Integración de Funciones Racionales

Contenido de esta página:

  • Método de resolución según el tipo del cociente

  • 25 Integrales Resueltas paso a paso



Antes de empezar con las 25 integrales resueltas paso a paso, vamos a describir el método que usaremos según el tipo del integrando que tengamos.

Método de resolución

Queremos calcular la integral de una fracción de polinomios (fracción con polinomios en el numerador y en el denominador).

Supongamos que tenemos la integral

$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx$$

donde P(x) y Q(x) son los polinomios del numerador y denominador, respectivamente.

Distinguimos los siguientes casos:

  1. grado( P ) grado( Q ): efectuamos la división de los polinomios.

  2. grado( P ) < grado( Q ):

    En este caso, aplicaremos el Teorema Fundamental del Álgebra. Subcasos:

    • Caso a: Todas las raíces de Q son reales

    • Caso b: NO todas las raíces de Q son reales



1. grado de P mayor o igual que el de Q

Antes de efectuar la división de polinomios tenemos que factorizar los polinomios del numerador y denominador (expresarlos como productos de (x - raíz) ) porque si tenemos algún mismo factor en el numerador y denominador podemos quitarlos (simplificar).

Si tenemos la integral

$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx$$

Al efectuar la división tendremos que

$$P(x) = Q(x) \cdot C(x) + R(x)$$

siendo C(x) el polinomio cociente y R(x) el polinomio resto de la división.

Si dividimos la expresión por Q(x) obtenemos

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$$

De este modo, aplicando las propiedades de las integrales, habremos descompuesto la integral en la suma de dos integrales:

$$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}}dx =\int{C(x)}dx + \int{\frac{R(x)}{Q(x)}}dx$$



2. grado de P menor que el de Q

Caso (a): todas las raíces de Q son reales

Podemos factorizar Q y escribirlo como

integración de funciones racionales

donde cada ai son las raíces (reales) de Q y ki es el grado de multiplicidad de la ráiz ai , esto es, el número de veces que se repite la raíz.

Para la descomposición usaremos, habitualmente, Ruffini.

Según el teorema fundamental del álgebra, podemos expresar el cociente P(x)/Q(x) como una suma de cocientes a los que denominamos fracciones simples.

integración de funciones racionales

donde los términos bij son reales y cuyos valores desconocemos. Tendremos que buscarlos dando valores a x.


Caso (b): NO todas las raíces de Q son reales

Factorizamos (usando Ruffini si es necesario) el denominador, Q. Y obtenemos una expresión como la siguiente

integración de funciones racionales

donde ai son las raíces reales de Q con multiplicidades ki y αj + iβj son las complejas con multiplicidades qj. Nótese que si un complejo, α + iβ, es raíz de un polinomio, entonces, su conjugado, α - iβ, también; y, además, tienen la misma multiplicidad.


Por el teorema fundamental del álgebra, podemos escribir el cociente P(x)/Q(x) como

integración de funciones racionales

donde mij y nij son constantes reales que desconocemos y nótese que no existe relación entre mij y qm aunque hayamos utilizado en ambas la letra m.

Y donde R(x) es la suma de fracciones simples asociada a las raíces reales que ya sabemos escribir (caso anterior) y que hemos omitido para facilitar la notación. Podemos observar que el procedimiento es el mismo, pero ahora las fracciones simples asociadas a las raíces complejas tienen otra forma.


Calculamos las constantes mij y nij. Para ello, multiplicamos la igualdad anterior por la factorización de Q y damos varios valores a x para obtener un sistema lineal de ecuaciones que determinará las constantes. Cuando las tengamos, podremos expresar la integral como suma de integrales.



25 Integrales Racionales Resueltas


Integral 1

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Integral 2

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Integral 3

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Integral 4

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Integral 5

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Integral 6

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Integral 7

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Integral 8

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Integral 9

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Integral 10

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Integral 11

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Integral 12

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Integral 13

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Integral 14

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Integral 15

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Integral 16

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Integral 17

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Integral 18

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Integral 19

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Integral 20

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Integral 21

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Integral 22

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Integral 23

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Integral 24

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Integral 25 (dificultad alta)

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