Criterio de la primera derivada (con ejemplos y demostración)
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Criterio de la primera derivada

En esta página enunciamos y demostramos el criterio de la primera derivada y proporcionamos un par de ejemplos de sus aplicaciones.

Contenido de esta página:

  1. Enunciado del criterio
  2. Aplicaciones del criterio
  3. Ejemplos de aplicación
  4. Demostración del criterio

1. Enunciado del criterio

Sea \(f\) una función continua en el intervalo \([a, b]\subset\mathbb{R}\) y derivable en \(]a, b[\). Entonces,

  • La función \(f\) es monótona creciente en el intervalo \(]a,b[\) si, y sólo si, \(f'(x)\geq 0\) para todo \(x\in ]a,b[\).
  • La función \(f\) es monótona decreciente en el intervalo \(]a,b[\) si, y sólo si, \(f'(x) \leq 0\) para todo \(x\in ]a,b[\).

Decimos que \(c\in ]a,b[\) es un punto crítico si \(f'(c) = 0\).

Los puntos críticos son los candidatos a ser extremos relativos (y absolutos) de la función.

2. Aplicaciones del criterio

Además de la proporcionar la monotonía de la función, el criterio de la primera derivada se utiliza para hallar extremos relativos y determinar su tipo (máximo o mínimo).

Recordatorio del concepto de extremo relativo o local:

El punto \(c\) de \([a,b]\)

  • es un mínimo relativo de \(f\) si \(f(c)\leq f(x)\) para todo \(x\in [a,b]\)
  • es un máximo relativo de \(f\) si \(f(c)\geq f(x)\) para todo \(x\in [a,b]\)

Si \(c\) es un máximo relativo o un mínimo relativo, se dice que es un extremo relativo.

Si \(c\) es un máximo o un mínimo para todo el dominio de la función, se dice que es un extremo absoluto.

Aplicamos el criterio para determinar si un punto crítico \(c\) es un extremo:

  • Si \(f\) es creciente a la izquierda de \(c\) y decreciente a su derecha, \(c\) es un máximo.
  • Si \(f\) es decreciente a la izquierda de \(c\) y creciente a su derecha, \(c\) es un mínimo.
  • Si la monotonía de \(f\) es igual a ambos lados de \(c\), entonces \(c\) no es un extremo relativo.

3. Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1

Demostrar que la siguiente función es monótona creciente para \(x > 4/9\):

Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monotonía de la función y deducir la existencia de extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Análisis y cálculo diferencial.

Derivamos la función:

Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monotonía de la función y deducir la existencia de extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Análisis y cálculo diferencial.

Calculamos los puntos críticos:

Enunciamos y demostramos la regla o criterio de la primera derivada y proporcionamos algunos ejemplos. El criterio proporciona la monotonía de la función y deducir la existencia de extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Análisis y cálculo diferencial.

El signo de la derivada se mantiene constante en el intervalo \(x > 4/9\). Determinamos su signo calculando la imagen de cualquier punto de dicho intervalo:

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Por tanto, la función \(f\) es monótona creciente en el intervalo \((4/9, +\infty)\).

Gráfica:

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Nota: no hemos estudiado la monotonía en el resto de los reales.

Ejemplo 2

Hallar los extremos de la siguiente función polinómica:

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Calculamos su derivada:

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Calculamos los puntos críticos:

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Hay dos puntos críticos: \(x = 1/3\) y \(x = -1/3\).

Obviamente, el signo de la derivada se mantiene constante en los intervalos \((-\infty , -1/3)\), \((-1/3,1/3)\) y \((1/3,+\infty)\), así que podemos evaluar la derivada en cualquier punto de cada intervalo para determinar su signo:

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Por tanto,

  • La función \(f\) es creciente en \((-\infty , -1/3)\).
  • La función \(f\) es decreciente en \((-1/3,1/3)\).
  • La función \(f\) es creciente en \((1/3,+\infty)\).

Por tanto, deducimos que \(x = -1/3\) es un máximo y \(x=1/3\) es un mínimo.

Teniendo en cuenta que los límites de \(f\) cuando \(x\to\pm\infty\) son infinitos, los extremos no son absolutos.

Gráfica:

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Más ejemplos en

X

4. Demostración del criterio

Demostraremos únicamente el primer apartado (monótona creciente) ya que el segundo es análogo.

Demostración

Supongamos que \(f\) es creciente. Tenemos que ver que su derivada es mayor o igual que 0.

Fijemos un punto \(x\in ]a,b[\). Por definición, la derivada de \(f\) en \(x\) es

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Ahora bien, si \(h> 0\), como \(f\) es creciente,

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Y, por tanto, \(f'(x)\geq 0\).

Supongamos ahora que \(f'(x)\geq 0\) para todo \(x\in ]a,b[\).

Sean \(x,y\in ]a,b[\) tales que \(x< y\). Por el teorema del valor medio, existe un \(c\in ]a,b[\) tal que \(x< c < y\) cumpliendo

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Como la derivada es no negativa y \(x< y\), tenemos que

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Lo que implica que \(f\) es creciente.





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