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Racionalizar y simplificar raíces

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Herramientas

  • 32 Ejercicios Resueltos

Introducción

En esta página simplificamos expresiones con radicales (raíces), especialmente, fracciones con raíces en el denominador (con la intención de que dejen de estar en el denominador). La mayoría de las raíces tienen parámetros, pero el procedimiento a seguir es el mismo.

El procedimiento de encontrar una fracción equivalente sin raíces en el denominador se denomina racionalizar. La importancia de este procedimiento se hace notar en el cálculo de límites ya que muchas veces permite resolver indeterminaciones.

Emplearemos las propiedades de las potencias (ya que las raíces son potencias). Además, una de las técnicas claves es aplicar el producto notable suma por diferencia.

Los ejercicios pretenden seguir un orden de dificultad creciente. Trabajaremos con raíces de distintos órdenes, raíces anidadas (unas dentro de otras), raíces en el denominador, raíces de sumas de fracciones, productos y cocientes de raíces e incluso raíces de orden fraccionario.

Herramientas

Las herramientas que nos permiten simplificar las raíces y racionalizar son, básicamente, las propiedades de las potencias y los productos notables.

Los productos notables que más utilizaremos son:

  • Cuadrado de la suma:

    $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$

  • Cuadrado de la resta:

    $$ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $$

  • Suma por diferencia:

    $$ (a+b)(a-b) = a^2 -b^2$$

Recordad también que una raíz puede escribirse como una potencia:

$$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $$

$$ \sqrt[n]{a^b} = a^\frac{b}{n} $$

$$ (\sqrt[n]{a})^b = a^\frac{b}{n} $$

Y que el producto de raíces del mismo orden es igual a la raíz del producto de sus radicandos:

$$ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a\cdot b} $$

Utilizaremos habitualmente la siguiente igualdad:

$$ \frac{A}{B} = \frac{A\cdot C}{B\cdot C} $$

Es decir, multiplicaremos en el numerador y en el denominador por el mismo factor para obtener una fracción equivalente. Si es escogido adecuadamente el factor \(C\), al calcular el producto desaparecerán las raíces del denominador.

Llamaremos conjugado de la suma \(A+B\) al número \(A-B\) (cambiamos el signo) y conjugado de la resta \(A-B\) a \(A+B\).

3. 15 Ejercicios resueltos

En todos los ejercicios se considera que los parámetros son siempre positiivos.

Los dos primeros ejercicios son de calentamiento.

Ejercicio 1

Calcular el siguiente producto:

suma por diferencia de raíz

Solución

Ejercicio 2

Calcular el siguiente producto:

suma por diferencia con tres sumandos y raíz cuadrada

Solución

En los siguientes 3 ejercicios vamos a racionalizar fracciones simples:

Ejercicio 3

Racionalizar:

$$ \frac{3}{1-\sqrt{3}} $$

Solución

Ejercicio 4

Racionalizar:

$$ \frac{1}{5+\sqrt{3}} $$

Solución

Ejercicio 5

Racionalizar la siguiente fracción con parámetros:

cociente de raíces

Solución


Ejercicio 6

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una resta de raíces en el denominador:

cociente de una raíz y de la resta de dos raíces. En el denominador, los radicandos son uno el conjugado del otro

Solución

Ejercicio 7

Sumar las siguientes fracciones y racionalizar el resultado:

Ejercicios resueltos paso a paso de simplificar (reducir) expresiones con radicales (raíces) y de racionalizar (eliminar las raíces de los denominadores). Secundaria. ESO. Bachiller. Bachillerato. Álgebra

Solución

Ejercicio 8

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una raíz cúbica en el denominador:

$$ \frac{2}{\sqrt[3]{5}} $$

Solución

Ejercicio 9

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una raíz séptima en el denominador:

$$ \frac{2}{\sqrt[7]{2}} $$

Solución

Ejercicio 10

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una suma de raíces cuartas en el denominador:

cociente con una suma de raíces cuartas en el denominador, con un parámetro distinto en cada radicando

Solución

Ejercicio 11

Racionalizar la siguiente fracción con una diferencia de raíces de distinto orden en el denominador:

fracción con una resta de raíces de distintos órdenes en el denominador

Solución

Ejercicio 12

Racionalizar la siguiente fracción con raíces de raíces (raíces anidadas):

cociente de raíces de raíces

Solución

Ejercicio 13

Simplificar la siguiente raíz cuadrada racionalizando el resultado:

raíz de la suma de dos fracciones con 3 parámetros algunos de los cuales al cuadrado

Solución

En los siguientes ejercicios se pide simplificar las expresiones al máximo, racionalizando el resultado si es necesario.

Ejercicio 14

raíz cuadrada de una expresión que es en realidad el desarrollo del binomio (cuadrado de la suma), con lo que la raíz podremos sacar algunos factores fuera de la raíz

Solución

Ejercicio 15

producto de tres raíces: raíz cuadrada, raíz cubica y raíz de orden 4 (4-ésima)

Solución

Ejercicio 16

suma de raíces cuadradas con parámetros

Solución

Ejercicio 17

raíz cuadrada del cociente de un cociente. la expresión contiene potencias de 3 parámetros distintos

Solución

Ejercicio 18

raíz cuadrada de un producto. uno de los factores es una resta de fracciones con polinomios en el denominador.

Solución

En los siguientes ejercicios ya no explicaremos todos los pasos.

Ejercicio 19

suma y resta de raíces con parámetros y decimales

Solución

Ejercicio 20

suma y resta de raíces con distintos ordenes (raíz sexta, raíz cúbica, raíz novena

Solución

Ejercicio 21

suma y resta de raíces cúbicas con dos parámetros distintos en el radicando

Solución

Ejercicio 22

suma y resta de raíces de diferentes órdenes (cuadra, cuarta y sexta) y con parámetros en los radicandos

Solución

Ejercicio 23

suma y resta de 4 raíces de distintos órdenes: cuadradas y cúbicas

Solución

Ejercicio 24

suma de dos raíces de cocientes con potencias de 3 parámetros distintos

Solución

Ejercicio 25

suma y resta de raíces de distinto orden con potencias en su radicando

Solución

Ejercicio 26

suma y resta de raíces cuadradas con fracciones en los radicandos y parámetros

Solución

Ejercicio 27

suma de raíces de distinto orden con parámetros

Solución

Ejercicio 28

suma de raíces cuadradas con un gran número de parámetros

Solución

Ejercicio 29

raíz de orden m-1 de un cociente con una raíz de orden m. Una raíz dentro de otra

Solución

Ejercicio 30

raíz cuadrada de la raíz cuadra de la raíz cuadrada. Raíces dentro de raíces y con parámetros

Solución

Ejercicio 31

potencia de la raíz de una raíz de una ráiz. las raíces son de órdenes distintos y tenemos parámetros en el radicando

Solución

Ejercicio 32

$$ \frac{x\sqrt{x} - a\sqrt{a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} $$

Solución



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