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Propiedades de las raíces enésimas

En esta páginamos definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos sus propiedades. Después, aplicamos la teoría vista para simplificar expresiones algebraicas con raíces.

Nota 1: trabajamos con raíces de distintos órdenes (cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.).

Nota 2: sólo consideramos las raíces reales.

Contenido de esta página:

  1. Introducción y definiciones
  2. Propiedades de las potencias
  3. Propiedades de las raíces
  4. 20 ejercicios resueltos de calcular/simplificar raíces

1. Introducción y definiciones

Escribir las raíces como potencias nos permite aplicar las propiedades de las potencias (las recordamos en el siguiente apartado). Esto es muy útil para calcular productos y cocientes de raíces e, incluso, potencias y raíces de raíces.

A continuación, recordamos los conceptos y propiedades que necesitamos.

Raíz de orden \(n\):

Sea \(n\) un natural positivo (es decir, 1, 2, 3, ...), entonces

La raíz de orden \(n\) (o raíz \(n\)-ésima) del número \(a\) es el número \(b\) que cumple \(b^n = a\). Es decir,

$$ \sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n=a$$

El número \(n\) es el orden de la raíz y el número \(a\) es su radicando. El número \(b\) es la raíz n-ésima de \(a\).

Importante:

  • Si el orden de la raíz, \(n\), es par, su radicando tiene que ser mayor o igual que 0. Además, si el radicando es mayor que 0, hay dos raíces: una positiva y una negativa.

    Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2:

    Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

  • Si el orden de la raíz, \(n\), es impar, su radicando puede ser negativo. Además, en este caso (\(n\) impar), sólo hay una raíz.

    Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 y la de -8 es -2:

    Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Raíz escrita como potencia:

Podemos escribir la raíz \(\sqrt[n]{a}\) como la potencia con base \(a\) y exponente \(1/n\):

$$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}$$


2. Propiedades de las potencias

Recordamos las propiedades básicas de las potencias.

Ver propiedades

3. Propiedades de las raíces

Si escribimos las raíces como potencias, obtenemos las siguientes propiedades:

Producto de raíces:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

El producto de raíces (del mismo orden) es la raíz del producto de sus radicandos.

Cociente de raíces:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

El cociente de raíces (del mismo orden) es la raíz del cociente de sus radicandos.

Potencia de una raíz:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Podemos introducir el exponente de una raíz como el exponente del radicando.

Raíz de una raíz:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

La raíz de orden \(m\) de la raíz de orden \(n\) es la raíz de orden \(m·n\).

Nota: en el Ejercicio 5 tenemos otras dos propiedades.

4. Ejercicios resueltos

Nota previa: cuando haya dos raíces, escribiremos sólo la positiva.

En todos los ejercicios se tiene que simplificar el resultado.

Ejercicio 1

Calcular los siguientes productos de raíces cúbicas y quintas:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 2

Calcular los siguientes cocientes de raíces cuadradas y cúbicas:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 3

Calcular el siguiente cociente de raíces cuadradas y cúbicas:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 4

¿La suma de raíces de orden \(n\) es la raíz de orden \(n\) de la suma de sus radicandos?

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 5

Demostrar las siguientes propiedades:

  • Propiedad 1:

    Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

  • Propiedad 2:

    Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

En adelante, lo que haremos es escribir las raíces como potencias con exponente fraccionario para aplicar las propiedades de las potencias.

Ejercicio 6

Calcular la siguiente potencia:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 7

Escribir la potencia como una raíz:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 8

Escribir la siguiente potencia como una raíz:

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Solución

Ejercicio 9

Simplificar:

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Solución

Ejercicio 10

Escribir como una raíz:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 11

Calcular:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 12

Escribir en forma de raíz:

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Solución

Ejercicio 13

Escribir como una raíz:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 14

Calcular:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 15

Simplificar:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 16

Calcular:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 17

Calcular:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 18

Escribir en forma de raíz:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 19

Calcular:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución

Ejercicio 20

Simplificar:

Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.

Solución



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