Sucesiones o Progresiones Geométricas

Contenido de esta página:

1. Concepto de progresión geométrica
2. Razón de una progresión geométrica
3. Término general
4. Progresión creciente y decreciente (monotonía)
5. Suma de los \(n\) primeros términos
6. Suma de todos los términos
7. 15 problemas resueltos

Esta página está dedicada exclusivamente a las sucesiones geométricas. Recordaremos el concepto de sucesión geométrica y proporcionaremos sus fórmulas. Al final de la página resolveremos 15 problemas de los conceptos vistos.

Temas relacionados:

• Test básico sobre progresiones
• Progresiones aritméticas
• Problemas de sucesiones aritméticas y geométricas
• Introducción a las progresiones (problemasyecuaciones.com)

Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que cada término \(a_n\) se obtiene multiplicando al término anterior \(a_{n-1}\) por un número \(r\) llamado razón.

La monotonía de una sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de la razón:

• Si el primer término de la sucesión es positivo, entonces
  • si \(r>1\), la sucesión es creciente
  • si \(0<r<1\), la sucesión es decreciente
• Si el primer término de la sucesión es negativo, entonces
  • si \(r>1\), la sucesión es decreciente
  • si \(0<r<1\), la sucesión es decreciente

En cualquier caso, si \(r=1\), la sucesión es constante; y si \(r<0\), es alternada.

Problema 1

Determinar la razón de las siguientes progresiones geométricas:

• 4, 12, 36, 108,...
• 4, 20, 100, 500,...
• 5, 10, 20, 40,...

Problema 2

¿Cuál de las siguientes sucesiones no es geométrica?

• 1, 3, 9, 27,...
• 1, -1, 1, -1,...
• 2, 0, 2, 0, 2,...

Problema 3

Calcular la razón de las siguientes progresiones decrecientes:

• -1, -2, -4, -8,...
• 64, 32, 16, 8,...
• 2, 1, 0.5, 0.25,...

Problema 4

Calcular la razón de las siguientes progresiones alternadas:

• 1, -5, 25, -125,...
• 9, -9, 9, -9,...
• 243, -81, 27, -9,...

Problema 5

Calcular los tres siguientes términos de las sucesiones a partir de los datos dados:

• \(a_1=3\), \(r=2\)
• \(a_1=3\), \(r=-2\)
• \(a_1=-3\), \(r=2\)
• \(a_1=-3\), \(r=-2\)

Determinar si son crecientes, decrecientes o alternadas.

Problema 6

Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:

• 2, 8, 32, 128,...
• \(a_1=2\), \(r=6\)
• \(a_1=-3\), \(a_2=-6\)

El término general de una sucesión geométrica es

Necesitamos el primer término y la razón para calcularlo.

• 2, 8, 32, 128,...

  Calculamos la razón dividiendo el segundo término entre el primero:

  

  Por tanto, el término general es

  

  Podemos simplificar la fórmula aplicando las propiedades de las potencias:

  

• \(a_1=2\), \(r=6\)

  El término general es

  

  También podemos escribir la fórmula como

  

• \(a_1=-3\), \(a_2=-6\)

  Calculamos la razón dividiendo los términos:

  

  El término general es

  

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Problema 7

Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:

• 8, -4, 2, -1,...
• 7, -14, 28, -56,...
• -2, -18, -162, -1458,...

Problema 8

Dada la progresión

\begin{matrix} a_1 & = & 1 \\ a_2 & = & \frac{1}{2} \\ a_3 & = & \frac{1}{4} \\ a_4 & = & \frac{1}{8} \\ ... \end{matrix}

Contestar:

• ¿Es una progresión geométrica? Calcular la razón en caso afirmativo.
• ¿Es creciente, decreciente o alternada?
• ¿Cuál es el término \(a_5\)?
• ¿Cuál es el término general \(a_n\)?

Problema 9

Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:

• 1, 0.1, 0.01, 0.001,...
• 1, 0.5, 0.25, 0.125,...
• 2, 0.5, 0.125, 0.03125,...

• 1, 0.1, 0.01, 0.001,...

  Calculamos la razón:

  

  Por tanto, el término general es

  

• 1, 0.5, 0.25, 0.125,...

  La razón es

  

  Y el término general es

  

• 2, 0.5, 0.125, 0.03125,...

  Calculamos la razón:

  

  El término general es

  

  Podemos simplificar más:

  

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Problema 10

Calcular el término general de la progresión geométrica

$$\frac{3}{5},\ \frac{6}{25},\ \frac{12}{125},\ ... $$

Problema 11

Calcular la suma de los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones geométricas (utilizando la fórmula para la suma):

• 2, 6, 18,...
• 0.25, 0.5, 1,...
• 1, -3, 9,...

Problema 12

Calcular la suma de los 11 primeros términos de las siguientes progresiones alternadas:

• 2, -2, 2, -2,...
• -5, 5, -5, 5,...

Problema 13

Sumar todos los términos de la sucesión

$$1,\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{25},\ ... $$

Problema 14

Sumar todos los términos de la progresión

$$1, \frac{3}{4},\ \frac{9}{16},\ \frac{27}{64},\ ... $$

Problema 15

Sumar todos los términos de la sucesión

$$ a_n =5\cdot \frac{1}{8^{n-1}}, \ n≥ 1 $$

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