Problemas de mínimo común múltiplo y Máximo Común Divisor

Contenido de esta página:

• Introducción y recordatorio del m.c.m. y del M.C.D.
• 20 problemas resueltos de aplicación del m.c.m y M.C.D.

En esta página resolvemos 20 problemas mediante el cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m.) o el máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números. La dificultad de estos problemas consiste en la elección del m.c.m. o del M.C.D.

Luego el esquema de resolución es:

• Escoger entre m.c.m. y M.C.D.
• Descomponer los números del problema como producto de potencias de números primos.
• Calcular el m.c.m. o el M.C.D.

Cálculo del mcm y MCD:

Relación entre mcm y MCD de dos números:

Para más información, visiten las siguientes páginas:

• Descomposición de números
• Cálculo del mínimo común múltiplo
• Cálculo del máximo común divisor

Problema 1

Alan y Pedro comen en la misma taquería, pero Alan asiste cada 20 días y Pedro cada 38. ¿Cuándo volverán a encontrarse?

Suponemos que el día 0 es el primer día en que coinciden, entonces:

• Alan asiste el día 20, el día 40, el día 60... Estos días son los múltiplos de 20.
• Y Pedro asiste el día 38, el día 76, el día 114... que son los múltiplos de 38.

Ambos coinciden cuando asisten el mismo día, es decir, cuando asisten un día que es múltiplo de 20 y de 38. Además, el primer día que coinciden es el mínimo de los múltiplos comunes.

Por tanto, debemos calcular el mínimo común múltiplo.

Descomponemos los números para escribirlos como producto de potencias de números primos:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, volverán a encontrarse dentro de 380 días. Es decir, dentro de más de 1 año.  

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Problema 2

David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible,

• ¿cuántos dulces repartirán a cada persona?
• ¿a cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos?

El número de dulces que tienen que dar a cada persona debe dividir a las cantidades de dulces porque deben dar dulces enteros y no a trozos. Es decir, debe ser un divisor común de 24 y de 18.

Además, como la cantidad debe ser máxima, debe ser el mayor divisor común.

Descomponemos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Por tanto, cada familiar recibirá 6 dulces.

Como David tiene 24 dulces y dará 6 a cada familiar, los repartirá entre 4 personas (24/6 = 4). Y como Fernando tiene 18 dulces, repartirá entre 3 personas (18/6 = 3).

Problema 3

Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible.

• ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?
• ¿Cuánto debe medir cada trozo?

Para poder cortar ambas cuerdas en trozos iguales, la longitud de los trozos debe dividir la longitud de ambas cuerdas. Es decir, debe ser un divisor de 120 y de 96.

Además, esta longitud debe ser la máxima. Por tanto, debemos calcular el M.C.D. de las longitudes.

Descomponemos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Por tanto, todos los trozos de cuerda deben medir 24 metros. De la cuerda de 120 metros obtendrá 120/24 = 5 trozos y de la cuerda de 96 metros obtendrá 96/24 = 4 trozos.

Problema 4

En un vecindario, un camión de helados pasa cada 8 días y un food truck (camión restaurante) pasa cada dos semanas. Se sabe que 15 días atrás ambos vehículos pasaron en el mismo día.

Raúl cree que dentro de un mes los vehículos volverán a encontrarse y Oscar cree esto ocurrirá dentro de dos semanas. ¿Quién está en lo cierto?

Primero calculamos cada cuánto coinciden los vehículos sin tener en cuenta la última vez que coincidieron. Para ello, debemos calcular el m.c.m. de 8 y 14.

Factorizamos los números:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, los vehículos coinciden cada 56 días. Pero como el primer día que coincidieron fue hace 15 días, el próximo encuentro será dentro de 56-15 = 41 días.

Luego ni Raúl ni Oscar tienen razón.

Problema 5

En una banda compuesta por un baterista, un guitarrista, un bajista y un saxofonista, el baterista toca en lapsos de 8 tiempos, el guitarrista en 12 tiempos, el bajista en 6 tiempos y el saxofonista en 16 tiempos. Si todos empiezan al mismo tiempo, ¿en cuántos tiempos sus periodos volverán a iniciar al mismo tiempo?

Debemos calcular el m.c.m. de 8, 12, 6 y 16. Aunque tenemos cuatro números en vez de dos, los pasos a seguir son los mismos.

Primero descomponemos los números, pero como son números pequeños, escribiremos directamente la factorización en producto de potencias de primos:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, los tiempos volverán a iniciar cada 48 tiempos.

Problema 6

Simón tiene una pista de carreras con dos autos. El primer auto le da una vuelta completa a la pista en 31 segundos y el segundo lo hace en 17 segundos.

Carlos también tiene su pista de carreras con dos autos, pero el primero da una vuelta completa en 36 segundos y el segundo en 42 segundos.

