Monotonía y Convexidad

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Método de Resolución

  • 12 Ejercicios Resueltos: extremos, convexa, cóncava, criterios de la derivada


Introducción

En esta sección estudiamos la monotonía y convexidad de funciones (reales y de una variable) mediante ejemplos: funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, con valores absolutos, definidas a trozos, con raíces...

Respecto a la monotonía, buscaremos los intervalos en los que la función es monótona creciente o decreciente aplicando el criterio de la primera derivada, lo que nos permitirá deducir la existencia de extremos (máximos y mínimos). También podemos usar el criterio de la segunda derivada para determinar el tipo de extremo directamente.

Respecto a la convexidad, usaremos el criterio de la segunda derivada para buscar los posibles puntos de inflexión. También podemos apoyarnos de la tercera derivada.

En cuanto a las aplicaciones prácticas de este estudio, podemos decir que, aparte de las aplicaciones directas (conocer el comportamiento de la función), la monotonía nos permite demostrar ciertos resultados (por ejemplo las relaciones de desigualdades entre dos expresiones).

Como comentario final, podemos comentar que el concepto de monotonía se extiende más allá de las funciones de variable real. Un caso particular son los funcionales (funciones cuyas variables son funciones), que se usan con frecuencia en el campo de la física.

Temas relacionados: ejercicios de extremos de funciones, cálculo de derivadas, Regla de L'Hôpital.


Antes de empezar, haremos un resumen:


Método de resolución

  1. Estudiar el dominio de la función
    • Si el dominio es los reales, los únicos posibles extremos son los puntos críticos, es decir, los que anulan la primera derivada.
    • Si el dominio está formado por uno o más intervalos, tenemos que estudiar si los extremos finitos de los intervalos son extremos.
    • Nota: si la función es a trozos, estudiamos cada intervalo del dominio como si fuese una única función y consideramos los extremos de éstos como posibles extremos.
  2. Búsqueda de extremos
    • Calculamos la derivada de la función.
    • Buscamos los posibles extremos: puntos críticos (puntos en los que se anula la derivada).
    • Nota: si la función no es derivable en algún punto del dominio, tendremos que comprobar si dicho punto es un extremo.
  3. Monotonía
    • Estudiamos el signo de la derivada en algún punto de los intervalos en que los puntos críticos dividen el dominio:
      • Si el signo es positivo: la función crece en el intervalo al que pertenece el punto.
      • Si el signo es negativo: la función decrece.
      • Según la monotonía, sabemos si los puntos críticos son extremos y, en tal caso, si son máximos o mínimos:
        • Si es creciente a la izquierda del punto crítico y decreciente a la derecha, se trata de un máximo.
        • Si es decreciente a la izquierda del punto crítico y creciente a la derecha, se trata de un mínimo.
        • Si es creciente o decreciente a la derecha e izquierda del punto crítico, no es un extremo.
        • Nota: para saber si un máximo (mínimo) es absoluto, hay que comprobar que no hay puntos del dominio para los cuales la función tenga un valor superior (inferior) que para el máximo (mínimo).
        • Nota: si un punto crítico es un máximo, la segunda derivada en dicho punto es negativa. Si es un mínimo, es positiva.
  4. Convexidad
    • Calculamos la segunda derivada.
    • Buscamos los puntos de inflexión, posibles cambios de convexidad a concavidad (o viceversa), que son los puntos que anulan la segunda derivada. Los puntos de cambio de definición también pueden ser puntos de inflexión aunque no anulen la segunda derivada.
    • La forma más sencilla de comprobar la convexidad, es mediante la gráfica de la función.
    • Nota: si la tercera derivada es no nula en un posible punto de inflexión, entonces es un punto de inflexión.

Ejercicios Resueltos



EJERCICIOS RESUELTOS (click para ver la solución)
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