Propiedades de las raíces enésimas

En esta páginamos definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos sus propiedades. Después, aplicamos la teoría vista para simplificar expresiones algebraicas con raíces.

Nota 1: trabajamos con raíces de distintos órdenes (cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.).

Nota 2: sólo consideramos las raíces reales.

Contenido de esta página:

• Introducción y definiciones
• Propiedades de las potencias
• Propiedades de las raíces
• 20 ejercicios resueltos de calcular/simplificar raíces

Niveles más básicos de raíces:

• Test: raíces cuadradas
• Test: propiedades de las raíces cuadradas
• Raíz cuadrada del producto

Escribir las raíces como potencias nos permite aplicar las propiedades de las potencias (las recordamos en el siguiente apartado). Esto es muy útil para calcular productos y cocientes de raíces e, incluso, potencias y raíces de raíces.

A continuación, recordamos los conceptos y propiedades que necesitamos.

Raíz de orden \(n\):

Sea \(n\) un natural positivo (es decir, 1, 2, 3, ...), entonces

Importante:

• Si el orden de la raíz, \(n\), es par, su radicando tiene que ser mayor o igual que 0. Además, si el radicando es mayor que 0, hay dos raíces: una positiva y una negativa.

  Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2:

  

• Si el orden de la raíz, \(n\), es impar, su radicando puede ser negativo. Además, en este caso (\(n\) impar), sólo hay una raíz.

  Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 y la de -8 es -2:

  

Raíz escrita como potencia:

Producto	Potencia
Cociente	Exponente negativo
Inverso	Inverso

Si escribimos las raíces como potencias, obtenemos las siguientes propiedades:

Producto de raíces:

El producto de raíces (del mismo orden) es la raíz del producto de sus radicandos.

Cociente de raíces:

El cociente de raíces (del mismo orden) es la raíz del cociente de sus radicandos.

Potencia de una raíz:

Podemos introducir el exponente de una raíz como el exponente del radicando.

Raíz de una raíz:

La raíz de orden \(m\) de la raíz de orden \(n\) es la raíz de orden \(m·n\).

Nota: en el Ejercicio 5 tenemos otras dos propiedades.

Nota previa: cuando haya dos raíces, escribiremos sólo la positiva. En todos los ejercicios se tiene que simplificar el resultado.

Ejercicio 1

Calcular los siguientes productos de raíces cúbicas y quintas:

Aplicamos la propiedad del producto de raíces: como son raíces del mismo orden, se multiplican sus radicandos.

Primer producto:

Observad que la raíz se cancela porque el radicando es una potencia con exponente 3 y el orden de la raíz es 3.

Segundo producto:

La raíz se cancela por la misma razón que en producto anterior.

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Ejercicio 2

Calcular los siguientes cocientes de raíces cuadradas y cúbicas:

Aplicamos la propiedad del cociente de raíces: como son raíces de igual orden, se dividen sus radicandos.

Primera división:

Segunda división:

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Ejercicio 3

Calcular el siguiente cociente de raíces cuadradas y cúbicas:

Observad que no todas las raíces tienen el mismo orden.

Como tenemos un producto de raíces y el producto conmuta, podemos cambiar el orden:

Así, podemos multiplicar las dos raíces de la izquierda y las dos de la derecha porque tienen el mismo orden:

En el último paso no hemos multiplicado las raíces de orden distinto porque no era necesario, ya que las raíces se cancelan con las potencias de sus radicandos.

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Ejercicio 4

¿La suma de raíces de orden \(n\) es la raíz de orden \(n\) de la suma de sus radicandos?

La propiedad no es cierta. Veamos un contraejemplo (esto es, un ejemplo que lo niega):

Sin embargo,

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Ejercicio 5

Demostrar las siguientes propiedades:

• Propiedad 1:

• Propiedad 2:

Vamos a operar en el lado izquierdo hasta transformarlo en la expresión del lado derecho.