Como Carlos siempre pierde cuando juegan, propone a Simón que el ganador sea quien tenga en su pista sus dos autos situados en la meta al mismo tiempo. ¿Quién ganará?

Primero calculamos, en cada pista, cuándo coinciden los dos autos. Para ello, calculamos el m.c.m. de los tiempos. Después, comparamos los tiempos para saber cuál es menor.

Calculamos el m.c.m. de los tiempos de los autos de Simón:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, en la pista de Simón los autos coincidirán en la meta cada 527 segundos.

Ahora repetimos el proceso para los autos de Carlos:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, los autos de Carlos coincidirán en la meta cada 252 segundos.

Luego Carlos ganará porque sus autos coincidirán en la meta antes que los de Simón.

Nota: los tiempos de Simón son mejores que los de Carlos, pero como son números primos, no tienen factores comunes y su m.c.m. es un número mayor.

Problema 7

Máximo quiere pintar una casa pequeña. Según sus cálculos, necesitará:

• 12 litros de pintura roja,
• 24 litros de pintura verde y
• 16 litros de pintura blanca.

Pero Máximo quiere comprar botes de pintura que tengan la misma cantidad de litros y que el número de botes sea el menor posible.

• ¿De cuántos litros debe ser cada bote de pintura?
• ¿Cuántos botes de cada color debe comprar?

Las sumas de los litros de los botes de color rojo, verde y blanca deben ser 12, 24 y 16, respectivamente. Como todos los botes deben tener la misma capacidad, dicha capacidad debe dividir a 12, 24 y 16. Además, como quiere tener la mínima cantidad de botes, cada bote debe tener capacidad máxima. Por tanto, tenemos que calcular el M.C.D. de 12, 24 y 16.

Factorizamos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Por tanto, cada bote debe tener una capacidad de 4 litros.

Para calcular cuántos botes de cada color necesita Máximo, sólo tenemos que dividir entre 4:

Botes de pintura roja:

Botes de pintura verde:

Botes de pintura blanca:

Problema 8

Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros:

• Opción 1: tarda 6 días en ir y regresar a su punto de inicio,
• Opción 2: tarda 8 días en ir y regresar a su punto de inicio y
• Opción 3: tarda 10 días en ir y regresar a su punto de inicio.

Si los tres cruceros partieron al mismo tiempo hace 39 días, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a partir el mismo día todos los cruceros?

Calculamos el m.c.m. para saber cada cuántos días los cruceros coinciden. Aunque tenemos tres números en lugar de dos, el procedimiento es el mismo.

Factorizamos los números:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, sabemos los tres cruceros parten a la vez que cada 120 días. Pero como la última vez que coincidieron fue hace 39 días, la próxima coincidencia será dentro de

Problema 9

Daniel y Matías compraron 40 y 32 caramelos, respectivamente, para una fiesta de cumpleaños. Quieren repartirlos entre todos los invitados de modo que:

• Tanto Daniel como Matías dan el mismo número de caramelos a cada persona.
• Todos los invitados han de tener el mismo número de caramelos y éste ha de ser máximo.
• Cada invitado sólo puede recibir caramelos de Daniel o de Matías, pero no de ambos.

Calcular el número máximo de invitados que deben asistir para que ninguno se quede sin caramelos.

Como Daniel y Matías deben dar el mismo número de caramelos a cada persona, dicho número debe ser divisor de sus respectivas cantidades de caramelos. Además, como la cantidad debe ser máxima, tenemos que calcular el M.C.D.

Factorizamos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Por tanto, el número de caramelos por persona es 8. Para saber a cuántas personas pueden invitar, debemos sumar las cantidades de caramelos y dividirlas entre el M.C.D.:

Observad que Daniel dará 8 caramelos a 5 de los invitados (8·5 = 40) y Matías dará 8 caramelos a otros 4 invitados (8·4 = 32).

Problema 10

Juan, Paul, David y Andrea van a correr a un parque todos los días. Los tiempos de estos atletas son los siguientes:

• Juan: 1 vuelta en 2 minutos.
• Paul: 3 vueltas en 7 minutos y 30 segundos.
• David: 4 vueltas en 9 minutos y 20 segundos.
• Andrea: 2 vueltas en 4 minutos y 20 segundos.

Si todos parten al mismo tiempo y del mismo lugar, contestar:

1. ¿Quién es el más y el menos veloz?
2. Si todos partieran del mismo punto y en el mismo instante, ¿cuánto tardarían en encontrarse de nuevo todos en el punto de partida?

Como los tiempos están en minutos y segundos, lo primero que haremos es escribirlos en segundos (multiplicando los minutos por 60).

