Raíces enésimas de números complejos

Contenido de esta página:

1. Introducción (recordatorio de los conceptos necesarios)
2. Raíces enésimas de complejos: fórmulas
3. Ejemplos

Dado un complejo \(z = a+bi\) (en forma binómica),

• Su módulo es

$$ |z| = \sqrt{a^2+b^2} $$

• Su argumento es el ángulo que forma con el semieje positivo horizontal:

$$ arctan \left( \frac{b}{a} \right) $$

• Su argumento principal es

$$ arctan \left( \frac{b}{a} \right) \in ]-\pi , \pi ] $$

En esta página proporcionamos la fórmula para calcular las \(n\) raíces enésimas de un número complejo \(z\). Calculamos, a modo de ejemplo, las raíces quintas de \(z = i\), las raíces cúbicas de \(z =1+i\) y las raíces cuartas de \(z = 1\).

Páginas relacionadas:

• Producto y cociente de complejos en forma polar
• Calculadora para sumar, restar, multiplicar y dividir complejos en forma binómica
• Propiedades de los números complejos

Sean \(n\) un número natural y \(z\) un complejo, siendo \(|z|\) y \(\theta\) el módulo y el argumento de \(z\), respectivamente. Las raíces \(n\)-ésimas de \(z\) (o raíces de orden \(n\)) son

Observad que hay \(n\) raíces y, si las elevamos a \(n\), tenemos \(z\):

$$ (\sqrt[n]{|z|}·e^{\frac{\theta +2k\pi}{n}i})^n = $$

$$ = |z|·e^{\theta +2k\pi} = z $$

Para pasar a la forma binómica, aplicamos la fórmula de Euler:

Nota: no hemos escrito el módulo para simplificar la identidad.

A continuación, calculamos las raíces quintas, cúbicas y cuartas de un complejo puro, de un complejo y de un complejo real, respectivamente.

Ejemplo 1

Raíces quintas de \(z = i\)

Ejemplo 2

Raíces cúbicas de \(z = 1+i\)

Ejemplo 3

Raíces cuartas de \(z = 1\)

---