En esta páginamos definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos sus propiedades. Después, aplicamos la teoría vista para simplificar expresiones algebraicas con raíces.
Nota 1: trabajamos con raíces de distintos órdenes (cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.).
Nota 2: sólo consideramos las raíces reales.
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Escribir las raíces como potencias nos permite aplicar las propiedades de las potencias (las recordamos en el siguiente apartado). Esto es muy útil para calcular productos y cocientes de raíces e, incluso, potencias y raíces de raíces.
A continuación, recordamos los conceptos y propiedades que necesitamos.
Sea \(n\) un natural positivo (es decir, 1, 2, 3, ...), entonces
La raíz de orden \(n\) (o raíz \(n\)-ésima) del número \(a\) es el número \(b\) que cumple \(b^n = a\). Es decir,
$$ \sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n=a$$
El número \(n\) es el orden de la raíz y el número \(a\) es su radicando. El número \(b\) es la raíz n-ésima de \(a\).
Si el orden de la raíz, \(n\), es par, su radicando tiene que ser mayor o igual que 0. Además, si el radicando es mayor que 0, hay dos raíces: una positiva y una negativa.
Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2:
Si el orden de la raíz, \(n\), es impar, su radicando puede ser negativo. Además, en este caso (\(n\) impar), sólo hay una raíz.
Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 y la de -8 es -2:
Podemos escribir la raíz \(\sqrt[n]{a}\) como la potencia con base \(a\) y exponente \(1/n\):
$$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}$$
Recordamos las propiedades básicas de las potencias.
Si escribimos las raíces como potencias, obtenemos las siguientes propiedades:
El producto de raíces (del mismo orden) es la raíz del producto de sus radicandos.
El cociente de raíces (del mismo orden) es la raíz del cociente de sus radicandos.
Podemos introducir el exponente de una raíz como el exponente del radicando.
La raíz de orden \(m\) de la raíz de orden \(n\) es la raíz de orden \(m·n\).
Nota: en el Ejercicio 5 tenemos otras dos propiedades.
Nota previa: cuando haya dos raíces, escribiremos sólo la positiva.
En todos los ejercicios se tiene que simplificar el resultado.
Calcular los siguientes productos de raíces cúbicas y quintas:
Calcular los siguientes cocientes de raíces cuadradas y cúbicas:
Calcular el siguiente cociente de raíces cuadradas y cúbicas:
¿La suma de raíces de orden \(n\) es la raíz de orden \(n\) de la suma de sus radicandos?
Demostrar las siguientes propiedades:
Propiedad 1:
Propiedad 2:
En adelante, lo que haremos es escribir las raíces como potencias con exponente fraccionario para aplicar las propiedades de las potencias.
Calcular la siguiente potencia:
Escribir la potencia como una raíz:
Escribir la siguiente potencia como una raíz:
Simplificar:
Escribir como una raíz:
Calcular:
Escribir en forma de raíz:
Escribir como una raíz:
Calcular:
Simplificar:
Calcular:
Calcular:
Escribir en forma de raíz:
Calcular:
Simplificar:
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