Juan tarda 2 minutos en dar una vuelta, es decir, su tiempo es de

Paul tarda 7 minutos y 30 segundos en dar tres vueltas. Este tiempo en segundos es

Luego su tiempo es de

David tarda 9 minutos y 20 segundos en dar 4 vueltas. En segundos,

Luego su tiempo es de

Andrea tarda 4 minutos y 20 segundos en dar 2 vueltas. En segundos,

Luego su tiempo es de

Con lo que tenemos, ya podemos saber que el más veloz es Juan y el menos veloz es Paul. Ordenados de más a menos veloz: Juan (120s), Andrea (130s), David (140s) y Paul (150s).

Cada uno de los atletas se encuentra en la salida cuando ha pasado el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Por tanto, el tiempo en el que los cuatro se encuentran en la salida es un múltiplo común de los tiempos. Como queremos saber la primera vez que esto ocurre, calculamos el mínimo de los múltiplos. Luego debemos calcular el m.c.m.:

Descomponemos los números:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Escribimos los segundos en minutos:

Es probable que dejen de correr antes de que lleguen a encontrarse en la meta porque difícilmente estarán 910 minutos seguidos corriendo (son más de 15 horas).

Problema 11

Un acuario pequeño se quedó en bancarrota, por lo que otros acuarios van a comprar los peces que tienen. En total, se venderán 48 peces payaso, 60 peces globo, 36 tiburones bebés, 24 pulpos y 72 peces león.

Para la venta, se desea que los contenedores sean del mismo tamaño y que alberguen la mayor cantidad de animales posible. Además, en cada contenedor sólo puede haber peces de una única especie.

¿Cuántos peces debe haber por contenedor y cuántos contenedores se necesitan para cada especie?

Como en cada contenedor sólo puede haber una especie, el número de peces que hay en cada contenedor debe dividir al número total de peces de cada especie. Además, debe ser máximo.

Por tanto, debemos calcular el M.C.D. de las cantidades de peces.

Descomponemos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Para saber cuántos contenedores para cada especie se necesitan, dividimos la cantidad de animales de cada especie entre la capacidad de los contenedores:

Problema 12

Una empresa pequeña que vende leche cuenta con tres sucursales: una en el norte, una en el sur y una en el este. Sabemos que la sucursal del norte produce 300 botellas de leche diarios, la del sur produce 240 y la del este produce 360. Se quieren comprar tres camionetas iguales para transportar diariamente las botellas desde cada sucursal al almacén central de Madrid llevando siempre el mismo número de botellas, pero que sea el mayor número de botellas posible para reducir el número de transportes. ¿Cuántas botellas de leche deben caber en las camionetas? ¿Cuántos transportes diarios se requieren para cada sucursal?

Si cada camioneta transporta todas las botellas de su sucursal en un único transporte, se reducen los transportes, pero las camionetas no llevarían la misma cantidad de botellas.

Queremos que el número de botellas que transportan las camionetas sea un divisor del número de botellas que producen las sucursales para que circule al máximo de su capacidad en el mínimo número de transportes.

Debemos calcular el M.C.D.

Descomponemos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Por tanto, las camionetas deben tener una capacidad de 60 botellas de leche.

Para calcular el número de transportes, dividimos el número de botellas de cada sucursal entre 60:

Problema 13

Una tienda compra memorias USB de diferentes colores al por mayor. Para Navidad hizo un pedido extraordinario de 84 memorias rojas, 196 azules y 252 verdes. Para guardar la mercancía de forma organizada, exigió que le enviaran las memorias en cajas iguales, sin mezclar los colores y conteniendo el mayor número posible de memorias.

Si se cumplen las exigencias de la tienda, ¿cuántas memorias habrá en cada caja y cuántas cajas de cada color habrá?

Como las cajas contienen memorias del mismo color, el número de unidades por caja debe dividir a las cantidades totales de memorias de cada color.

Calculamos el M.C.D. de 84, 196 y 252:

Para saber cuántas cajas hay de cada color, dividimos el número de memorias de cada color entre el M.C.D.:

Problema 14

Un estudiante de Astronomía sabe que Venus le da la vuelta al Sol en 225 días y Marte en 687 días. Si sabe que la última vez que Venus, Tierra y Marte se alinearon fue hace 1805645 días, ¿en cuánto tiempo se volverán a alinear los 3 planetas en el mismo punto?

Primero calculamos el m.c.m. para saber cada cuánto tiempo los planetas se encuentran en dicho punto:

Como la última vez que se alinearon fue hace 1 805 645 días, la próxima vez será dentro de

Para saber los años, dividimos entre 365:

Es decir, dentro de más de cinco mil años.

Problema 15

Jaime tiene una compañía que fabrica instrumentos musicales y tiene que suplir un pedido de 320 guitarras para la tienda A, 240 bajos para la tienda B, 400 saxofones para la tienda C y 160 teclados para la tienda D.

