Binomio de Newton:

Fórmulas y ejemplos

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Cuadrado de la suma

  • Cuadrado de la resta

  • Cuadrado de la suma de negativos

  • Cubo de la suma (trinomio)

  • 13 Ejemplos paso a paso


Introducción

Generalmente, nuestra intuición nos hace pensar que el cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados, pero esto no es así ya que si hacemos una prueba vemos que no se cumple. Por ejemplo, (1 + 1) 2 = 2 2 = 4 y no es lo mismo que 12 + 12 = 2.

Se conoce como teorema del binomio de Newton a la fórmula que nos proporciona el resultado de la potencia de una suma, (a+b) k, aunque a medida que aumenta k la expresión se complica ya que el número de sumandos depende del exponente. Por esta razón, sólo veremos el cuadrado y el cubo de la suma, haciendo hincapié en el cuadrado.

En esta sección exponemos las correspondientes fórmulas para el cuadrado de la suma y de la resta binomial (suma o resta de dos números) y del cubo de la suma binomial, con sus sendas demostraciones. A continuación se resuelven ejemplos paso a paso, siendo uno de los sumandos una incógnita (x) y en algunos casos con tres sumandos.


Cuadrado de la suma

Veamos la fórmula que nos permite calcular rápidamente el cuadrado de una suma. Si a y b son dos números,

fórmula del binomio de newton para la suma

Por ejemplo,

ejemplo del binomio de newton para la suma

La demostración es muy sencilla, sólo hay que realizar el producto de forma normal:

demostración de la fórmula del binomio de newton para la suma

Nota: hemos sumado ab + ba = 2ab ya que el producto es conmutativo. Por tanto, cuando no se cumpla la conmutatividad, en las matrices por ejemplo, esta fórmula no será cierta.


Cuadrado de la resta

Si a y b son dos números

fórmula del binomio de newton para la resta

La demostración es análoga si calculamos el producto. O bien, podemos considerar la suma (a + (-b))2 y aplicar la fórmula para la suma.


Cuadrado de la suma de dos negativos

Si los dos números tienen signo negativo:

fórmula del binomio de newton para la suma de dos negativos

La demostración es:

demostración de la fórmula del binomio de newton para la suma de dos negativos

En realidad podemos calcular los tres casos sencillamente a partir de la primera fórmula.


Cubo de la suma

Conociendo una fórmula, es fácil obtener las fórmulas para exponentes mayores. Por ejemplo:

demostración de la fórmula del cubo de la suma


Ejemplos


Ejercicios resueltos (click para ver solución)
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ejercicios resueltos de cuadrado de la suma

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ejercicios resueltos de cuadrado de la suma

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ejercicios resueltos de cuadrado de la suma

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ejercicios resueltos de cuadrado de la suma

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ejercicios resueltos de cuadrado de la suma



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