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Potencias: calcular y simplificar

Contenido de esta página:

  1. Introducción

  2. Propiedades de las potencias

  3. 15 Ejercicios resueltos: calcular y simplificar potencias

Página relacionada: La raíz como una potencia cuya base es una fracción.


1. Introducción

Una potencia de base a y exponente b es una expresión del tipo

ab = a · a · · · a · a

La expresión anterior representa el resultado de multiplicar la base, a, por sí misma tantas veces como indica el exponente, b.

Leemos la potencia a bcomo a elevado a b.

Ejemplo:

$$ 2^3=2\cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

La base es 2 y el exponente es 3.

En general, tanto la base como el exponente pueden ser cualquier número (real o complejo) o incluso una variable, incógnita o parámetro. Las ecuaciones en las que la incógnita está en los exponentes de potencias se denominan ecuaciones exponenciales.

Un caso especial son las potencias cuyos exponentes son fracciones. En este caso, la potencia representa una raíz. Surgen ante la necesidad de resolver una ecuación del tipo x n = a.

Otro caso especial es el de las potencias de base 10, es decir, las de la forma 10 n.

Estas potencias son las que se usan en la notación científica.

Finalmente, diremos que la potencia elevado a 0 vale siempre 1, es decir, x0 = 1.

En esta sección vamos a calcular potencias y a simplificar expresiones en las que aparecen potencias. Comenzaremos com potencias simples e iremos aumentado la dificultad añadiendo paréntesis, fracciones, signos negativos, parámetros, etc. Excepto en las expresiones más simples, tendremos que aplicar las propiedades de las potencias.

2. Propiedades de las potencias

Veamos las propiedades básicas de las potencias (no incluimos las de las potencias que representan raíces, es decir, las que tienen una fracción en el exponente):

Producto

producto y cociente de potencias, potencia de potencia, inverso

Potencia

producto y cociente de potencias, potencia de potencia, inverso

Cociente

producto y cociente de potencias, potencia de potencia, inverso

Exponente negativo

producto y cociente de potencias, potencia de potencia, inverso

Inverso

producto y cociente de potencias, potencia de potencia, inverso

Inverso

producto y cociente de potencias, potencia de potencia, inverso

Nota: a la hora de aplicar las propiedades del producto y del cociente de potencias, no olvidemos que las bases de las potencias tienen que ser iguales.

3. Ejercicios de Potencias

 

Ejercicio 1

Calcular la potencia dos elevado a cinco:

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 2

Calcular la potencia dos elevado a menos tres:

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 3

Calcular la potencia de exponente menos tres y cuya base la potencia potencia dos elevado a dos:

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 4

Calcular el cociente de potencias con la misma base

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 5

Calcular las siguientes operaciones entre potencias con bases distintas:

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 6

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 7

ejercicios resueltos de potencias

Solución


Ejercicio 8

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 9

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 10

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 11

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 12

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 13

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 14

ejercicios resueltos de potencias

Solución

Ejercicio 15

ejercicios resueltos de potencias

Solución

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