POTENCIAS FRACCIONARIAS: RAÍCES

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Introducción

Una potencia es una expresión del tipo

ab = a · a · · · a · a

que representa el resultado de multiplicar la base, a, por sí misma tantas veces como indica el exponente, b. Lo leemos como a elevado a b.

En esta página vamos a ver el caso en que el exponente, b es una fracción. Es decir, vamos a trabajar con raíces y sus potencias.


Recordemos que...

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Producto

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Potencia

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Cociente

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Exponente negativo

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Inverso

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Inverso

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Las raíces como potencias

Sea n un número natural distinto de cero (es decir, 1, 2, 3, 4, ...), entonces llamamos raíz de orden n o raíz n-ésima del número a a

$$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} := b,\ b^n = a$$

Es decir, la raíz n-ésima del número a es el número b que elevado a n es justamente a (es decir, b n = a).

Al número n de la raíz lo llamamos orden de la raíz y a a lo llamamos radicando.

Algunos casos particulares:

  • A la raíz de orden n = 2 la denominamos raíz cuadrada.

    Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es

    $$ \sqrt{9} = 3 $$

    ya que 3 al cuadrado es 9.

  • A la raíz de orden n = 3 la denominamos raíz cúbica.

    Por ejemplo, la raíz cúbica de -8 es

    $$ \sqrt[3]{-8} = -2$$

    ya que -2 al cubo es -8.

Importante: no existen las raíces de orden par (2, 4, 8, 6...) de números negativos (son números imaginarios o complejos), pero sí si el orden es impar.


Propiedad importante

Probablemente, la propiedad que más usaremos es la siguiente:

$$ a^\frac{b}{c} = \sqrt[c]{a^b} $$


Raíz por Raíz

El producto de dos raíces del mismo orden es la raíz (del mismo orden) del producto de los radicandos, esto es

$$ \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b} $$

Lo mismo ocurre con el cociente:

$$ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $$


15 Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

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Ejercicio 2

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Ejercicio 3

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Ejercicio 4

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Ejercicio 5

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Ejercicio 6

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Ejercicio 7

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Ejercicio 8

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Ejercicio 9

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Ejercicio 10

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Ejercicio 11

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Ejercicio 12

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Ejercicio 13

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Ejercicio 14

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Ejercicio 15

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