Progresiones o Sucesiones


Contenido de esta página:

  • Breve Introducción

  • Recordatorio de las fórmulas de las progresiones aritméticas y geométricas

  • 30 Problemas Resueltos



Introducción

Podemos definir, de forma no rigurosa, una progresión (o sucesión) numérica como un conjunto de números ordenados. A cada uno de estos números los llamamos términos de la sucesión: a1 es el primer término, a2 es el segundo término, a3 es el tercer término... an es el n-ésimo término.

Veamos las características que las definen:

  • Las sucesiones pueden ser finitas (un número finito de términos) o infinitas.

  • Crecientes si cada término es mayor que su anterior, es decir,

    $$ a_n \leq a_{n+1} $$

    O decrecientes si

    $$ a_n \geq a_{n+1} $$

  • Son aritméticas cuando cada término es la suma del término anterior más un número en concreto, al que llamamos diferencia, d . Es decir,

    $$ a_{n+1} = a_{n} + d $$

  • Son geométricas cuando cada término es el término anterior multiplicado por un número en concreto, al que llamamos razón, r . Es decir,

    $$ a_{n+1} = a_n \cdot r $$

En el caso de las aritméticas y geométricas podemos encontrar una fórmula, a la que llamamos fórmula general de la progresión, que nos proporciona el término n-ésimo que queramos sin necesidad de escribir los términos anteriores. Igualmente, podemos calcular la suma de n términos consecutivos e, incluso en ocasiones, la suma de infinitos términos.

En esta sección resolvemos problemas de sucesiones aritméticas y geométricas. Los problemas están escritos en orden creciente de dificultad. Antes de empezar, haremos un recordatorio de todas las fórmulas que necesitaremos.


Fórmulas


SUCESIÓN ARITMÉTICA

Es de la forma

Diferencia

Término general

Suma de n primeros términos

SUCESIÓN GEOMÉTRICA

Es de la forma

Razón

Término general

Suma de n primeros términos

Suma de todos los términos

30 Problemas Resueltos


Problema 1

En una progresión aritmética, sabemos que el sexto término es 28 y que la diferencia es 5. Calcular el término general y los 5 primeros términos.

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Problema 2

En una progresión geométrica, sabemos que el primer término es 6 y el cuarto 48. Calcular el término general y la suma de los 5 primeros términos.

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Problema 3

Encontrar el término general de la sucesión

20,19.3,18.6,17.9,…

¿es aritmética o geométrica? Encontrar los términos: décimo (10), vigésimo (20) y trigésimo (30).

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Problema 4

Encontrar el término general de la sucesión

0.5, 0.25, 0.125, 0.0625,...

¿es aritmética o geométrica? Calcular las sumas de los n primeros términos para los valores de n = 10, 100. Se sabe que la suma de los infinitos términos de la sucesión es 1 (ejercicio 26), razonar cómo es posible que la suma de infinitos términos positivos no sea infinita.

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Problema 5

En una progresión aritmética, sabemos que el primer término es 1 y la suma de los 10 primeros términos es 63. Calcular el término general.

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Problema 6

En una progresión aritmética finita, el primer término es -23 y el último 32. Si se sabe que hay 12 términos, calcular el término general.

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Problema 7

La suma de tres términos de una sucesión aritmética cuya diferencia es 11 vale 66. Encontrar dichos términos.

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Problema 8

La suma de n números naturales consecutivos a partir de 55 (sin incluirlo) vale 738. Encontrar n.

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Problema 9

La suma de 6 números impares consecutivos vale 120. Encontrar dichos números.

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Problema 10

Demostrar que en cualquier sucesión geométrica positiva cada término es la raíz cuadrada del producto de su término anterior por su siguiente.

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Problema 11

Encontrar los tres términos consecutivos de una progresión geométrica que comienza en 1 y tiene razón 2 sabiendo que su producto es 512.

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Problema 12

Encontrar el término general de la sucesión

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

¿es aritmética o geométrica?

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Problema 13

Encontrar el término general de la sucesión

1, 4, 27, 256, 3125, ...

¿es aritmética o geométrica?

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Problema 14

Encontrar el término general de la sucesión

1, -2, 4, -8, 16,...

¿es aritmética o geométrica?

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Problema 15

Encontrar la suma los tres primeros términos de una sucesión geométrica de razón 0.5 sabiendo que su producto vale 1000.

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Problema 16

Considérese la sucesión dada por la recurrencia

Calcular los términos que sean necesarios para poder deducir su término general.

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Problema 17

El sueldo de un trabajador es de 900€ mensuales y cada año se le incrementa en 50€. Calcular cuánto dinero ganará en los 10 años siguientes.

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Problema 18

Calcular la suma de todos los números impares comprendidos entre 100 y 200.

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Problema 19

Demostrar que la suma de los n primeros impares es n2.

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Problema 20

En una progresión geométrica la suma de los dos primeros términos es 12 y la suma del primero con el tercero es 30. Obtener el término general y calcular la suma de los cinco primeros términos.

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Problema 21

Calcular el valor de a para que los términos a+2, 3a+2, 9a-2 formen una progresión geométrica.

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Problema 22

En un cuadrado de lado 2 se unen los puntos medios de sus lados para obtener otro cuadrado inscrito. Se repite el proceso sucesivamente con los cuadrados obtenidos.

Calcular la sucesión cuyo término n-ésimo corresponde con la longitud del lado del cuadrado n-ésimo. ¿Qué tipo de sucesión es?

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Problema 23

Calcular un número sabiendo que sus cinco cifras están colocadas en progresión aritmética, que la suma de todas ellas es 20 y que la primera es el doble de la tercera.

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Problema 24

Calcular la suma de los múltiplos de 13 comprendidos entre 500 y 7800.

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Problema 25

Los dos primeros términos de una progresión aritmética son (a - b)2 y (a + b)2. Calcular la diferencia y la suma de los 5 primeros términos.

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Problema 26

Demostrar que la suma infinita de la sucesión

es 1 con la ayuda del siguiente diagrama que representa un cuadrado de lado 1.

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Problema 27

Demostrar que la suma infinita de la progresión geométrica

es 1 con la ayuda del siguiente diagrama de cuadrados de lado 1 en el que el área amarilla del n-ésimo cuadrado vale lo mismo que el término n-ésimo de la progresión. La longitud del lado del cuadrado es 1.

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Problema 28

Según una leyenda, un rico brahmán ordenó a su sirviente, Sisa, que creara un juego para que pudiera entretenerse. Sisa le presentó el tablero de ajedrez y el brahmán quedó tan satisfecho que le dejó escoger su recompensa. Así pues, le pidió que le pagara con un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto, etc. hasta llegar a los 64 casilleros.

Calcular a cuántos granos de trigo ascendía la recompensa.

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Problema 29

A las 9 de la mañana, una persona cuenta a tres amigos un secreto. Media hora después, cada uno de estos tres amigos cuenta el secreto a otras tres personas. Media hora más tarde, cada uno de éstos cuenta el secreto a otras tres personas y así sucesivamente.

Calcular cuántas personas saben el secreto a las 9 de la noche suponiendo que cada persona sólo cuenta el secreto a otras tres personas y a nadie más durante el día y que ninguno ha recibido la información varias veces.

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Problema 30

Encontrar el valor de n para que se cumpla la igualdad

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