Criterio de la Segunda Derivada

Enunciado y demostración del criterio de la segunda derivada.

Enlace: Ejemplos de Aplicación: extremos y monotonía.


Enunciado del teorema

Sean f una función derivable en el intervalo ]a,b[ de numeros reales, con

$$ f'(z) = 0,\ z \in ]a,b[ $$

tal que existe

$$f ''(z) < 0 $$

entonces f presenta un máximo local en z.

Análogamente, si

$$ f ''(z) > 0 $$

entonces se trata de un mínimo local.


Demostración

Supongamos que

$$ f ''(z) > 0 $$

puesto que

$$ f '(z) = 0 $$

en la definición de la segunda derivada tenemos

$$ f ''(z) = \lim_{x \to z} \frac{f'(x)-f'(z)}{x-z} = \lim_{x \to z}\frac{f'(x)}{x-z} > 0 $$

Por la definición de límite,

$$ \exists \delta > 0, \ \frac{f'(x)}{x-z} > 0,\ \forall x\in ]z-\delta, z+\delta[ , \ x\neq z $$

En particular,

$$ f'(x) < 0, \ \forall x\in ]z-\delta, z[ $$

$$ f'(x) > 0, \ \forall x\in ]z,z+\delta[ $$

Por el criterio de la primera derivada, f es estrictamente mónotona decreciente y creciente, respectivamente, a la izquierda y a la derecha de z.

Por tanto, f presenta en z un máximo

.

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