Ejercicio 1 
El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es...
Razonamiento:
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No podemos descomponer los números como producto de primos porque ya son
números primos.
El mínimo común múltiplo es el producto de
comunes y no comunes al mayor exponente:
$$ m.c.m.(2,3) = 2\cdot 3 = 6 $$
Ejercicio 2
El mínimo común múltiplo de 9 y 15 es...
Razonamiento:
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Descomponemos los números:
El mínimo común múltiplo es:
Ejercicio 3
El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4 es...
Razonamiento:
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Descomponemos los números:
El mínimo común múltiplo es:
Ejercicio 4
El mínimo común múltiplo de 4 y 8 es...
Razonamiento:
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Descomponemos los números:
El mínimo común múltiplo es:
Ejercicio 5
El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 5 es...
Razonamiento:
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Como los tres números son primos, su m.c.m. es el producto:
Ejercicio 6
El mínimo común múltiplo de 12 y 18 es...
Razonamiento:
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Descomponemos los números:
El mínimo común múltiplo es:
Ejercicio 7
El mínimo común múltiplo de 3, 27 y 81 es...
Razonamiento:
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Descomponemos los números:
Notemos que los tres números son potencias de 3, así que su mínimo común múltiplo es la potencia
de mayor exponente:
Ejercicio 8
El mínimo común múltiplo de 10, 100 y 1000 es...
Razonamiento:
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Descomponemos los números:
Los tres números son potencias de 10.
Por tanto, el mínimo común múltiplo es la potencia que tiene mayor exponente:
Ejercicio 9
El mínimo común múltiplo de 20 y 30 es...
Razonamiento:
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Descomponemos los números:
El mínimo común múltiplo es:
Ejercicio 10 
El mínimo común múltiplo de 55 y 510 es...
Razonamiento:
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El mínimo común múltiplo es el que tiene mayor exponente:
$$ mcm(5^5, 5^{10}) = 5^{10} $$
Ejercicio 11
El mínimo común múltiplo de dos números primos es...
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1
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El producto de los dos primos.
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El número primo mayor.
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Ejercicio 12
El mínimo común múltiplo es 1 cuando...
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Los dos números son primos.
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Los dos números son iguales.
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Los dos números son el 1.
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Razonamiento:
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Si los dos números son primos, su mcm es su producto.
Si los dos números son iguales, su mcm es dicho número.
Si los dos números son el 1, su mcm es el 1.
Ejercicio 13
El mínimo común múltiplo de dos números...
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Es siempre par.
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Nunca es un número primo porque es un múltiplo.
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Es divisible entre los dos números (de los cuales es el mcm).
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Razonamiento:
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El mcm no tiene porqué ser par. Por ejemplo, el mcm de 1 y 3 es 3 que es impar.
El mcm puede ser un número primo en el caso especial en qué los dos números son el mismo número
primo. Por ejemplo, el mcm de 7 y 7 es 7.
El mcm es divisible entre los dos números puesto que es un múltiplo de ambos.
Ejercicio 14
Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 4...
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Los dos números tienen que ser el 4.
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Uno de los números es el 2 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.
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Uno de los números es el 4 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.
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Razonamiento:
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La primera opción es falsa puesto que el mcm de 1 y 4 es 4 y no son los dos el número 4.
La segunda opción es falsa porque si los números son el 2 y el 1, entonces su mcm es 2 y no 4.
La tercera es verdadera ya que:
- Podemos escribir 4 como 22
-
El mcm es comunes y no comunes al menor exponente
Por tanto, la descomposición de los dos números ha de estar en la descomposición del mcm:
Pueden ser: 20, 21 ó 22.
Además, al menos uno de ellos debe ser 22.
Ejercicio 15
Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 10, entonces...
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Los dos números son pares.
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Al menos uno de los números es par.
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Ninguno de los números es par.
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Razonamiento:
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El mcm es 10, que se puede escribir como 2·5.
Por tanto, en la descomposición de alguno de los dos números debe aparecer la potencia 2.
Entonces, dicho número es par (ya que es un múltiplo de 2).
Ejercicio 16
Calcular el número más pequeño que sea divisible por 12 y por 21.
SOLUCIÓN:
Si el número es divisible por 12 es porque es múltiplo de 12.
Si el número es divisible por 21 es porque es múltiplo de 21.
Por tanto, el número tiene que ser múltiplo de 12 y 21.
Además, debe ser el menor de los múltiplos comunes.
Por tanto, estamos buscando el mínimo común múltiplo de 12 y 21.
Descomponemos los números en primos:
Por tanto, el mcm es:
Ejercicio 17
Amir va a entregar las invitaciones para su cumpleaños
en un sobre (en cada sobre una invitación).
En la tienda, las cajas de invitaciones son de
15 unidades y las cajas de sobres son de 20 unidades.
Calcular el número mínimo de cajas de cada producto para
que haya el mismo número de invitaciones y de sobres.
SOLUCIÓN:
Como el número de invitaciones tiene que ser el mismo que el de sobres,
este número tiene que ser múltiplo de 15 y de 20.
Además, en el problema se pide que este número sea el mínimo.
Por tanto, tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de 15 y de 20.
Descomponemos los números en primos:
Por tanto, el mcm es:
Como en cada caja de invitaciones hay 15 unidades y queremos 60,
necesitamos 4 cajas de invitaciones.
Como en cada caja de sobres hay 20 unidades y queremos 60,
necesitamos 3 cajas de sobres.
Por tanto, Amir debe comprar 4 cajas de invitaciones y 3 cajas de sobres.
Ejercicio 18 
Calcular el número más pequeño de modo que la división de dicho número entre 11 y entre 23 tenga resto 2.
SOLUCIÓN:
Sea \(a\) el número que buscamos. Lo dividimos entre 11 y tenemos un cociente \(c\) y resto 2:
Es decir, tenemos que
Si lo dividimos entre 23, tendremos un cociente \(q\) y resto 2:
Pasando el 2 al lado izquierdo tendremos:
Esto quiere decir que el número \(a-2\) es múltiplo de 11 y también de 23.
Por tanto, que el número \(a\) sea el más pequeño que al dividir entre 11 y entre 23 tenga resto 2 es lo mismo que decir que \(a-2\) sea el menor de los múltiplos de 11 y de 23. Luego \(a-2\) debe ser el m.c.m. de 11 y 23.
Como 11 y 23 son primos, su m.c.m. es su producto, es decir, 253. Así que el número buscado es 255 ya que
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