es estricta.

Extremos:

  • La función \(f\) tiene un mínimo relativo o local en \(c\) si existe \(\varepsilon > 0\) tal que \(f(c) ≤ f(x)\) para todo \(x\in (c-\varepsilon ,c+\varepsilon )\).
  • La función \(f\) tiene un máximo relativo o local en \(c\) si existe \(\varepsilon > 0\) tal que \(f(c) ≥ f(x)\) para todo \(x\in (c-\varepsilon ,c+\varepsilon )\).

El extremo \(c\) es un extremo absoluto o global si la definición se cumple para todo el dominio de la función, es decir, no solamente para un entorno \((c-\varepsilon ,c+\varepsilon )\).

Criterio de la primera derivada:

Sea \(f\) una función continua en el intervalo \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\).

  • Si \(f'(x) > 0\) para todo \(x\in (a,b)\), entonces \(f\) es creciente en \((a,b)\).
  • Si \(f'(x) < 0\) para todo \(x\in (a,b)\), entonces \(f\) es decreciente en \((a,b)\).

Si \(f'(c)=0\), decimos que \(c\) es un punto crítico de \(f\).

Criterio de la segunda derivada:

Sea \(f\) una función dos veces derivable en \((a,b)\) y sea \(c\in (a,b)\) un punto crítico.

  • La función \(f\) tiene un máximo relativo en \(c\) si \(f''(c) < 0\).
  • La función \(f\) tiene un mínimo relativo en \(c\) si \(f''(c) > 0\).

2. Método de resolución

Para hallar y determinar los extremos de una función derivable, \(f\), podemos seguir los siguientes pasos:

  1. Calcular el dominio de \(f\).
  2. Calcular la derivada de \(f\), \(f'\).
  3. Calcular los puntos críticos de \(f\), que son las soluciones de la ecuación \(f'(x)=0\). Estos puntos son los candidatos para ser extremos relativos.
  4. Calcular la segunda derivada, \(f''\).
  5. Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos para determinar si es un extremo y de qué tipo: si es negativa, es un máximo; si es positiva, es un mínimo; si es 0, es un posible punto de inflexión.

Si la función \(f\) está definida sobre un intervalo (semi) cerrado, hay que considerar los extremos como candidatos a extremos. Esto es necesario, por ejemplo, en las funciones definidas a trozos.

Monotonía:

Dividimos el dominio en intervalos lo más amplios posibles de modo que no contienen a los puntos críticos. Evaluamos \(f'\) en cualquier punto del intervalo para saber su signo. Si es positivo, la función es creciente en dicho intervalo; si es negativo, es decreciente.


También, podemos deducir los extremos a partir de la monotonía de la función: es un mínimo si la función decrece a su izquierda y crece a su derecha; es un máximo si crece a su izquierda y decrece a su derecha. Ejemplos de este método en criterio de la primera derivada.

A veces, es mejor calcular los extremos a partir de la derivada, sobre todo cuando el cálculo de la segunda derivada es complicado.

3. Ejemplo

Vamos a calcular los extremos de la siguiente función definida a trozos:

Recordamos los conceptos de extremos relativos y absolutos (máximos y mínimo) y los criterios de la primera y la segunda derivada. Resolvemos 20 problemas de aplicación. Extremos de funciones. Matemáticas. Cálculo diferencial.

Calculamos la derivada:

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El único punto que anula la derivada es \(x=0\), así que sólo hay un punto crítico.

Calculamos la segunda derivada:

Recordamos los conceptos de extremos relativos y absolutos (máximos y mínimo) y los criterios de la primera y la segunda derivada. Resolvemos 20 problemas de aplicación. Extremos de funciones. Matemáticas. Cálculo diferencial.

Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico:

Recordamos los conceptos de extremos relativos y absolutos (máximos y mínimo) y los criterios de la primera y la segunda derivada. Resolvemos 20 problemas de aplicación. Extremos de funciones. Matemáticas. Cálculo diferencial.

Como es negativa, se trata de un máximo.

Como la definición de la función cambia en \(x=1\), hay que considerar este punto como un candidato a extremo. Para saber si lo es, estudiamos la monotonía de la función a su alrededor.

Si \(0<x<1\), la primera derivada es negativa, así que \(f\) es decreciente. Si \(x>1\), la primera derivada es positiva, así que \(f\) es creciente. Por tanto, \(x = 1\) es un mínimo.

Gráfica:

Recordamos los conceptos de extremos relativos y absolutos (máximos y mínimo) y los criterios de la primera y la segunda derivada. Resolvemos 20 problemas de aplicación. Extremos de funciones. Matemáticas. Cálculo diferencial.

Observad que los extremos no son absolutos porque los límites de la función cuando \(x\to\pm\infty\) son infinitos (la función no está acotada).

X

4. Problemas resueltos

Nota 1: aunque podemos deducir la monotonía a partir de los extremos, aplicaremos el criterio de la segunda derivada para ello.

Nota 2: recordad que la derivada de una función \(f\) es un límite:

$$ f'(x) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Por tanto, para que exista la derivada, deben existir y coincidir los límites cuando \(h\) tiende 0 por ambos lados.

En las funciones definidas a trozos, puede darse el caso de que los límites no coincidan en los puntos donde \(x\) cambia de definición. Por esta razón, escribiremos a veces signos estrictos en la primera y segunda derivada.

Función 1

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Solución

Función 2

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Solución

Función 3

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Solución

Función 4

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Solución

Función 5

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Solución

Función 6

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Solución

Función 7

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Solución

Función 8

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Solución

Función 9

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Solución

Función 10

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Solución

Función 11

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Solución

Función 12

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Solución

Función 13

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Solución

Función 14

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Solución

Función 15

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Solución

Función 16

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Solución

Problema 1

Demostrar la siguiente desigualdad:

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Solución

Problema 2

Resolver la siguiente inecuación:

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Solución

Problema 3

Demostrar que toda parábola tiene un extremo absoluto en \(x=-b/(2a)\).

Solución

Problema 4

Demostrar que la siguiente función siempre tiene un máximo y un mínimo:

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Solución



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