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Sucesiones o Progresiones Geométricas

Contenido de esta página:

  1. Concepto de progresión geométrica

  2. Razón de una progresión geométrica

  3. Término general

  4. Progresión creciente y decreciente (monotonía)

  5. Suma de los \(n\) primeros términos

  6. Suma de todos los términos

  7. 15 problemas resueltos

Esta página está dedicada exclusivamente a las sucesiones geométricas. Recordaremos el concepto de sucesión geométrica y proporcionaremos sus fórmulas. Al final de la página resolveremos 15 problemas de los conceptos vistos.

Temas relacionados:

1. Concepto de sucesión geométrica

Introducción a las sucesiones geométricas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones geométricas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que cada término \(a_n\) se obtiene multiplicando al término anterior \(a_{n-1}\) por un número \(r\) llamado razón.

La razón de una sucesión geométrica se denota por \(r\) y debe ser constante en toda la sucesión.


Ver ejemplo

2. Razón de una progresión

La razón de una progresión geométrica se calcula dividiendo términos consecutivos:

Introducción a las sucesiones geométricas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones geométricas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Ver ejemplo

3. Término general

El término general de una sucesión geométrica se calcula a partir del primer término \(a_1\) y de la razón \(r\):

Introducción a las sucesiones geométricas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones geométricas. Secundaria, ESO y Bachillerato.


El término general permite calcular cualquier término de la sucesión sin necesidad de calcular los anteriores.

Ver ejemplo

4. Monotonía de una progresión

La monotonía de una sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de la razón:

  • Si el primer término de la sucesión es positivo, entonces

    • si \(r>1\), la sucesión es creciente

    • si \(0<r<1\), la sucesión es decreciente

  • Si el primer término de la sucesión es negativo, entonces

    • si \(r>1\), la sucesión es decreciente

    • si \(0<r<1\), la sucesión es decreciente

En cualquier caso, si \(r=1\), la sucesión es constante; y si \(r<0\), es alternada.

Las progresiones alternadas son aquellas en las que cada término tiene el signo contrario al del término que le precede.

Introducción a las sucesiones geométricas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones geométricas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

5. Suma de \(n\) términos

Para sumar los primeros \(n\) términos de una progresión geométrica disponemos de varias fórmulas:

Primera fórmula:

Introducción a las sucesiones geométricas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones geométricas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Segunda fórmula:

Introducción a las sucesiones geométricas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones geométricas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Nota: la segunda fórmula se ha calculado utilizando la fórmula del término general en la primera fórmula de la suma.

Nosotros utilizaremos la primera en los problemas.

6. Suma de todos los términos

Cuando la razón de la progresión es \(|r|<1\) se pueden sumar todos los términos mediante la fórmula

Introducción a las sucesiones geométricas: concepto, fórmulas y problemas resueltos de progresiones geométricas. Secundaria, ESO y Bachillerato.

X

7. Problemas Resueltos

Problema 1

Determinar la razón de las siguientes progresiones geométricas:

  • 4, 12, 36, 108,...

  • 4, 20, 100, 500,...

  • 5, 10, 20, 40,...

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Problema 2

¿Cuál de las siguientes sucesiones no es geométrica?

  • 1, 3, 9, 27,...

  • 1, -1, 1, -1,...

  • 2, 0, 2, 0, 2,...

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Problema 3

Calcular la razón de las siguientes progresiones decrecientes:

  • -1, -2, -4, -8,...

  • 64, 32, 16, 8,...

  • 2, 1, 0.5, 0.25,...

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Problema 4

Calcular la razón de las siguientes progresiones alternadas:

  • 1, -5, 25, -125,...

  • 9, -9, 9, -9,...

  • 243, -81, 27, -9,...

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Problema 5

Calcular los tres siguientes términos de las sucesiones a partir de los datos dados:

  • \(a_1=3\), \(r=2\)

  • \(a_1=3\), \(r=-2\)

  • \(a_1=-3\), \(r=2\)

  • \(a_1=-3\), \(r=-2\)

Determinar si son crecientes, decrecientes o alternadas.

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Problema 6

Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:

  • 2, 8, 32, 128,...

  • \(a_1=2\), \(r=6\)

  • \(a_1=-3\), \(a_2=-6\)

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Problema 7

Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:

  • 8, -4, 2, -1,...

  • 7, -14, 28, -56,...

  • -2, -18, -162, -1458,...

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Problema 8

Dada la progresión

\begin{matrix} a_1 & = & 1 \\ a_2 & = & \frac{1}{2} \\ a_3 & = & \frac{1}{4} \\ a_4 & = & \frac{1}{8} \\ ... \end{matrix}

Contestar:

  • ¿Es una progresión geométrica? Calcular la razón en caso afirmativo.

  • ¿Es creciente, decreciente o alternada?

  • ¿Cuál es el término \(a_5\)?

  • ¿Cuál es el término general \(a_n\)?

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Problema 9

Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:

  • 1, 0.1, 0.01, 0.001,...

  • 1, 0.5, 0.25, 0.125,...

  • 2, 0.5, 0.125, 0.03125,...

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Problema 10

Calcular el término general de la progresión geométrica

$$\frac{3}{5},\ \frac{6}{25},\ \frac{12}{125},\ ... $$

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Problema 11

Calcular la suma de los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones geométricas (utilizando la fórmula para la suma):

  • 2, 6, 18,...

  • 0.25, 0.5, 1,...

  • 1, -3, 9,...

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Problema 12

Calcular la suma de los 11 primeros términos de las siguientes progresiones alternadas:

  • 2, -2, 2, -2,...

  • -5, 5, -5, 5,...

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Problema 13

Sumar todos los términos de la sucesión

$$1,\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{25},\ ... $$

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Problema 14

Sumar todos los términos de la progresión

$$1, \frac{3}{4},\ \frac{9}{16},\ \frac{27}{64},\ ... $$

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Problema 15

Sumar todos los términos de la sucesión

$$ a_n =5\cdot \frac{1}{8^{n-1}}, \ n≥ 1 $$

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