Cálculo de derivadas
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Cálculo de derivadas (regla de la cadena)

En esta página proporcionamos las reglas de derivación y la regla de cadena y calculamos derivadas de funciones aplicando dichas reglas. También, deducimos una regla o fórmula para derivar funciones del tipo \(y(x) = f(x)^{g(x)}\).

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Reglas de derivación
  3. Regla de la cadena
  4. Ejercicios resueltos (cálculo de derivadas)
  5. Derivada de la función \(y(x) = f(x)^{g(x)}\) (ejercicio 16)

1. Introducción

Recordamos que, formalmente, la derivada de una función es un límite. Sin embargo, como la mayoría de las funciones son una composición de funciones más simples, podemos aplicar reglas para calcular la derivada sin necesidad de límites.

Ejemplo:

Sea la función

Explicamos las reglas de derivación y la regla de la cadena para el cálculo de derivadas. Ejercicios resueltos de calcular derivadas. Matemáticas. Cálculo diferencial básico.

Esta función tiene un coseno y una suma de una constante y una potencia.


Para hallar la derivada de una función compuesta por otras funciones (como la anterior), aplicamos las reglas de derivación, de la cadena y las derivadas básicas (tabla de derivadas (pdf)). De este modo, evitamos aplicar la definición formal de derivada, que es mucho más complicado.

2. Reglas de derivación

Las reglas de derivación proporcionan la derivada de las operaciones entre funciones. Son las siguientes:

Derivada de la suma de dos funciones:

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Derivada de la resta de dos funciones:

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Derivada del producto de una constante, \(a\), por una función:

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Derivada del producto de dos funciones:

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Derivada del cociente de dos funciones:

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Ejemplo:

Sea la función

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La derivada de \(x^2\) es \(2x\) y la de \(sin(x)\) es \(cos(x)\). Por tanto, aplicando la regla de la suma,

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3. Regla de la cadena

La regla de la cadena nos proporciona la derivada de la composición de funciones:

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Es más fácil de entender mediante ejemplos.

Ejemplo 1:

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Se trata de la composición de la función seno y la función cuadrado. Su derivada es la derivada del seno por la derivada del cuadrado:

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Ejemplo 2:

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Tenemos las mismas funciones, pero con el orden de composición intercambiado. Su derivada es la derivada del cuadrado por la del seno:

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Básicamente, la regla de la cadena se puede resumir como "derivar y multiplicar por la derivada de lo de dentro".

Ejemplo 3:

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Para derivar esta función tenemos que aplicar la regla de la cadena y la regla de derivación de la suma de funciones:

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X

4. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Función logarítmica:

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Solución

Ejercicio 2

Función racional:

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Solución

Ejercicio 3

Función con raíz cuadrada:

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Solución

Ejercicio 4

Función con raíces de distintos órdenes y parámetros:

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Solución

Ejercicio 5

Función con raíz en el denominador:

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Solución

Ejercicio 6

Función logarítmica con cociente de raíces:

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Solución

Ejercicio 7

Función con logaritmo natural en el denominador:

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Solución

Ejercicio 8

Función exponencial:

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Solución

Ejercicio 9

Función exponencal:

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Solución

Ejercicio 10

Función cociente con exponenciales:

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Solución

Ejercicio 11

Función exponencial con tangente:

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Recordad que \(sec(x) = 1/cos(x)\).

Solución

Ejercicio 12

Función cociente con seno, logaritmo y raíz quinta:

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Solución

Ejercicio 13

Función arcocoseno:

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Solución

Ejercicio 14

Función con raíz, arcocoseno y parámetro:

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Solución

Ejercicio 15

Función con raíces y logaritmo:

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Solución

Ejercicio 16

Demostración de la derivada de una función elevada a una función:

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Solución

Ejercicio 17

Función exponencial:

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Solución

Ejercicio 18

Función exponencial:

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Solución

Ejercicio 19

Función con raíz \(x-\)ésima:

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Solución

Ejercicio 20

Función exponencial:

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Solución




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