Producto de Números Complejos

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Definición del Producto y Cociente de números complejos

  • Ejemplos


Introducción

Sabemos que las ecuaciones de segundo grado tienen a lo sumo dos raíces. El número de raíces depende del signo del discriminante. En un principio, si el discriminante es negativo no hay soluciones porque no tiene existen las raíces de número negativos. Pero dos ecuaciones con coeficientes distintos y ninguna raíz son dos ecuaciones distintas, así que había que encontrar una forma de resolverlas... Es así cuando surgen los números complejos, también llamados de una forma más acertada, números imaginarios.

El conjunto de los números imaginarios es un anillo para la suma y el producto que definimos más adelante. Queda de este modo solucionado el problema de las raíces negativas y nos permite ir más allá: el Teorema Fundamental del Álgebra nos asegura que cualquier ecuación de grado n mayor que 0, ya sea con coeficientes reales o complejos, existen exactamente n raíces (complejas o reales). Y este teorema nos proporciona, como consecuencia, otros muchos resultados (descomposición de polinomios, resubilidad...).

Puesto que el producto (y cociente) de números imaginarios es más complejo que el de los reales, dedicamos esta sección a su estudio y calculamos el producto y la división y potencia de complejos. Antes de empezar, recordamos la definición del producto y del cociente.

Enlaces relacionados: raíces n-ésimas, demostraciones de complejos.


Definición del producto y cociente de los complejos

La unidad imaginaria es

Un número complejo, z, consta de dos partes:

donde a es la parte real y b la parte imaginaria.

El conjunto de los números complejos contiene al de los reales:

Notemos que el cuadrado de i es un real negativo:

La suma de complejos es

El producto es

El cociente es

El inverso es

$$(a +bi)^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i$$

Cociente como producto por el inverso:

$$\frac{z}{w}= z\cdot w^{-1}$$

Ejemplos de Productos y Cocientes



Ejercicios resueltos (click para ver solución)
1

producto de complejos

2

división de complejos

3

división y potencia de complejos

4

división y potencia de complejos

5

potencia del numero imaginario

6

producto de complejos

7

producto de complejos


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