Criterio de la segunda derivada (con ejemplos y demostración)
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Criterio de la segunda derivada

En esta página enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación.

Contenido de esta página:

  1. Enunciado del criterio
  2. Aplicaciones del criterio
  3. Ejemplos de aplicación
  4. Demostración del criterio

1. Enunciado del criterio

Sea \(f\) una función dos veces derivable en el intervalo \(]a,b[\subset\mathbb{R}\) y sea \(z\in ]a,b[\) tal que \(f'(z) = 0\). Entonces,

  • Si \(f''(z)< 0\), entonces \(f\) tiene un máximo relativo en \(z\).
  • Si \(f''(z)> 0\), entonces \(f\) tiene un mínimo relativo en \(z\).

Recordatorio del concepto de extremo relativo o local:

El punto \(z\) de \([a,b]\)

  • es un mínimo relativo de \(f\) si \(f(z)\leq f(x)\) para todo \(x\in [a,b]\)
  • es un máximo relativo de \(f\) si \(f(z)\geq f(x)\) para todo \(x\in [a,b]\)

Si \(z\) es un máximo relativo o un mínimo relativo, se dice que es un extremo relativo.

Si \(z\) es un máximo o un mínimo para todo el dominio de la función, se dice que es un extremo absoluto.

2. Aplicaciones del criterio

La aplicación directa del criterio de la segunda derivada es determinar si los puntos críticos de una función (puntos que anulan la primera derivada) son máximos o mínimos.

Si hay extremos, podemos deducir la monotonía de la función alrededor de éstos.

Además de esto, los puntos que anulan la segunda derivada son candidatos a ser puntos de inflexión (puntos donde la curvatura de la función cambia de tipo (concavidad y convexidad)).

3. Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1

Determinar si los extremos de la siguiente función son máximos o mínimos:

Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación. Extremos relativos (máximos y mínimos). Cálculo diferencial. Matemáticas.

Calculamos la primera derivada:

Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación. Extremos relativos (máximos y mínimos). Cálculo diferencial. Matemáticas.

Calculamos los puntos críticos:

Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación. Extremos relativos (máximos y mínimos). Cálculo diferencial. Matemáticas.

Calculamos la segunda derivada:

Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación. Extremos relativos (máximos y mínimos). Cálculo diferencial. Matemáticas.

Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:

Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación. Extremos relativos (máximos y mínimos). Cálculo diferencial. Matemáticas.

Por tanto, \(f\) tiene un máximo local en \(x = 0\) y un mínimo local en \(x = 2\).

Gráfica:

Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación. Extremos relativos (máximos y mínimos). Cálculo diferencial. Matemáticas.

Ejemplo 2

Hallar los posibles puntos de inflexión de la función anterior.

Como los puntos de inflexión anulan la segunda derivada, resolvemos la ecuación \(f''(x)=0\):

Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación. Extremos relativos (máximos y mínimos). Cálculo diferencial. Matemáticas.

Observando la gráfica anterior, el punto \(x=1\) es un punto de inflexión: la función pasa de cóncava a convexa.

X

4. Demostración del criterio

Demostramos el caso del mínimo (el máximo es análogo).

Demostración

Supongamos que \(f''(z)> 0\).

Como \(f'(z) = 0\), aplicando la definición de la segunda derivada, tenemos

Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación. Extremos relativos (máximos y mínimos). Cálculo diferencial. Matemáticas.

Por la definición de límite, \(\exists \delta >0\), tal que \( \frac{f'(x)}{x-z} > 0\) para todo \(x\in ]z-\delta, z+\delta[ , \ x\neq z\).

En particular,

Enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación. Extremos relativos (máximos y mínimos). Cálculo diferencial. Matemáticas.

Por el criterio de la primera derivada, \(f\) es estrictamente monótona decreciente y creciente, respectivamente, a la izquierda y a la derecha de \(z\). Por tanto, \(f\) presenta en \(z\) un mínimo.



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