Calculadoras de mcm y MCD
Contenido de esta página:
- Cálculo del mcm y del MCD de 2 y de 3 números, con ejemplos
- Calculadoras online del mcm y del MCD de 2 y de 3 números
- Ejemplos de aplicación del mcm y del MCD
Páginas relacionadas:
Cálculo del mcm y del MCD
Definiciones
Recordemos los conceptos de mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (MCD) de dos números naturales \(a\) y \(b\) y cómo calcularlos:
El mínimo común múltiplo de \(a\) y \(b\) es el menor de los múltiplos comunes de \(a\) y de \(b\).
Lo denotamos por \(mcm(a,b)\).
El máximo común divisor de \(a\) y \(b\) es el mayor de los divisores comunes de \(a\) y de \(b\).
Lo denotamos por \(MCD(a,b)\).
Ejemplo
El mcm y MCD de 60 y 72 son 360 y 12, respectivamente:
-
Los primeros múltiplos de 60 son 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420...
Los primeros múltiplos de 72 son 72, 144, 216, 288, 360, 432...
El múltiplo más pequeño y común es 360.
-
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Los divisores de 72 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.
El divisor más grande y común es 12.
Ahora bien, tener que calcular los primeros primos (o todos los divisores) y buscar los que sean comunes es una ardua tarea que podemos agilizar usando la descomposición de los números, como explicamos a continuación.
Método para calcular el mcm y el MCD
Si escribimos los números \(a\) y \(b\) como un producto de potencias de números primos (descomposición), entonces:
El mínimo común múltiplo de \(a\) y \(b\) es el producto de las potencias con base común y no común al mayor exponente.
El máximo común divisor de \(a\) y \(b\) es el producto de las potencias con base común al menor exponente.
Ejemplo
Calculamos ahora el mcm y MCD de 60 y 72 a partir de sus descomposiciones:
La descomposición del número 60 es
$$ 60 = 2^2·3·5 $$
La descomposición del número 72 es
$$ 72 = 2^3·3^2 $$
Calculamos el mcm:
Las bases comunes y no comunes son 2, 3 y 5. Los exponentes mayores son 3 para la base 2, 2 para la base 3 y 1 para la base 5.
El mcm de 60 y 72 es
$$ 2^3·3^2·5^1 = 360 $$
Calculamos el MCD:
Las bases comunes son 2 y 3. Los exponentes menores para estas bases son 2 para la base 2 y 1 para la base 3.
El MCD de 60 y 72 es
$$ 2^2·3^1 = 12$$
MCD y mcm de 3 números
El procedimiento es el mismo, pero tendremos 3 descomposiciones en lugar de 2.
Ejemplo
Calculamos el mcm y el MCD de 4, 6 y 10 a partir de su descomposición:
La descomposición de 4 es \(4 = 2^2\)
La descomposición de 6 es \(6 = 2\cdot 3\)
La descomposición de 10 es \(10 = 2\cdot 5\)
Por tanto,
- El mcm de 4, 6 y 10 es \(2^2\cdot 3\cdot 5 = 60\) (comunes y no comunes al mayor exponente).
- El MCD de 4, 6 y 10 es \(2^1 = 2\) (comunes al menor exponente).
Otra posibilidad es usar la siguiente propiedad (así lo hace nuestra calculadora):
El mínimo común múltiplo de 3 números \(a\), \(b\) y \(c\) es
$$ mcm(a,b,c) = mcm(c,mcm(a,b))$$
El máximo común divisor de 3 números \(a\), \(b\) y \(c\) es
$$ MCD(a,b,c) = MCD(c,MCD(a,b))$$
Cálculo del MCD a partir del mcm y viceversa
Esta fórmulas pueden resultarnos útiles:
$$ MCD(a,b) = \frac{a\cdot b}{mcm(a,b)} $$
$$ mcm(a,b) = \frac{a\cdot b}{MCD(a,b)} $$
Calculadoras del MCD y mcm de 2 y 3 números
Calculadora del MCD y del mcm de 2 números \(a\) y \(b\):
Número \(a = \)
Número \(b = \)
Calculadora del MCD y del mcm de 3 números \(a\), \(b\) y \(c\):
Número \(a = \)
Número \(b = \)
Número \(c = \)
Ejemplos de aplicación
La dificultad de los problemas de aplicación del mcm y MCD es dilucidar cuál de los dos (mcm ó MCD) debemos calcular.
Problema 1 
María quiere preparar para su cumpleaños bolsitas de caramelos de fresa y de vainilla. Dispone de una caja con 60 caramelos de fresa y otra caja con 90 caramelos de vainilla.
- ¿Cuál es el número máximo de bolsitas que puede preparar si todas deben ser iguales?
- ¿Cuántos caramelos de cada sabor tiene que poner María en cada bolsita?
El número de bolsitas debe ser el máximo común divisor de 60 y 90. Es decir, aplicando la calculadora, 30 bolsitas.
El número de caramelos de fresa en cada bolsita es el total de caramelos de fresa dividido entre el número de bolsitas: \( 60/30 = 2\).
Análogamente, el de caramelos de vainilla es \(90/30 = 3\).
Cada bolsita debe tener 2 caramelos de fresa y 3 de vainilla.
¿Por qué debemos calcular el MCM?
En primer lugar, en el propio enunciado del problema aparece la palabra "máximo" (número de bolsitas), lo cual ya nos da una pista.
No obstante, supongamos que \(x\) es el número de bolsitas que María preparará.
Como tiene 60 caramelos de fresa, la división \(60/x\) nos da el número de caramelos de fresa que tiene que tener cada bolsa. Como no podemos partir los caramelos, el resultado tiene que ser exacto (un número natural, sin decimales). De ahí que \(x\) tiene que ser un divisor de 60.
Razonando del mismo modo para los caramelos de vainilla, \(x\) también tiene que ser divisor de 90.
Por tanto, \(x\) es un divisor de 60 y de 90 (es un divisor común) y, además, como queremos que sea lo más grande posible, es el máximo común divisor de 60 y 90.
Problema 2
María tiene pensado, también, comprar globos para su fiesta. Los globos de color verde se venden en paquetes de 6 unidades, mientras que los de color rojo van en paquetes de 16 unidades.
Si María quiere tener el mismo número de globos rojos que de globos verdes, pero comprando el mínimo número de paquetes, ¿cuántos paquetes debe comprar en total?
El número de globos verdes que tendrá es un múltiplo de 6.
El número de globos rojos que tendrá es un múltiplo de 16.
María quiere tener el mismo número de globos de cada color, pero que sea mínimo (para comprar el mínimo número de paquetes).
El menor múltiplo común de 6 y 16 es, aplicando la calculadora, 48.
Para tener 48 globos verdes, debe comprar \(48/6 = 8\) paquetes. Y, para tener 48 globos rojos, debe comprar \(48/16 = 3\).
El mínimo número de paquetes que tiene que comprar es 11.
¿Por qué debemos calcular el mcm?
Al igual que en problema anterior, en el propio enunciado aparece la palabra "mínimo".
Los globos verdes van en cajas de 6. Así que, según el número de cajas que compre, María tendrá 6, 12, 18, 24... (múltiplos de 6) globos verdes.
Como los globos rojos van en cajas de 16, según el número de cajas que compre, María tendrá 16. 32, 48, 64... (múltiplos de 16) globos rojos.
Como el número de globos de cada calor debe coincidir, María quiere un número de globos que sea un múltiplo común de 6 y de 16. Además, quiere que sea el mínimo posible. Luego hay que calcular el mcm.
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