Criterio de la Primera Derivada

Enunciado y demostración del Criterio de la primera derivada.

Enlaces: Ejemplos de Aplicación, Criterio de la segunda derivada (extremos).


Enunciado del teorema

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] de número reales y derivable en ]a, b[. Entonces,

  1. f es monótona creciente en ]a, b[ si, y sólo si,

    $$ f'(x) \geq 0, \ \forall x \in ]a, b[ $$

  2. f es monótona decreciente en ]a, b[ si, y sólo si,

    $$ f'(x) \leq 0, \ \forall x \in ]a, b[ $$


Demostración

Demostraremos únicamente el apartado a ya que el b es análogo.

Supongamos que f es creciente. Tenemos que ver que su derivada es mayor o igual que 0.

Fijemos un punto x de ]a, b[. Entonces, por definición, la derivada de f en x es

definición de derivada de f

Puesto que f es creciente, si h > 0, se tiene que

función creciente

y, por tanto,

$$ f'(x)\geq 0 $$

Supongamos ahora que para todo x de ]a, b[

Sean x e y de ]a, b[ tales que x < y. Por el teorema del valor medio, existe un c tal que

$$ x < c < y $$

cumpliendo

$$ f(y)-f(x) = f'(c)(y-x) \geq 0 $$

Es decir,

$$ f(y) \geq f(x),\ \forall x< y $$

por lo que f es creciente.


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