Cálculo de Derivadas

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Reglas de Derivación y de la Cadena

  • 20 Ejercicios Resueltos


Introducción

Esta sección está dedicada al cálculo diferencial de funciones de una variable real. Calcularemos la derivada de funciones de todo tipo: polinómicas, logarítmicas, racionales, radicales, exponenciales, trigonométricas...

Además, calcularemos, de una forma más teórica, la derivada de la función

$$f(x)^{g(x)}$$

y así obtendremos una fórmula que usaremos para calcular la derivada de otras funciones con dicha estructura.

La finalidad de estos ejercicios es entender la importancia de la regla de la cadena, propiedad que también se cumple para la diferencial de varias variables reales, pero que no funciona en otros casos.

Finalmente, comentamos la importancia del cálculo diferencial en cuanto a sus aplicaciones: nos permite conocer la monotonía de funciones y la existencia y naturaleza de extremos, así como de la existencia de puntos de inflexión. Esto, además, supone una herramienta a la hora de demostrar otras propiedades teóricas. Otra aplicación en matemáticas es el cálculo de límites (L'Hôpital). Además, el cálculo diferencial también se emplea con frecuencia en numerosos ámbitos, como en la física, la química o la economía.

Temas relacionados: teoría de derivadas, extremos de funciones, L'Hôpital.

Tabla de derivadas en PDF.



Reglas de derivación y de la cadena

  • Derivada de la suma: es la suma de las derivadas

    $$(f+g)'(x) = f'(x)+ g'(x)$$
  • Derivada del producto por una constante c

    $$( c \cdot f ) ' ( x ) = c \cdot f ' ( x )$$
  • Derivada del producto de funciones

    $$( f \cdot g ) ' ( x ) = f ' ( x )\cdot g ( x ) + f ( x ) \cdot g ' ( x )$$
  • Si g no se anula, entonces, la derivada del cociente es

    $$\left( \frac{f}{g} \right) ' ( x ) =\frac{f ' ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ' ( x )}{(g(x))^2}$$
  • Regla de la cadena

    $$( f ( g ( x ) ) ) ' = f ' ( g ( x ) ) \cdot g' ( x )$$


20 Ejercicios Resuetos

Calcular la derivada de las siguientes funciones

Click para ver solución

1

Función logarítmica

2

Función racional

3

Función con raíz con racional

4

Función con raíces en el denominador

5

Función racional con raíz en el denominador



Calcular la derivada de las siguientes funciones

Click para ver solución

6

Función logarítmica con raíz

7

Función racional con exponencial y llogarítmo con coseno

8

Función exponencial

9

Función con exponencial

10

Función racional con exponenciales

11

Función exponencial con tangente y parámetro

12

Función racional con seno, logaritmo y raíz

13

Función con arcoseno y raíz

14

Función con parámetro

15

Función con raíces y logaritmo

16

Demostración de la derivada de una exponencial

17

Función exponencial

18

Función exponencial

19

Función exponencial

20

Función exponencial


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