Si Jaime decide utilizar camiones cargados con la misma cantidad de instrumentos, pero que sea la máxima posible para optimizar el tiempo, ¿cuántos camiones debe enviar a cada tienda?

Calculamos el M.C.D. del número de instrumentos que requiere cada tienda:

Por tanto, el M.C.D. es

Por tanto, cada camión debe transportar 80 instrumentos.

Para saber cuántos camiones requiere cada tienda, dividimos el número de instrumentos entre 80:

Problema 16

Marcos quiere instalar en su jardín tres diferentes tomas de agua automáticas para regar. La primera toma se abrirá cada 6 horas, la segunda lo hará cada 8 horas y la tercera, cada 14 horas.

Si la primera vez que inicia el contador es al mediodía, ¿cuántas veces al mes empezarán todas las tomas a regar al mismo tiempo?

Debemos calcular el mínimo común múltiplo:

Por tanto, cada 168 horas todas las tomas se inician simultáneamente. Como un mes tiene 30 días, tiene un total de 30·24 = 720 horas y, por tanto, esta situación ocurre 720/168 ≈4 veces al mes.

Nota: el dato de que el contador se inicia a mediodía no es significante.

Problema 17

Una empresa mexicana que fabrica celulares debe enviar un pedido de un millón de celulares a Europa. Esta empresa cuenta con cinco modelos de celulares: A1, A2, A3, A4 y A5. El pedido se especifica en la siguiente tabla:

El pedido se realiza en lotes con la misma cantidad de celulares y separados por modelo. Si se desea que la cantidad de lotes sea la mínima posible, ¿cuántos lotes de cada modelo debe haber?

Debemos calcular el M.C.D.

Como las cantidades son millares, debemos multiplicarlas por 1000. Es decir, por

Al descomponer las cantidades, debemos tener en cuenta las potencias anteriores (sumar 3 al exponente de 2 y sumar 3 al de 5).

Descomponemos los números:

Luego el M.C.D. es

Cada lote constará de 5 mil celulares. Para calcular los lotes totales de cada modelo dividimos los millares entre 5:

Problema 18

Una empresa internacional de dispositivos tecnológicos posee sucursales en España, Argentina y México. Cuando el sistema operativo de una de las sucursales se reinicia, todas sus computadoras dejan de funcionar durante un tiempo y sus tareas deben llevarse a cabo por las otras dos sucursales.

Para evitar males mayores, los ingenieros de la empresa establecen que los sistemas deben reiniciarse cada cierto tiempo según indica la siguiente tabla:

Calcular cuántas veces los tres sistemas se reinician en el mismo día durante un período de 30 años.

Calculamos el m.c.m de los tiempos:

Treinta años son 365·30 = 10 950 días. Por tanto, en este período el reinicio sólo coincide 1 vez.

Así, los ingenieros consiguen que durante 30 años sólo haya un día en el que la empresa no disponga de computadoras y se colapse.

Problema 19

Una aerolínea que parte de Alemania lleva pasajeros a todo el mundo. Su sistema de compra de boletos proporcionó los siguientes resultados:

Se desea el mayor número de personas por avión y que todos los aviones tengan la misma capacidad. Calcular:

1. Cuántos pasajeros habrá por avión.
2. Cuántos aviones volarán a cada país.
3. Cuántos aviones volarán en total.

Debemos obtener el M.C.D. para saber cuántas personas habrá por avión:

Descomponemos los números:

Luego el M.C.D. es

En cada avión deben viajar 150 pasajeros.

Para saber los aviones destinados a cada país, dividimos el número de pasajeros entre 150:

En total, volarán 51 aviones.

Problema 20

Pablo está trazando los planos de un proyecto de mecánica sobre una hoja de dimensiones 56cm x 104cm. Necesita dibujar una cuadrícula de modo que:

1. La cuadrícula está formada por cuadrados iguales (todos los lados iguales).
2. El tamaño de los cuadrados debe ser máximo.
3. La longitud en centímetros de los lados del cuadrado debe ser un número natural, es decir, sin decimales.

Calcular el número total de cuadrados que debe tener la cuadrícula.

Para que la longitud de los lados de los cuadrados sea exacta (sin decimales), debe ser un número divisor de 56 y 104. Como además los cuadrados deben ser lo más grandes posible, tenemos que calcular el M.C.D. de 56 y 104:

Por tanto, los cuadrados deben ser de 8cm de lado.

Si 56cm es la altura de la hoja y 104cm es el ancho, la cuadrícula debe tener 56/8 = 7 cuadrados de altura y 104/8 = 13 cuadrados de ancho.

Luego la cuadrícula debe estar formada por un total de 7·13 = 91 cuadrados.

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Más problemas similares: problemas de mcm y MCD.