Sabemos que la raíz cuadrada de 9 es 3, pero podemos escribir 9 como 9 = 3² para ver más claro que la raíz cuadrada desaparece (esto es lo que haremos en las expresiones más complejas):

Escribimos la potencia en forma de raíz. Como el denominador del exponente es 4, es una raíz de orden cuarto (raíz cuarta):

Notemos que el numerador, 3, se queda como exponente del radicando.

No podemos extraer ningún término de la raíz ya que como es de orden cuarto, el radicando debería tener un exponente mayor o igual que 4.

Podemos escribir la raíz cuadrada en forma de potencia para operar con el exponente:

Ahora aplicamos las propiedades de las potencias: tenemos una potencia de potencia, por lo que multiplicamos los exponentes:

Escribimos la potencia en forma de raíz (de orden cuarto):

Hemos expresado el radicando como un producto para ver que uno de los factores lo podemos extraer. Como la raíz es cuarta, podemos escribir un 5 por cada 5 ⁴ que tengamos en el radicando:

No podemos simplificar más la expresión.

Recordamos que el producto de raíces del mismo orden es la raíz de dicho orden del producto de los radicandos:

Como tenemos una raíz en el numerador y en el denominador (del mismo orden) podemos escribirlas como una sola raíz:

Nota: el paso anterior se debe a las propiedades de las potencias ya que

Ahora podemos simplificar la fracción del radicando:

Puesto que tenemos un 1 en el numerador y su raíz cuadrada es 1, vamos a escribir de nuevo las dos raíces:

Calculamos el cubo del cociente:

Finalmente, a los matemáticos no nos gustan las raíces en el denominador, así que multiplicamos en el numerador y en el denominador por la raíz para que ésta quede en el numerador:

Escribimos la raíz de orden doce como una potencia:

Hemos simplificado la fracción del exponente. Ahora escribimos el radicando (49) como una potencia: 49 = 7 ²

Este ejercicio puede parecer complicado por haber raíces dentro de raíces, pero lo único que tenemos que hacer es escribir las raíces cuadradas como potencias y aplicar las propiedades de las potencias (potencia de potencia):

Escribimos 72 como una potencia para aplicar las propiedades:

Escribimos la potencia fraccionaria como una raíz cúbica y podremos extraer algún factor:

Notemos que como la raíz es cúbica (orden 3), podemos extraer un 3 del radicando por cada 3 ³.

Escribimos las raíces como potencias:

Ahora escribimos 4 como una potencia, 4 = 2 ², para poder simplificar:

Escribimos tanto los números como las raíces en forma de potencias para poder aplicar las propiedades:

Por tanto,

Escribimos las raíces como potencias (una es cúbica y la otra es cuadrada) y 9 como 9 = 3 ²

Ahora multiplicamos todos los exponentes (potencia de potencia):

Finalmente simplificamos las fracciones de los exponentes:

Podemos extraer un factor:

Como de costumbre, vamos a eliminar la raíz del denominador.

Como la raíz es cúbica, tenemos que multiplicar dos veces en el numerador y en el denominador para que ésta desaparezca:

Antes de todo, como tenemos una fracción elevada a menos uno, escribimos su inverso para que desaparezca el exponente:

Ahora, como todas las raíces son cuadradas, podemos multiplicarlas:

Simplificamos la fracción:

Ahora vamos a operar un poco para evitar la raíz en el denominador: separamos las raíces

Multiplicamos y dividimos por la raíz de 2:

La expresión asusta un poco, pero sólo tenemos que escribir todas las raíces como potencias:

Notemos que hemos escrito todos los exponentes en un solo paso.

Simplificamos el exponente:

Tenemos la raíz de un número negativo, pero como la raíz es cúbica (orden impar), existe.

Escribimos la raíz cúbica en forma de potencia:

Multiplicamos los exponentes (potencia de potencia):

Notemos que podemos quitar el signo negativo ya que (-5) ² = 5 ²

Escribimos las cinco raíces como potencias:

Multiplicamos los exponentes (potencia de potencia):

La fracción es 1.

Por tanto,

Podemos extraer 4 como factor común:

El 4 sale fuera de la raíz cuadrada como 2 (porque es 2 ²):

Debemos darnos cuenta de que el radicando es el desarrollo de un binomio de Newton (una resta al cuadrado):

Finalmente, el cuadrado se cancela con la raíz cuadrada:

Importante: en realidad, al cancelar el cuadrado con la raíz tenemos que escribir el valor absoluto:

Esto se debe a que si el valor de x hace que el polinomio x - 3 sea negativo (esto ocurre cuando x < 3 ) entonces, el cuadrado hace que el radicando sea positivo y, por tanto, la raíz cuadrada existe y es un número positivo. Sin embargo, si no escribimos el valor absoluto al eliminar la raíz, obtenemos un número negativo y, por tanto, una igualdad falsa.

Veamos un ejemplo:

Supongamos que x = 0. Entonces,

Pero

En cambio, si escribimos el valor absoluto tenemos