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Sucesiones o Progresiones Aritméticas

Contenido de esta página:

  1. Concepto de sucesión (recordatorio)

  2. Sucesión aritmética

  3. Sucesión creciente y decreciente

  4. Término general

  5. Suma de los \(n\) primeros términos

  6. 15 problemas resueltos

Esta página está dedicada exclusivamente a las sucesiones aritméticas. Recordamos el concepto de sucesión para poder definir el de sucesión aritmética y proporcionamos sus fórmulas. Al final de la página resolvemos 15 problemas de los conceptos vistos.

Temas relacionados:

1. Concepto de sucesión

Introducción a las sucesiones aritméticas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones aritméticas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Una sucesión (o progresión) es un conjunto de números ordenados. Cada número ocupa una posición y recibe el nombre de término.

Ejemplo

Un ejemplo de sucesión es el conjunto de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...

El término que ocupa la posición \(n\) se denota por \(a_n\) y se denomina término general o término \(n\)-ésimo.

Ejemplo

En la sucesión de las pares, el primer término es \(a_1=2\) y el sexto es \(a_6=12\). El término general es

$$ a_n = 2\cdot n $$

En esta página trabajaremos con sucesiones con infinitos términos (no hay un último término).

2. Sucesión aritmética

Una sucesión es aritmética cuando cada término se obtiene sumando un número al término que le precede. Este número se denomina diferencia y se denota por \(d\).

Introducción a las sucesiones aritméticas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones aritméticas. Secundaria, ESO y Bachillerato.


Ver ejemplo

Fórmula para calcular la diferencia:

Introducción a las sucesiones aritméticas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones aritméticas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Es decir, la diferencia se obtiene restando términos consecutivos.

Si la diferencia entre dos términos consecutivos no es constante en toda la sucesión, entonces la sucesión no es aritmética.

3. Sucesión creciente y decreciente

Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor que el anterior:

$$ a_{n+1} > a_n$$

Esto ocurre cuando la diferencia es positiva: \(d > 0\).


Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor que el anterior:

$$ a_{n+1} < a_n$$

Esto ocurre cuando la diferencia es negativa: \(d < 0\).

Nota: si la diferencia es \(d=0\), la sucesión es constante (todos los términos son iguales).

Ver ejemplo

4. Término general

Se puede calcular cualquier término de la sucesión mediante una fórmula (fórmula o término general). Esta fórmula se obtiene a partir del primer término y de la diferencia:

Introducción a las sucesiones aritméticas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones aritméticas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Ver ejemplo

5. Suma de \(n\) términos

Primera fórmula:

Conociendo el primer término y el término \(n\)-ésimo de la sucesión, podemos calcular la suma de los \(n\) primeros términos con la fórmula

Introducción a las sucesiones aritméticas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones aritméticas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Ver ejemplo

Segunda fórmula:

También podemos calcular la suma de los \(n\) primeros términos a partir del primero y de la diferencia con la fórmula

Introducción a las sucesiones aritméticas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones aritméticas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Nota: la fórmula se obtiene al sustituir la expresión del término general \(a_n\) en la primera fórmula de la suma \(S_n\).

Ver ejemplo
X

6. Problemas Resueltos

Problema 1

Calcular la diferencia de las siguientes sucesiones:

  • 11, 13, 15, 17, 19,...

  • 11, 16, 21, 26, 31,...

  • 10, 6, 2, -2, -6, -10,...

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Problema 2

¿Cuál de las siguientes sucesiones no es aritmética?

  • 16, 26, 36, 46,...

  • 16, 6, 13, 3,...

  • -26, -36, - 46, -56,...

Ver solución

Problema 3

¿Cuál es el segundo término de la siguiente sucesión aritmética?

$$ 5,a_2,21,29,... $$

Ver solución

Problema 4

Calcular los dos siguientes términos de las sucesiones aritméticas:

  • 45, 55, 65,...

  • 11, 22, 33,...

  • 87, 76, 65,...

¿Cuál es la diferencia de estas sucesiones?

Ver solución

Problema 5

Si dos sucesiones tienen la misma diferencia, ¿son la misma sucesión?

Ver solución


Problema 6

Determinar si las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes:

  • 20, 15, 10, 5,...

  • -3, -6, -9, -12,...

  • 4, 14, 24, 34,...

Ver solución

Problema 7

Calcular el término \(a_{10}\) de cada sucesión:

  • 8, 14, 20, 26,...

  • 4, 10, 16, 22,...

  • 8, 5, 2, -1,...

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Problema 8

Calcular el término \(a_5\) de cada sucesión a partir de los datos proporcionados:

  • \(a_1=3,\ d=6\)

  • \(a_1=6,\ d=-3\)

  • \(a_n=3+3(n-1)\)

Determinar si las sucesiones son crecientes o decrecientes.

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Problema 9

Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

  • 6, 13, 20, 27,...

  • 6, 2, -2, -6,...

  • 0, -1/2, -1, -3/2,...

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Problema 10 (dificultad alta)

Calcular el término \(a_1\) de las sucesiones aritméticas a partir de los datos dados:

  • \( a_4=11,\ a_5=14 \)

  • \( a_4=23,\ d=4 \)

  • \( a_4=28,\ a_6=34 \)

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Problema 11

Calcular la suma de los 10 primeros términos de las siguientes sucesiones:

  • 3, 10, 17,...

  • 12, 15, 18,...

  • 15, 12, 9,...

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Problema 12

Calcular la suma de los 10 primeros términos las sucesiones a partir de los datos dados:

  • \( a_1=5,\ a_{10}=14 \)

  • \( a_1=5,\ d=4 \)

  • \( a_2=18,\ d=5 \)

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Problema 13

Encontrar una progresión aritmética cuyo primer término sea 3 y que sus tres primeros términos sumen 12.

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Problema 14 (dificultad alta)

Calcular cuántos números impares hay entre 20 y 50 y calcular su suma.

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Problema 15 (dificultad alta)

El primer término de una sucesión aritmética es \(a_1=12\) y la suma de los 5 primeros términos es \(S_5=90\) . Calcular el término \(a_5\) y el término general \(a_n\).

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