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Integración de funciones racionales

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Método de resolución

  • 25 Integrales Resueltas


Introdución

Dedicamos esta página exclusivamente a la integración de funciones racionales. Es decir, a la resolución de integrales cuyos integrandos son cocientes de polinomios.

Algunas de las integrales que se resuelven no son de este tipo hasta aplicarles un camibio de variable.

Además, no incluimos las integrales cuyo resultado es un logaritmo. Esto es, las integrales en las que el numerador del integrando puede escribirse como la derivada del denominador y, por tanto, su resolución es inmediata. Por ejemplo,

$$ \int{\frac{x}{1+x^2}}dx = \frac{1}{2}\cdot ln|1+x^2| + C$$

Existen básicamente tres tipos de integrales de funciones racionales según el tipo del integrando. Cada uno de estos tipos tiene su propio método de resolución. Los explicaremos a continuación.

Finalmente, puesto que pretendemos que este texto también resulte útil para un nivel universitario, advertimos al lector de que la descripción de los métodos es bastante técnica. No obstante, únicamente trabajaremos con los métodos que se estudian en bachillerato.

Método de resolución

Supongamos que tenemos la integral

$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx$$

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son los polinomios del numerador y denominador, respectivamente.

Distinguimos los siguientes casos:

  1. grado( P ) \(\geq\) grado( Q ): efectuamos la división de los polinomios.

  2. grado( P ) < grado( Q ):

    En este caso, aplicaremos el Teorema Fundamental del Álgebra. Subcasos:

    • Caso a: Todas las raíces de Q son reales

    • Caso b: NO todas las raíces de Q son reales

Caso 1: grado de P mayor o igual que el de Q

En este caso, el método consiste en efectuar una división polinómica para poder descomponer la integral.

Antes de efectuar la división de polinomios tenemos que factorizar los polinomios del numerador y denominador (expresarlos como productos de (x - raíz) ) porque si tenemos algún mismo factor en el numerador y denominador podemos quitarlos (simplificar).

Si tenemos la integral

$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx$$

Al efectuar la división tendremos que

$$P(x) = Q(x) \cdot C(x) + R(x)$$

siendo C(x) el polinomio cociente y R(x) el polinomio resto de la división.

Si dividimos la expresión por Q(x) obtenemos

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$$

De este modo, aplicando las propiedades de las integrales, habremos descompuesto la integral en la suma de dos integrales:

$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx =\int{C(x)}dx + \int{\frac{R(x)}{Q(x)}}dx$$

Caso 2: grado de P menor que el de Q

Caso (a): todas las raíces de Q son reales

Podemos factorizar el polinomio \(Q\) y escribirlo como

integración de funciones racionales

donde cada \(a_i\) son las raíces (reales) de \(Q\) y \(k_i\) es el grado de multiplicidad de la raíz \(a_i\), esto es, el número de veces que se repite la raíz.

Nota: estamos suponiendo, por comodidad, que los polinomios son mónicos, es decir, que tienen 1 como coeficiente director.

Si es necesario, para buscar las raíces de los polinomios podemos aplicar la regla de Ruffini.

Según el Teorema Fundamental del Álgebra, podemos expresar el cociente \(P(x)/Q(x)\) como una suma de cocientes a los que denominamos fracciones simples:

integración de funciones racionales

donde los términos \(b_i^j\) son reales y cuyos valores desconocemos. Tendremos que buscarlos dando valores a x.

Caso (b): NO todas las raíces de Q son reales

Factorizamos el denominador, \(Q\), obteniendo una expresión como la siguiente

integración de funciones racionales

donde \(a_i\) son las raíces reales de \(Q\) con multiplicidades \(k_i\) y \(\alpha_j + i\beta_j\) son las raíces complejas con multiplicidades \(q_j\).

Nota: si un complejo \(z=\alpha + i\beta\) es raíz de un polinomio, entonces, su conjugado \(\overline{z}=\alpha_j - i\beta_j\) también lo es y, además, tienen la misma multiplicidad.

Por el Teorema Fundamental del Álgebra, podemos escribir el cociente \(P(x)/Q(x)\) como sigue

integración de funciones racionales

donde \(m_i^j\) y \(n_i^j\) son constantes reales que desconocemos.

Nota: no debe confundirse el suníndice \(m\) (número de raíces complejas del polinomio) con las constantes \(m_i^j\).

El polinomio \(R(x)\) es la suma de fracciones simples asociada a las raíces reales que ya sabemos cómo escribir (caso anterior) y que hemos omitido para simplificar la notación.

Obsérvese que se trata del mismo procedimiento aunque las fracciones simples asociadas a las raíces complejas tienen otra forma.

Debemos calcular las constantes \(m_i^j\) y \(n_i^j\). Para ello, multiplicamos la igualdad anterior por la factorización de \(Q\) y damos valores a \(x\) para obtener un sistema lineal de ecuaciones. Una vez calculadas, podremos expresar la integral como una suma de integrales simples.

25 Integrales Resueltas


Integral 1

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Solución

Integral 2

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Solución

Integral 3

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Solución

Integral 4

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Solución

Integral 5

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Solución


Integral 6

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Solución

Integral 7

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Solución

Integral 8 (dificultad alta)

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Solución

Integral 9

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Solución

Integral 10

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Solución

Integral 11

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Solución

Integral 12

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Solución

Integral 13

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Solución

Integral 14

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Solución

Integral 15

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Solución

Integral 16

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Solución

Integral 17

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Solución

Integral 18

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Solución

Integral 19

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Solución

Integral 20

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Solución

Integral 21

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Solución

Integral 22

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Solución

Integral 23

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Solución

Integral 24

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Solución

Integral 25 (dificultad alta)

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Solución

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