Propiedad 1:

Escribimos la raíz como una potencia:

Multiplicamos los exponentes (potencia de potencia):

Hacemos el paso inverso (intercambiando el orden de los factores):

Escribimos la potencia como una raíz:

Propiedad 2:

Escribimos las raíces como potencias:

Multiplicamos los exponentes:

Ahora, cambiamos el orden de los factores y deshacemos el cambio:

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En adelante, lo que haremos es escribir las raíces como potencias con exponente fraccionario para aplicar las propiedades de las potencias.

Ejercicio 6

Calcular la siguiente potencia:

Tenemos una raíz cuadrada escrita en forma de potencia:

Sabemos que la raíz cuadrada de 9 es 3, pero podemos escribir 9 como \(3^2\) para dejar claro en la raíz cuadrada de un cuadrado se pueden eliminar la raíz y el exponente:

Nota: recordad que, en realidad, la raíz cuadrada de 9 es \(\pm 3\), pero en esta página sólo escribimos las raíces positivas.

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Ejercicio 7

Escribir la potencia como una raíz:

Recordad la propiedad:

Como el denominador del exponente es 4, es una raíz de orden cuarto (raíz cuarta):

No podemos simplificar más la raíz.

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Ejercicio 8

Escribir la siguiente potencia como una raíz:

Escribimos la raíz cuadrada como una potencia (con exponente 1/2):

Como tenemos un potencia de una potencia, multiplicamos los exponentes:

Escribimos la potencia como una raíz:

Como la raíz es cuarta, podemos extraer un 5 por cada \(5^4\) del radicando:

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Ejercicio 9

Simplificar:

Aplicamos la propiedad del producto de raíces del mismo orden:

Aplicamos la propiedad del cociente de raíces del mismo orden:

Simplificamos la fracción:

Simplificamos más:

La potencia de un cociente es el cociente de sus potencias:

Podemos dejar el resultado así, pero a los matemáticos no nos gustan las raíces en los denominadores. Para evitar esto, multiplicamos y dividimos por la raíz del denominador:

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Ejercicio 10

Escribir como una raíz:

Escribimos la raíz de orden doce como una potencia y simplificamos el exponente:

Observad que hemos pasado de una raíz de orden 12 a una de orden 4.

Escribimos el radicando, 49, como una potencia. Es decir, cambiamos 49 por \(7^2\). Así, podemos aplicar la propiedad de la potencia de una potencia:

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Ejercicio 11

Calcular:

Tenemos raíces cuadradas anidadas (unas dentro de otras). Vamos a escribir todas ellas como potencias con exponente 1/2. Así, podemos multiplicar los exponentes (potencia de una potencia):

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Ejercicio 12

Escribir en forma de raíz:

Escribimos 72 como un producto de potencias para aplicar la propiedad de la potencia de un producto:

Escribimos la potencia fraccionaria como una raíz cúbica para extraer algún factor:

Observad que, como tenemos una raíz cúbica, podemos extraer un 3 por cada \(3^3\) del radicando (sólo había uno).

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Ejercicio 13

Escribir como una raíz:

Escribimos la raíz cúbica como una potencia con exponente \(1/3\) y la raíz cuadrada como una potencia con exponente \(1/2\):

Escribimos el radicando, 4, como un potencia, \(2^2\):

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Ejercicio 14

Calcular:

Transformamos las raíces cuadradas en potencias y escribimos el número 4 como \(2^2\) y el número 16 como \(2^4\). Después, aplicamos las propiedades de las potencias:

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Ejercicio 15

Simplificar:

Escribimos 9 como la potencia \(3^2\) y las raíces cúbica y cuadrada como potencias con exponentes \(1/3\) y \(1/2\):

Como tenemos potencias de potencias, sólo tenemos que multiplicar los exponentes:

Simplificamos y escribimos como raíz:

Hemos escrito el resultado como una raíz para extraer un factor de la raíz:

Si queremos, podemos seguir operando hasta llegar al resultado

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Ejercicio 16

Calcular:

Ejercicio 17

Calcular:

Ejercicio 18

Escribir en forma de raíz:

Ejercicio 19

Calcular:

Ejercicio 20

Simplificar:

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