Escoger la opción correcta en todas las preguntas.
Pregunta 1
El conjunto de números impares, {1, 3, 5, 7,...} puede considerarse como una progresión...
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aritmética con diferencia \(d = 2\).
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geométrica con razón \(r = 2\).
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ni aritmética ni geométrica.
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Razonamiento:
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Es una sucesión aritmética con diferencia \(d = 2\) ya que cada término se obtiene sumando 2 al término anterior:
Pregunta 2
El conjunto de números {2, 4, 6} es una progresión...
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aritmética con diferencia \(d = 3\).
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geométrica con razón \(r = 2\) .
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aritmética y finita.
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Razonamiento:
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Es una sucesión finita porque sólo consta de tres términos. Es aritmética con diferencia \(d = 2\):
Pregunta 3
El conjunto de números racionales {1, 3/2, 2, 5/2, 3,... } es una progresión...
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aritmética con diferencia \(d = 1/2\).
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geométrica con razón \(r = 1/2\).
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ni aritmética ni geométrica.
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Razonamiento:
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Si la sucesión es aritmética, la diferencia entre dos términos consecutivos debe ser contante. Lo comprobamos:
La diferencia se mantiene constante. Se trata de una sucesión aritmética con diferencia \(d = 1/2\).
Pregunta 4
La sucesión 2, 5, 7, 9, 10, 11,... es una sucesión...
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aritmética.
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geométrica.
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ni aritmética ni geométrica.
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Razonamiento:
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No es aritmética porque la diferencia entre dos términos consecutivos no es constante. Por ejemplo, la diferencia entre el segundo y el primer término es
Mientras que la diferencia entre el tercer y el segundo término es
Tampoco es geométrica porque la razón entre términos consecutivos no es constante. Por ejemplo, la razón entre el segundo y el primer término es
Mientras que la razón entre el tercer y segundo termino es
Pregunta 5
La sucesión 1, 5, 25, 125, 625,... es una sucesión...
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aritmética con diferencia \( d = 5\).
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geométrica con razón \(r = 5\).
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ni aritmética ni geométrica.
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Razonamiento:
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No es aritmética porque la diferencia entre el segundo y el primer término es 4 y la diferencia entre el tercero y el segundo es 20.
Sin embargo, la razón entre términos consecutivos es constante e igual a 5.
Pregunta 6
Si el término general de una sucesión es
¿cuáles son el primer y el tercer término?
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\(a_1 = -1\) y \(a_3 = 8\).
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\(a_1 = 2\) y \(a_3 = 8\).
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\(a_1 = 2\) y \(a_3 = -1\).
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Razonamiento:
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Sustituimos \(n = 1\) y \(n = 3\) para calcular el primer y el tercer término:
Pregunta 7
Si el término general de una sucesión es
¿cuáles son el primer y el tercer término?
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\(a_1 = -2\) y \(a_3 = -8\).
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\(a_1 = 2\) y \(a_3 = 8\).
.
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\(a_1 = -2\) y \(a_3 = 8\).
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Razonamiento:
Mostrar
Sustituimos \(n = 1\) y \(n = 3\) para calcular el primer y el tercer término:
Pregunta 8
¿Cuál es el término general de la sucesión -2, -5, -8,...?
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\(a_n = 3n-1\).
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\(a_n = (-2)^n\) .
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\(a_n = 1-3n\).
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Razonamiento:
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Es fácil ver que se trata de una sucesión aritmética con diferencia \(d = -3\). Como el primer término es \(a_1 = -2\), el término general es
Pregunta 9
Una sucesión es estrictamente creciente cuando...
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\( a_n > a_{n+1}\).
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\(a_n < a_{n+1}\).
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\( a_n \leq a_{n+1}\).
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Razonamiento:
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Que sea estrictamente significa que el signo debe ser > ó <, así que la tercera opción queda descartada.
Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor que el término que le precede, lo que matemáticamente se escribe como
$$ a_n < a_{n+1} $$
O bien, como
$$ a_{n+1} > a_n $$
Pregunta 10
¿Cuándo se dice que una sucesión es alternada?
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Cuando no es aritmética ni geométrica.
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Cuando todos los términos tienen el mismo signo.
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Cuando el signo de cada término es distinto al signo del término que le precede.
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Razonamiento:
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La tercera opción es la correcta por ser la propia definición de sucesión alternada.
La primera opción no es cierta ya que una sucesión puede ser no aritmética y no geométrica sin ser alternada. Un ejemplo de ello es la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
También, si la razón de una sucesión geométrica es negativa, la sucesión es alternada.
Pregunta 11
¿Cuándo se dice que una sucesión es constante?
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Cuando no es aritmética ni geométrica.
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Cuando no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente.
.
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Cuando el signo de cada término es distinto al signo del término que le precede.
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Razonamiento:
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Una sucesión es constante cuando todos sus términos son iguales.
La primera opción no es la correcta porque una sucesión constante puede considerarse como aritmética con diferencia \(d = 0\) o como geométrica con razón \(r = 1\).
La tercera opción tampoco es la correcta porque es la definición de sucesión alternada.
Pregunta 12
Si una sucesión es aritmética y constante, entonces...
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su diferencia es \(d = 0\).
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su diferencia es \(d = 1\).
