Raíces enésimas de números complejos o imaginarios
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Raíces enésimas de números complejos

Contenido de esta página:

  1. Introducción (recordatorio de los conceptos necesarios)
  2. Raíces enésimas de complejos: fórmulas
  3. Ejemplos

1. Introducción

Dado un complejo \(z = a+bi\) (en forma binómica),

  • Su módulo es

    $$ |z| = \sqrt{a^2+b^2} $$

  • Su argumento es el ángulo que forma con el semieje positivo horizontal:

    $$ arctan \left( \frac{b}{a} \right) $$

  • Su argumento principal es

    $$ arctan \left( \frac{b}{a} \right) \in ]-\pi , \pi ] $$

En esta página proporcionamos la fórmula para calcular las \(n\) raíces enésimas de un número complejo \(z\). Calculamos, a modo de ejemplo, las raíces quintas de \(z = i\), las raíces cúbicas de \(z =1+i\) y las raíces cuartas de \(z = 1\).

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2. Raíz \(n\)-ésima de un complejo

Sean \(n\) un número natural y \(z\) un complejo, siendo \(|z|\) y \(\theta\) el módulo y el argumento de \(z\), respectivamente. Las raíces \(n\)-ésimas de \(z\) (o raíces de orden \(n\)) son

Proporcionamos la fórmula para calcular las n raíces enésimas de un número complejo z. Calculamos y representamos, a modo de ejemplo, las raíces quintas de z = i, las raíces cúbicas de z =1+i y las raíces cuartas de z = 1. Las n raíces enésimas son los vértices de un polígono regular de n lados. Números complejos o imaginarios. Bachillerato y Universidad. Matemáticas

Observad que hay \(n\) raíces y, si las elevamos a \(n\), tenemos \(z\):

$$ (\sqrt[n]{|z|}·e^{\frac{\theta +2k\pi}{n}i})^n = $$

$$ = |z|·e^{\theta +2k\pi} = z $$

Para pasar a la forma binómica, aplicamos la fórmula de Euler:

Proporcionamos la fórmula para calcular las n raíces enésimas de un número complejo z. Calculamos y representamos, a modo de ejemplo, las raíces quintas de z = i, las raíces cúbicas de z =1+i y las raíces cuartas de z = 1. Las n raíces enésimas son los vértices de un polígono regular de n lados. Números complejos o imaginarios. Bachillerato y Universidad. Matemáticas

Nota: no hemos escrito el módulo para simplificar la identidad.

Las \(n\) raíces de \(z\) constituyen los vértices de un polígono regular de \(n\) lados centrado en el origen del plano complejo.

3. Ejemplos

A continuación, calculamos las raíces quintas, cúbicas y cuartas de un complejo puro, de un complejo y de un complejo real, respectivamente.

Ejemplo 1

Raíces quintas de \(z = i\)

Proporcionamos la fórmula para calcular las n raíces enésimas de un número complejo z. Calculamos y representamos, a modo de ejemplo, las raíces quintas de z = i, las raíces cúbicas de z =1+i y las raíces cuartas de z = 1. Las n raíces enésimas son los vértices de un polígono regular de n lados. Números complejos o imaginarios. Bachillerato y Universidad. Matemáticas

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Ejemplo 2

Raíces cúbicas de \(z = 1+i\)

Proporcionamos la fórmula para calcular las n raíces enésimas de un número complejo z. Calculamos y representamos, a modo de ejemplo, las raíces quintas de z = i, las raíces cúbicas de z =1+i y las raíces cuartas de z = 1. Las n raíces enésimas son los vértices de un polígono regular de n lados. Números complejos o imaginarios. Bachillerato y Universidad. Matemáticas

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Ejemplo 3

Raíces cuartas de \(z = 1\)

Proporcionamos la fórmula para calcular las n raíces enésimas de un número complejo z. Calculamos y representamos, a modo de ejemplo, las raíces quintas de z = i, las raíces cúbicas de z =1+i y las raíces cuartas de z = 1. Las n raíces enésimas son los vértices de un polígono regular de n lados. Números complejos o imaginarios. Bachillerato y Universidad. Matemáticas

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