Contenido de esta página:
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Ficha descriptiva del hexágono regular.
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Problemas resueltos ordenados de
menor a mayor dificultad. En el problema 5 se demuestra la fórmula del área.
Nota previa: en los problemas se utiliza el signo de igualdad ("="), pero la mayoría de los valores son aproximados (para simplificar la lectura). Como consecuencia, los resultados finales pueden variar según las aproximaciones que se realicen.
Problema 1
Si el lado de un hexágono regular mide 6cm y su apotema mide 5.2cm,¿cuál es el perímetro y el área de dicho hexágono?
Solución
Los datos que tenemos son el lado y la apotema:
El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados. Como el hexágono es regular, todos sus 6 lados miden lo mismo, así que su perímetro es
La fórmula del área del hexágono regular es
Como tenemos el lado y la apotema, sólo tenemos que sustituirlos en la fórmula:
Nota: no olvidemos que las unidades del área son al cuadrado.
Problema 2
Calcular el perímetro de un hexágono
regular si tiene un área de 221.7cm2 y su apotema mide 8cm.
Solución
El perímetro de un hexágono regular es
donde L es la longitud del lado. No sabemos cuánto mide el lado, pero conocemos el área y la apotema. Podemos aislar el lado de la fórmula del área
Luego el lado mide 9.23cm y, por tanto, el perímetro es
Problema 3
Se tiene un triángulo rectángulo inscrito dentro de un hexágono regular. La apotema del mismo mide 10cm y la hipotenusa del triángulo mide 23.1cm. ¿Cuál es el área del hexágono?
Solución
Para obtener el área del hexágono necesitamos la apotema y el lado. Como conocemos la apotema, debemos calcular el lado.
Como todos los lados miden lo mismo, coinciden con el cateto a del triángulo.
Del triángulo sabemos que es rectángulo y que su hipotenusa mide 23.1cm (lado c). Además, del modo en el que está inscrito, el cateto b mide lo mismo que 2 apotemas:
Por tanto, el lado b mide
Conociendo la hipotenusa y uno de los lados, podemos obtener el otro lado aplicando el teorema de Pitágoras:
Sustituimos los datos:
Luego cada lado del hexágono mide 11.56 cm.
Finalmente, aplicamos la fórmula del área:
Por tanto, el área del hexágono es 346.5cm2.
Problema 4
Calcular el lado del hexágono regular de área 4157cm2 que tiene inscrito un triángulo según se muestra en la siguiente imagen:
El lado b del triángulo coincide con la apotema del hexágono, el lado a mide 40cm y el lado c mide 52.9cm. Los ángulos γ y α miden 40.9° y 49.1°, respectivamente.
Solución
Los datos que tenemos son
Como la suma de los ángulos de un triángulo debe ser 180º y conocemos dos de ellos, podemos calcular el otro:
Como el ángulo β mide 90º, sabemos que el triángulo es rectángulo y, por tanto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para hallar el cateto b:
Luego tenemos también la apotema del hexágono ya que esta coincide con el lado b:
Conociendo el área y la apotema podemos calcular el lado del hexágono:
Sustituimos los datos:
Por tanto, los lados del hexágono miden 40cm.
Problema 5
Demostrar que el área del hexágono regular es
siendo L el lado del hexágono y ap su apotema.
Solución
En la figura del enunciado se muestra un hexágono regular de lado L, una de sus apotemas y tres diagonales. Las diagonales dividen al hexágono en 6 triángulos iguales.
Recordamos que la fórmula del área de un triángulo es:
Como la base y la altura del triángulo coinciden con el lado y la apotema del hexágono, respectivamente, la fórmula queda como
El área total del hexágono es la suma de las áreas de los 6 triángulos. Como éstos son iguales, el área del hexágono es 6 veces el área de uno de los triángulos:
Problema 6
Se tiene un hexágono regular con un triángulo inscrito como muestra la siguiente imagen:
Si el área del hexágono es 166.28cm2 y cada lado del hexágono mide 8cm, ¿cuál es el área del triángulo?
Solución
Observando la figura podemos deducir que se trata de un triángulo equilátero de lado 2 veces la apotema del hexágono.
Necesitamos hallar la apotema. Al conocer el área y el lado, podemos aislarla en la fórmula del área del hexágono:
Sustituimos los datos (área y lado):
Por tanto, la apotema mide 6.93cm y el lado del triángulo equilátero es 2·6.93 = 13.86 cm.
La fórmula del área de un triángulo equilátero es:
siendo l el lado del triángulo (que sabemos cuál es).
El área del triángulo inscrito es
Problema 7 (dificultad alta)
Se tiene un hexágono regular con un triángulo inscrito como se muestra en la figura:
Si el lado c del triángulo mide 55cm, calcular:
Ayuda: aplicar el teorema del seno (relación entre los lados y sus ángulos interiores opuestos de un triángulo cualquiera):
Solución
Para calcular el perímetro necesitamos el lado y para el área necesitamos el lado y la apotema.
Observando la figura sabemos que el triángulo es rectángulo porque el ángulo γ es recto (γ = 90º).
También sabemos que los ángulos interiores de un hexágono regular son de 120° y como la hipotenusa del triángulo divide por la mitad a uno de estos ángulos, el ángulo β es de 60º.
Conociendo los ángulos β y γ también conocemos α:
Sustituyendo los datos en las fórmulas del teorema del seno obtenemos
Tenemos suficientes datos para calcular el lado b:
Por tanto, el lado b mide
Calculamos también el lado a que es el lado del hexágono:
Por tanto, el lado del hexágono mide 27.5cm.
Falta por calcular la apotema. Para ello, nos ayudamos de un nuevo triángulo rectángulo (color rojo) inscrito en el hexágono:
La hipotenusa de dicho rectángulo coincide con el lado c (conocido), su altura es 2 veces la apotema y su base coincide con el lado a (conocido).
Aplicando Pitágoras,
Sustituimos los valores:
Por tanto, la apotema mide 23.82cm.
Finalmente, calculamos el perímetro y el área mediante sus respectivas fórmulas:
Problema 8 (dificultad alta)
Obtener una fórmula para calcular la apotema de un hexágono regular de lado L.
Ayuda: utilizar el teorema del seno:
Solución
Representamos un triángulo rectángulo inscrito en el hexágono:
La hipotenusa es el lado h, la base mide lo mismo que L y el otro cateto mide 2 veces la apotema.
Como los ángulos interiores de un hexágono son de 120º, el ángulo γ mide 60º. Además, como el ángulo α mide 90º, el ángulo β mide 30º.
Por el teorema del seno,
Utilizando la igualdad de la izquierda, obtenemos una fórmula para calcular la apotema a partir del lado L:
Por tanto, la fórmula para calcular la apotema (ap) a
partir del lado del hexágono (L) es
