Extremos y Monotonía de Funciones

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Método de resolución

  • 16 Ejercicios Resueltos: búsqueda de extremos y monotonía de funciones




Introducción

En esta sección estudiamos la existencia de extremos (absolutos y relativos) de funciones (de una variable y real) mediante cálculo diferencial:

  • el criterio de la primera derivada nos proporciona los puntos que podrían ser extremos (puntos críticos) y la monotonía de la función (creciente o decreciente).

  • el criterio de la segunda derivada nos informa de si un punto crítico es un mínimo o un máximo (en caso de ser un extremo). No obstante, en ocasiones es más cómodo deducir la existencia de extremos y su tipo a partir de la monotonía de la función (por ejemplo, cuando el cálculo de la segunda derivada es arduo).

Sin embargo, ninguno de los dos criterios nos permite conocer si un extremo es un extremo absoluto o relativo. Deberemos deducirlo a partir de otros razonamientos como:

  • el tipo de función: por ejemplo, si la función es una parábola, sabemos que el extremo será absoluto. Si la función es racional, tiende a (más/menos) infinito en los puntos de continuidad, por lo que los extremos no suelen ser absolutos.

  • la existencia de otros extremos: por ejemplo, si existen dos mínimos, no pueden ser los dos mínimos absolutos (excepto que el valor de la función en dichos extremos sea el mismo).

  • los límites de la función: por ejemplo, si la función tiene un mínimo pero tiende a menos infinito en algún punto, entonces no puede ser un mínimo absoluto.

Finalmente, comentamos que los ejercicios pretenden estar escritos en orden creciente de dificultad. Los tipos de funciones que veremos son: polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, con valores absolutos, con raíces y definidas a trozos o por partes.

Temas relacionados: puntos de inflexión, convexidad y concavidad.



Método de resolución

Extremos

  1. Estudiar el dominio.

  2. Calcular la primera derivada.

  3. Puntos críticos: puntos candidatos a ser extremos. Aquellos que anulan la primera derivada junto con los extremos de los intervalos de definición si la función está definida a trozos o en un intervalo cerrado.

  4. Calculamos la segunda derivada.

  5. Calculamos el signo de la segunda derivada en los puntos que anulan a la primera derivada:

    • Si es negativa, es un máximo.

    • Si es positiva, es un mínimo.

  1. Para saber si los extremos de los intervalos de definición son extremos, estudiamos la monotonía alrededor de dichos puntos.

Monotonía
  1. Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos del dominio que generan los puntos críticos. Para ello escogemos cualquier punto de cada intervalo (el signo de la derivada no varía en los intervalos):

    • Si es positiva: la función es creciente en el intervalo.

    • Si es negativa: la función es decreciente en el intervalo.

  1. Los puntos de los intervalos de definición son:

    • Mínimo: si la función decrece a su derecha y crece a su izquierda.

    • Máximo: si la función crece a su derecha y decrece a su izquierda.

    • No es extremo: si la función crece o decrece a ambos lados (es decir, si la monotonía no cambia en dicho punto).



16 Problemas Resueltos



Función 1

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 2

ejercicios resueltos de extremos, 
                     	maximos y minimos

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Función 3

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 4

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 5

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 6

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 7

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 8

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 9

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 10

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Función 11

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 12

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 13

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 14

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 15

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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Función 16

ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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