Producto y cociente de números complejos

Contenido de esta página:

1. Conceptos básicos
2. Suma y resta de complejos
3. Producto de complejos
4. Inverso y cociente de complejos
5. Calculadora online para sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos
6. 10 Problemas resueltos de productos, cocientes y potencias de complejos

Nota: en esta página vamos a trabajar con complejos en su forma binómica.

Enlace: índice de calculadoras.

La unidad imaginaria \(i\) representa a la raíz \(\sqrt{-1}\) y, por tanto, sus primeras potencias son

Un número complejo \(z\) se define (en su forma binómica) como \(z=a+bi\) ó \(z = a+b·i\), siendo \(a\) y \(b\) números reales.

La parte real de \(z\) es \(a\) y la parte imaginaria es \(b\).

La suma y la resta de dos complejos se definen como

Es decir, la suma (resta) se calcula sumando (restando) las partes reales y las partes imaginarias.

El producto de un real \(\alpha\) por un complejo \(z = a+bi\) es el complejo

Nota técnica: en realidad, si tenemos en cuenta que los reales son complejos con parte imaginaria igual a 0, este producto es una consecuencia de la definición del producto de dos complejos.

Sean los complejos \(z_1 = a+bi\) y \(z_2 = c+di\). Entonces, su producto es

El producto es conmutativo y asociativo.

¿Por qué se calcula así el producto?

Inverso:

El inverso de un complejo \(z_1 = a+bi \neq 0\) se define como

Que es lo mismo que

Es decir, el inverso de un complejo es su conjugado dividido entre el cuadrado de su módulo.

El inverso se define de este modo para que el producto \(z·z^{-1}\) sea 1 (Problema 2).

Cociente:

El cociente de dos complejos \(z_1 = a+bi\) y \(z_2 = c+di\neq 0\) es

¿Por qué se calcula así el cociente?

Las entradas que admiten las calculadoras son:

• Números enteros, como 2.
• Números decimales (exactos) utilizando un punto ".", como 2.345.
• Fracciones escritas con la barra "/", como 23/15.
• No se admiten signos de operaciones, raíces, parámetros, constantes, variables o espacios.

Calculadora:

\(z_1 = \)\(+\)\(·i\)

\(z_2 = \)\(+\)\(·i\)

Sumar Restar Multiplicar Dividir

Problema 1

Calcular el siguiente producto de complejos sin aplicar la fórmula:

Problema 2

Comprobar que el producto de un complejo \(z\neq 0\) por su inverso \(z^{-1}\) es la unidad:

Problema 3

Calcular el siguiente cociente de complejos sin aplicar la fórmula:

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Problema 4

Calcular el cubo \(z^3\) del complejo

Problema 5

Calcular el siguiente cociente de complejos:

Problema 6

Calcular el siguiente producto de complejos:

Problema 7

Calcular la potencia \(n-\)ésima de la unidad imaginaria, es decir, \(i^n\).

Problema 8

Obtener una fórmula para calcular el cubo de un complejo en forma binómica, es decir, para calcular \((a+bi)^3\).

Problema 9

Calcular el producto de un complejo por su conjugado, es decir,

Problema 10

Comprobar que el producto y el cociente de complejos no afecta al producto y al cociente de reales. Es decir, comprobar que el resultado del producto y del cociente de los números reales no cambia si se consideran como números complejos (con parte imaginaria nula).

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