Contenido de esta página:

• Obtención de ecuaciones a partir de sus soluciones complejas

• Obtención de ecuaciones a partir de la suma y producto de sus soluciones

• Demostración de propiedades teóricas sobre las soluciones

• Ecuaciones con coeficientes reales y complejos

Enlaces relacionados:

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• Ecuaciones de segundo grado incompletas

• Ecuaciones de segundo grado con raíces complejas

Introducción

En esta página demostraremos algunas propiedades teóricas de las ecuaciones de segundo grado y las aplicaremos para resolver problemas. Las propiedades son las siguientes:

• Suma de las raíces:

  Si x₁ y x₂ son las soluciones de la ecuación de segundo grado

  $$ ax^2 + bx + c = 0 $$

  Entonces, su suma, S, es

  $$ S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $$

  Demostración: problema 5.

• Producto de las raíces:

  Si x₁ y x₂ son las soluciones de la ecuación de segundo grado

  $$ ax^2 + bx + c = 0 $$

  Entonces, su producto, P, es

  $$ P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$

  Demostración: problema 5.

• Factorización de la ecuación

  $$ ax^2 + bx + c = 0 $$

  Si x₁ y x₂ son las soluciones de la ecuación anterior, entonces, podemos escribir la ecuación en forma factorizada como

  $$ a(x-x_1)(x-x_2) = 0 $$

  Notemos que las soluciones no dependen del factor a, pero lo escribimos ya que así se tiene que

  $$ a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2 + bx + c $$

  Por tanto, conociendo las soluciones podemos calcular la ecuación.

• Otra forma de obtener la ecuación a partir de las soluciones es la siguiente:

  Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son los números x₁ y x₂ es

  $$ x^2 - Sx + P = 0 $$

  siendo S la suma de las raíces y P el producto, es decir,

  $$ S = x_1 + x_2 $$

  $$ P = x_1 \cdot x_2 $$

  Demostración: problema 4.

• Si los coeficientes de una ecuación de segundo grado son reales, es decir, si a, b y c son reales, entonces:

  • Sus dos raíces son reales

  • o bien, sus dos raíces son complejas. En este caso, además, si una de las raíces es el complejo

    $$ x_1 = a+bi $$

    Entonces, la otra solución es necesariamente

    $$ x_2 = a-bi = \overline{x_1} $$

    Es decir, es el conjugado de la otra raíz.

    Demostración: problema 7.

Problemas Resueltos

Problema 1

Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son los complejos

$$ 2 \pm 3i $$

¿Sus coeficientes son reales o complejos?

Problema 2

Una ecuación de segundo grado con coeficientes reales puede tener alguna solución compleja, por ejemplo,

$$ x^2 +x + 1 = 0 $$

tiene los coeficientes reales y sus dos soluciones son complejas.

Encontrar, si es posible, una ecuación de segundo grado con coeficientes complejos pero con raíces reales.

Problema 3

Escribir una ecuación de segundo grado cuyos coeficientes sean reales y una de sus soluciones sea 1 + 3i.

¿Cuál es la otra solución? Razonar la respuesta.

Problema 4

Encontrar las raíces de la ecuación

Problema 5

Demostrar que si x₁ y x₂ son las soluciones de la ecuación de segundo grado

Entonces,

Problema 6

Encontrar la ecuación de segundo grado cuyas soluciones suman 5 y cuyo producto es -24.

Problema 7

Demostrar que si

es una solución de una ecuación de segundo grado con coeficientes reales, entonces, su conjugado,

es la otra solución de la ecuación.

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