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Mínimo común múltiplo

En esta página explicamos el concepto de mínimo común múltiplo y cómo calcularlo. Después, proporcionamos un test con ejercicios.

Índice:

  1. Concepto de mínimo común múltiplo (mcm)
  2. Descomposición en números primos (recordatorio)
  3. Método para la obtención del mcm
  4. Test y ejercicios resueltos: calcular el mcm de dos o tres números, preguntas teóricas y problemas de aplicación

Recomendado: calculadora online de mcm y mcd.

1. Definición y ejemplo

El mínimo común múltiplo de dos números a y b es el número más pequeño que es múltiplo de a y múltiplo de b.

Para denotar el mínimo común múltiplo de a y b escribiremos m.c.m.(a, b) ó mcm(a, b).

Ejemplo:

Vamos a calcular el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Para ello, escribimos los primeros múltiplos de 4 y de 6:

mínimo común múltiplo: concepto, ejemplos, ejercicios y problemas resueltos

Recordad que los múltiplos se obtienen multiplicando.

Entre los 6 primeros múltiplos de 4 y de 6, los números 12 y 24 son múltiplos de ambos (son múltiplos comunes).

Tenemos que quedarnos con el mínimo.

Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12:

mínimo común múltiplo: concepto, ejemplos, ejercicios y problemas resueltos

2. Descomposición en números primos

Recordamos cómo descomponer números para escribirlos como un producto de números primos, lo cual facilitará el cálculo del mínimo común múltiplo.

Podemos escribir cualquier número como producto de potencias de números primos. Por ejemplo,

mínimo común múltiplo: concepto, ejemplos, ejercicios y problemas resueltos

Para descomponer un número dividimos el número sucesivamente entre números primos hasta llegar a 1.

La descomposición es el producto de las potencias de los números primos, siendo sus exponentes el número de veces que hemos dividido por dicho primo.


Ver ejemplo

3. Obtención del mcm

Regla para calcular el mcm:

«Bases comunes y no comunes al mayor exponente»

Método:

  1. Descomponemos los números en números primos (producto de potencias de primos).
  2. El mínimo común múltiplo es el producto de todas las potencias que aparecen en las descomposiciones,
  3. pero si alguna de las bases aparece en ambas descomposiciones, escogemos la de mayor exponente.

Ejemplo:

Calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324.

Sus descomposiciones son:

mínimo común múltiplo: concepto, ejemplos, ejercicios y problemas resueltos

El mínimo común múltiplo tendrá las potencias de base 5, de base 3 y de base 2.

  • la potencia de base 2 tiene el exponente 2 en las dos descomposiciones, así que escribiremos $$ 2^2 $$
  • la potencia de base 3 tiene los exponentes 2 y 4. Nos quedamos con el mayor: $$ 3^4 $$
  • la potencia de base 5 sólo aparece en una de las descomposiciones, pero este hecho es irrelevante.

Por tanto, el mínimo común múltiplo de 180 y 324 es

mínimo común múltiplo: concepto, ejemplos, ejercicios y problemas resueltos

El procedimiento anterior puede resumirse como comunes y no comunes al mayor exponente, lo que significa que el mcm es el producto de todas las potencias que aparecen en una o en ambas descomposiciones («comunes y no comunes») pero cuyo exponente sea el mayor.


También, podemos calcular el mínimo común múltiplo de más de dos números. Para ello, usamos la misma regla: comunes y no comunes al mayor exponente.

Ver ejemplo

4. Test y ejercicios resueltos

Ejercicio 1

El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es...

6
12

Razonamiento:

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Ejercicio 2

El mínimo común múltiplo de 9 y 15 es...

15
30
45

Razonamiento:

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Ejercicio 3

El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4 es...

6
12
24

Razonamiento:

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Ejercicio 4

El mínimo común múltiplo de 4 y 8 es...

4
8
32

Razonamiento:

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Ejercicio 5

El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 5 es...

6
15
30

Razonamiento:

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Ejercicio 6

El mínimo común múltiplo de 12 y 18 es...

18
36
216

Razonamiento:

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Ejercicio 7

El mínimo común múltiplo de 3, 27 y 81 es...

81
243
6561

Razonamiento:

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Ejercicio 8

El mínimo común múltiplo de 10, 100 y 1000 es...

10
100
1000

Razonamiento:

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Ejercicio 9

El mínimo común múltiplo de 20 y 30 es...

60
200
300

Razonamiento:

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Ejercicio 10

El mínimo común múltiplo de 55 y 510 es...

55
510
515

Razonamiento:

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Ejercicio 11

El mínimo común múltiplo de dos números primos es...

1
El producto de los dos primos.
El número primo mayor.

Ejercicio 12

El mínimo común múltiplo es 1 cuando...

Los dos números son primos.
Los dos números son iguales.
Los dos números son el 1.

Razonamiento:

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Ejercicio 13

El mínimo común múltiplo de dos números...

Es siempre par.
Nunca es un número primo porque es un múltiplo.
Es divisible entre los dos números (de los cuales es el mcm).

Razonamiento:

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Ejercicio 14

Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 4...

Los dos números tienen que ser el 4.
Uno de los números es el 2 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.
Uno de los números es el 4 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.

Razonamiento:

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Ejercicio 15

Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 10, entonces...

Los dos números son pares.
Al menos uno de los números es par.
Ninguno de los números es par.

Razonamiento:

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Ejercicio 16

Calcular el menor número divisible por 12 y por 21.

Ver solución

Ejercicio 17

Amir va a entregar las invitaciones para su cumpleaños en un sobre (en cada sobre una invitación).

En la tienda, las cajas de invitaciones son de 15 unidades y las cajas de sobres son de 20 unidades.

Calcular el número mínimo de cajas de cada producto para que haya el mismo número de invitaciones y de sobres.

Ver solución

Ejercicio 18

Calcular el número más pequeño de modo que la división de dicho número entre 11 y entre 23 tenga resto 2.

Ver solución




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