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su diferencia es negativa (\(d < 0\)).
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Razonamiento:
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Cada término puede escribirse como el anterior más \(d = 0\):
Pregunta 13
Si una sucesión es geométrica y constante, entonces...
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su razón es \(r = 0\).
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su razón es \(r = 1\).
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su razón es negativa (\(r < 0\)).
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Razonamiento:
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Cada término puede escribirse como el anterior por \(r = 1\):
Pregunta 14
La sucesión cuyo término general es
es una sucesión...
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creciente.
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decreciente.
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alternada.
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Razonamiento:
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Es una sucesión alternada porque el factor \((-1)^n\) es positivo cuando \(n\) es par y negativo cuando \(n\) es impar.
Pregunta 15
Si una progresión es aritmética y estrictamente creciente (\(a_{n+1}> a_n\)), su diferencia...
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siempre es positiva (\(d >0\)).
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siempre es negativa (\(d < 0\)).
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puede ser positiva o negativa.
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Razonamiento:
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Sea \(d\) la diferencia de la sucesión. Entonces, si el primer término es \(a_1\), el segundo es
Como la sucesión es estrictamente creciente,
Por tanto,
La diferencia es siempre positiva.
Pregunta 16
El término general de la sucesión creciente \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 9\),... es...
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\( a_n = 3^n\)
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\( a_n = 3^{n-1}\)
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\(a_n = 3^{n+1}\)
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Razonamiento:
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Como es una sucesión geométrica con primer término \(a_1 =1\) y con razón \(r = 3\), su término general es
Pregunta 17
El término general de la sucesión decreciente \(a_1 = 1\), \(a_2 = 1/3\), \(a_3 = 1/9\),... es...
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\( a_n = \left(\frac{1}{3} \right)^n\)
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\( a_n = \left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} \)
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\(a_n = 3^{1-n}\)
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Razonamiento:
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Como es una sucesión geométrica con primer término \(a_1 =1\) y con razón \(r = 1/3\), su término general es
Si operamos un poco, obtenemos la fórmula de la tercera opción:
Pregunta 18
Si una progresión de números positivos es geométrica y estrictamente creciente (\(a_{n+1}> a_n\)), su razón...
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siempre es positiva (\(r > 0\)).
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siempre es negativa (\(r < 0\)).
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siempre es mayor que la unidad (\(r > 1\)).
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Razonamiento:
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Sea \(r\) la razón de la sucesión. Entonces, si el primer término es \(a_1\), el segundo es
Como la sucesión es estrictamente creciente,
Por tanto,
La razón es mayor que la unidad.
Nota: el paso (*) no es cierto si \(a_1\) es positivo.
Pregunta 19
En una sucesión geométrica con razón \(-1< r < 0\), ¿cuándo se puede calcular la suma de todos los términos que la conforman?
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Siempre.
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Nunca.
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Cuando es finita.
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Razonamiento:
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Independientemente del número de términos, si la razón es \(-1< r < 1\), la suma siempre puede calcularse mediante la fórmula
Pregunta 20
Si consideramos 2 como el primer número par, ¿cuánto suman los 20 primeros números pares?
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Suman 320.
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Suman 246.
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Suman 420.
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Razonamiento:
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La sucesión de los números pares es aritmética con diferencia \(d = 2\). Como el primero de ellos es 2, el término general es
Así que el término \(a_{20}\) es 40.
La suma de los \(n\) primeros términos es
Por tanto, la suma de los 20 primeros pares es
Pregunta 21
La suma de los 5 primeros términos de la sucesión geométrica con razón \(r = 2\) y primer término \(a_1 = 5\) es...
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\( S_5 = 155\)
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\( S_5 = 515\)
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\( S_5 = 551\)
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Razonamiento:
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La fórmula para calcular la suma de los \(n\) primeros términos es
Por tanto,
Pregunta 22
La suma de los 5 primeros términos de la sucesión geométrica con razón \(r = 1\) y primer término \(a_1 = 1\) es...
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\( S_5 = 1\)
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\( S_5 = 5\)
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\( S_5 = 15\)
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Razonamiento:
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Como la razón es \(r = 1\), la sucesión es constante:
Por tanto, la suma de los 5 primeros términos es
Pregunta 23
La suma de todos los términos de la sucesión geométrica con razón \( r = 0.5\) y primer término \(a_1 = 100\) es...
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\( S_\infty = 2.401\)
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\( S_\infty = 200\)
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\( S_\infty = \infty \)
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Razonamiento:
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Como la razón es \(|r|< 1\), pueden sumarse todos los términos de la sucesión:
Pregunta 24
El término general de una sucesión es
Esta sucesión...
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es aritmética.
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es geométrica.
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no es aritmética ni geométrica.
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Razonamiento:
Mostrar
Los primeros términos de la sucesión son
No es una sucesión geométrica ni aritmética.
Pregunta 25
El término general de una sucesión es
Esta sucesión...
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es aritmética.
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es geométrica.
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no es aritmética ni geométrica.
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Razonamiento:
Mostrar
Los primeros términos de la sucesión son
Se trata de una sucesión geométrica con razón \(r = 1/2\).
Enlace: Introducción a las progresiones, con ejemplos y problemas (PyE)
