Extremos y Monotonía de Funciones

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Método de resolución

  • 16 Ejercicios Resueltos: búsqueda de extremos y monotonía de funciones


Introducción

En esta sección estudiamos la existencia de extremos (absolutos y relativos) de funciones (de una variable y real) mediante cálculo diferencial: criterios de la primera y segunda derivada. Estos criterios nos permiten saber el tipo de extremo (máximo o mínimo) estudiando el signo de la primera derivada y la monotonía (creciente o decreciente) estudiando el signo de la derivada segunda.

En las soluciones, en ocasiones usaremos la segunda derivada para la monotonía o bien la deduciremos a partir de la derivada primera, según nos convenga (por ejemplo, si el cálculo de la derivada segunda es arduo).

Asimismo, la primera derivada no nos permite saber, de forma directa, si se trata de un extremo absoluto o relativo. Tendremos que deducirlo de otro modo como: según el tipo de función (por ejemplo, si es una parábola, sabemos que será absoluto) o el número de extremos y los límites de la función (por ejemplo, si tenemos un mínimo y la función tiende a infinito a su izquierda y derecha, es absoluto).

Finalmente, comentamos que los ejercicios pretenden estar escritos en orden creciente de dificultad. Los tipos de funciones que veremos son: polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, con valores absolutos, con raíces y definidas a trozos o por partes.

Temas relacionados: puntos de inflexión, convexidad y concavidad.



Método de resolución

Extremos

  1. Estudiar el dominio.
  2. Calcular la primera derivada.
  3. Puntos críticos: puntos candidatos a ser extremo. Aquellos que anulan la primera derivada junto con los extremos de los intervalos de definición si la función está definida a trozos.
  4. Calculamos la segunda derivada.
  5. Calculamos el signo de la segunda derivada en los puntos que anulan a la primera derivada:
    • Si es negativa, es un máximo.
    • Si es positiva, es un mínimo.
  6. Para saber si los extremos de los intervalos de definición son extremos, estudiamos la monotonía alrededor de dichos puntos.
Monotonía
  1. Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos del dominio que generan los puntos críticos. Para ello escogemos cualquier punto de cada intervalo (el signo de la derivada no varía en los intervalos):
    • Si es positiva: la función es creciente en el intervalo.
    • Si es negativa: la función es decreciente en el intervalo.
  2. Los puntos de los intervalos de definición son:
    • Mínimo: si la función decrece a su derecha y crece a su izquierda.
    • Máximo: si la función crece a su derecha y decrece a su izquierda.
    • No es extremo: si la función crece o decrece a ambos lados.

Ejercicios Resueltos


Ejercicios resueltos (click para ver solución)
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ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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ejercicios resueltos de extremos, maximos y minimos

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