Cálculo de Derivadas

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Reglas de Derivación y de la Cadena

  • 20 Ejercicios Resueltos

  • Demostración de la derivada de la función

    $$ y(x) = f(x)^{g(x)} $$

    (Ejercicio 16)



Introducción

Esta sección está dedicada al cálculo diferencial de funciones de una variable real. Calcularemos la derivada de funciones de todo tipo: polinómicas, logarítmicas, racionales, radicales, exponenciales, trigonométricas...

Además, calcularemos, de una forma más teórica, la derivada de la función

$$f(x)^{g(x)}$$

y así obtendremos una fórmula que usaremos para calcular la derivada de otras funciones con dicha forma.

La finalidad de estos ejercicios es entender la importancia de la regla de la cadena, propiedad que también se cumple para la diferencial de varias variables reales, pero que no funciona en otros casos.

Finalmente, comentamos la importancia del cálculo diferencial en cuanto a sus aplicaciones: nos permite conocer la monotonía de funciones y la existencia y naturaleza de extremos, así como de la existencia de puntos de inflexión. Esto, además, supone una herramienta a la hora de demostrar otras propiedades teóricas. Otra aplicación en matemáticas es el cálculo de límites (Regla de L'Hôpital). Además, el cálculo diferencial también se emplea con frecuencia en diversos ámbitos, como la física, la química o la economía.

Temas relacionados:



Reglas de derivación y de la cadena

  • Derivada de la suma: es la suma de las derivadas

    $$(f+g)'(x) = f'(x)+ g'(x)$$
  • Derivada del producto por una constante c

    $$( c \cdot f ) ' ( x ) = c \cdot f ' ( x )$$
  • Derivada del producto de funciones

    $$( f \cdot g ) ' ( x ) = f ' ( x )\cdot g ( x ) + f ( x ) \cdot g ' ( x )$$
  • Si g no se anula, entonces, la derivada del cociente es

    $$\left( \frac{f}{g} \right) ' ( x ) =\frac{f ' ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ' ( x )}{(g(x))^2}$$
  • Regla de la cadena

    $$( f ( g ( x ) ) ) ' = f ' ( g ( x ) ) \cdot g' ( x )$$


20 Ejercicios Resuetos



Ejercicio 1

Función logarítmica:

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Ejercicio 2

Función racional:

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Ejercicio 3

Función racional con raíz cuadrada:

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Ejercicio 4

Función con parámetros y raíces en el denominador:

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Ejercicio 5

Función racional con raíz en el denominador

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Ejercicio 6

Función logaritmo de una raíz:

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Ejercicio 7

Función racional con exponencial y logarítmo de un coseno

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Ejercicio 8

Función exponencial

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Ejercicio 9

Función con exponencial

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Ejercicio 10

Función racional de exponenciales:

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Ejercicio 11

Función exponencial con tangente y con parámetros:

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Ejercicio 12

Función racional con seno, logaritmo y raíz:

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Ejercicio 13

Función con arcoseno y raíz:

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Ejercicio 14

Función con parámetro y arcoseno:

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Ejercicio 15

Función con raíces y logaritmo:

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Ejercicio 16

Demostración de la derivada de una función elevada a una función:

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Ejercicio 17

Función exponencial:

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Ejercicio 18

Función exponencial:

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Ejercicio 19

Función exponencial:

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Ejercicio 20

Función exponencial:

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