Ecuaciones de segundo grado con raíces complejas

Contenido de esta página:

  • Introducción y método de resolución

  • 6 ecuaciones resueltas


Introducción

Recordemos que dada la ecuación de segundo grado (o cuadrática)

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

Sus soluciones vienen dadas por la fórmula

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$

Llamamos discriminante al radicando de la fórmula anterior:

$$ \Delta = \sqrt{b^2 -4ac} $$

Es fácil ver que

  • Si

    $$ \Delta > 0$$

    Entonces, las dos raíces son reales (el radicando de la fórmula es positivo).

  • Si

    $$ \Delta = 0$$

    Entonces, la raíz de la fórmula vale 0 y, por tanto, sólo existe una solución que es real y de multiplicidad 2 (es una raíz doble).

  • Si

    $$ \Delta < 0$$

    Entonces, las dos raíces son complejas y, además, una es el conjugado de la otra. Esto es, si una solución es x1 = a + bi, entonces, la otra solución es x2 = a - bi. (Estamos suponiendo que a, b, c son reales).

En esta sección vamos a resolver ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones son complejas (números imaginarios). Para las ecuaciones con raíces reales tenemos las secciones ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

Una vez obtengamos las soluciones, escribiremos una factorización de la ecuación. Es decir, la escribiremos como producto de dos polinomios de grado 1.

Para esto último, recordemos que si las soluciones de la ecuación

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

son

$$ x_1,\ x_2 $$

Entonces,

$$ ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2) $$

Por lo que podemos escribir la ecuación como

$$ a(x-x_1)(x-x_2) = 0 $$

Siempre es posible escribir la ecuación en esta forma.

Finalmente, recordemos que la unidad imaginaria es

número complejo

De esto modo, si tenemos la raíz cuadrada de un número negativo, -a, (a es el número en positivo), entonces

número complejo

Recordemos también las potencias de i:

número complejo

En general, las potencias son

número complejo

para cualquier entero k.

Enlace: más información sobre los números complejos.


Ecuaciones resueltas


Ecuación 1

ecuación de segundo grado con raíces complejas

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Ecuación 2

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Ecuación 3

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Ecuación 4

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Ecuación 5

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Ecuación 6

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