En esta página explicamos el concepto de mínimo común múltiplo y cómo calcularlo. Después, proporcionamos un test con ejercicios.
Índice:
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El mínimo común múltiplo de dos números a y b es el número más pequeño que es múltiplo de a y múltiplo de b.
Para denotar el mínimo común múltiplo de a y b escribiremos m.c.m.(a, b) ó mcm(a, b).
Vamos a calcular el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Para ello, escribimos los primeros múltiplos de 4 y de 6:
Recordad que los múltiplos se obtienen multiplicando.
Entre los 6 primeros múltiplos de 4 y de 6, los números 12 y 24 son múltiplos de ambos (son múltiplos comunes).
Tenemos que quedarnos con el mínimo.
Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12:
Recordamos cómo descomponer números para escribirlos como un producto de números primos, lo cual facilitará el cálculo del mínimo común múltiplo.
Podemos escribir cualquier número como producto de potencias de números primos. Por ejemplo,
Para descomponer un número dividimos el número sucesivamente entre números primos hasta llegar a 1.
La descomposición es el producto de las potencias de los números primos, siendo sus exponentes el número de veces que hemos dividido por dicho primo.
Descomponemos el número 324 dividiendo sucesivamente entre 2 y entre 3:
En la descomposición tenemos que escribir una potencia de base 2 y una potencia de base 3 (los números entre los cuales hemos dividido).
Los exponentes son el número de veces que se repite el número:
Por tanto, la descomposición de 324 es
Regla para calcular el mcm:
Ejemplo 1: calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324.
Sus descomposiciones son:
El mínimo común múltiplo tendrá las potencias de base 5, de base 3 y de base 2.
Por tanto, el mínimo común múltiplo de 180 y 324 es
El procedimiento anterior puede resumirse como comunes y no comunes al mayor exponente, lo que significa que el mcm es el producto de todas las potencias que aparecen en una o en ambas descomposiciones («comunes y no comunes») pero cuyo exponente sea el mayor.
También, podemos calcular el mínimo común múltiplo de más de dos números. Para ello, usamos la misma regla: comunes y no comunes al mayor exponente.
Ejemplo 2: calculamos el m.c.m. de 8, 9 y 10.
Las descomposiciones de estos números son:
Las bases de las potencias son: 2, 3 y 5.
El mayor exponente para la base 2 es 3.
Las otras dos bases sólo tienen un exponente posible.
Por tanto, el mcm(8,9,10) es
El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es...
6
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12
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de 9 y 15 es...
15
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30
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45
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4 es...
6
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12
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24
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de 4 y 8 es...
4
|
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8
|
|
32
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 5 es...
6
|
|
15
|
|
30
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de 12 y 18 es...
18
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36
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216
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de 3, 27 y 81 es...
81
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243
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6561
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de 10, 100 y 1000 es...
10
|
|
100
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|
1000
|
Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de 20 y 30 es...
60
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200
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300
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de 55 y 510 es...
55
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510
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515
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de dos números primos es...
1
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El producto de los dos primos.
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El número primo mayor.
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El mínimo común múltiplo es 1 cuando...
Los dos números son primos.
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Los dos números son iguales.
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Los dos números son el 1.
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Razonamiento:
El mínimo común múltiplo de dos números...
Es siempre par.
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Nunca es un número primo porque es un múltiplo.
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Es divisible entre los dos números (de los cuales es el mcm).
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Razonamiento:
Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 4...
Los dos números tienen que ser el 4.
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Uno de los números es el 2 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.
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|
Uno de los números es el 4 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.
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Razonamiento:
Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 10, entonces...
Los dos números son pares.
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Al menos uno de los números es par.
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Ninguno de los números es par.
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Razonamiento:
Calcular el número más pequeño que sea divisible por 12 y por 21.
Si el número es divisible por 12 es porque es múltiplo de 12.
Si el número es divisible por 21 es porque es múltiplo de 21.
Por tanto, el número tiene que ser múltiplo de 12 y 21.
Además, debe ser el menor de los múltiplos comunes.
Por tanto, estamos buscando el mínimo común múltiplo de 12 y 21.
Descomponemos los números en primos:
Por tanto, el mcm es:
Amir va a entregar las invitaciones para su cumpleaños en un sobre (en cada sobre una invitación).
En la tienda, las cajas de invitaciones son de 15 unidades y las cajas de sobres son de 20 unidades.
Calcular el número mínimo de cajas de cada producto para que haya el mismo número de invitaciones y de sobres.
Como el número de invitaciones tiene que ser el mismo que el de sobres, este número tiene que ser múltiplo de 15 y de 20.
Además, en el problema se pide que este número sea el mínimo.
Por tanto, tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de 15 y de 20.
Descomponemos los números en primos:
Por tanto, el mcm es:
Como en cada caja de invitaciones hay 15 unidades y queremos 60, necesitamos 4 cajas de invitaciones.
Como en cada caja de sobres hay 20 unidades y queremos 60, necesitamos 3 cajas de sobres.
Por tanto, Amir debe comprar 4 cajas de invitaciones y 3 cajas de sobres.
Calcular el número más pequeño de modo que la división de dicho número entre 11 y entre 23 tenga resto 2.
Sea \(a\) el número que buscamos. Lo dividimos entre 11 y tenemos un cociente \(c\) y resto 2:
Es decir, tenemos que
Si lo dividimos entre 23, tendremos un cociente \(q\) y resto 2:
Pasando el 2 al lado izquierdo tendremos:
Esto quiere decir que el número \(a-2\) es múltiplo de 11 y también de 23.
Por tanto, que el número \(a\) sea el más pequeño que al dividir entre 11 y entre 23 tenga resto 2 es lo mismo que decir que \(a-2\) sea el menor de los múltiplos de 11 y de 23. Luego \(a-2\) debe ser el m.c.m. de 11 y 23.
Como 11 y 23 son primos, su m.c.m. es su producto, es decir, 253. Así que el número buscado es 255 ya que
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