Este es el nivel básico del cálculo de primitivas después de las integrales que se obtienen directamente a partir de la tabla
de derivadas.
Las llamamos inmediatas ya que el método que usaremos consiste en, teniendo en cuenta las derivadas elementales (las de la tabla), conseguir en el integrando una
función multiplicada por su derivada. De este modo, por la regla de la cadena,
la primitiva es dicha función.
Por tanto, necesitamos conocer las derivadas elementales, las reglas de derivación y la regla de la cadena y las propiedades de las integrales.
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Definición de primitiva:
Las primitivas de una función \( F(x)\) se representan
por
$$ \int{F(x)}dx $$
Son el conjunto de funciones \(f(x)\) cuyas derivadas
son iguales a \(F(x)\). Es decir, \( f(x)\) es una
primitiva de \(F(x)\) si \( f'(x) = F(x)\).
Hablamos en plural ya que, por ejemplo, \( f(x) = x^2 + 1\) y \(g(x) = x^2 +2\) son dos primitivas distintas de \(F(x) = 2x\).
Nótese que la diferencia entre ambas primitivas es sólo una constante. Por ello, cuando calculamos una integral, siempre escribimos la constante de integración \(K\):
El símbolo \(\int{}\) se denomina signo integral y \(dx\) indica que la variable de integración es \(x\).
Ejemplos:
$$ \int{2yx}dx = yx^2+K$$
$$ \int{2yx}dy = y^2x+K$$
En la primera integral, tratamos la \(y\) como una constante, integrando respecto de \(x\). En la segunda, es al contrario.
Propiedades de las integrales:
Integral de una Suma
Es decir, la integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de ambas funciones.
Producto por una constante
Es decir, las constantes (números o parámetros; o factores que no sean función de x) salen fuera de la integral multiplicándola.
Esta propiedad será útil tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda, pues en ocasiones necesitamos en el integrando un número en concreto para aplicar la regla de la cadena, por lo que multiplicaremos y dividiremos la integral por este número y, aplicando la propiedad, podemos
introducir el factor que multiplica (o rl que divide) en el integrando.
Integral 1
Solución
Aplicaremos la propiedad "una constante puede entrar o salir de la integral".
Sólo falta un 6 multiplicando en el integrando para tener la derivada de \(x^6\). Vamos a multiplicar y a dividir la integral por 6 para introducir un 6 en el radicando:
Integral 2
Solución
No tenemos que realizar ninguna operación para resolver esta integral porque \(e^x\) es la derivada de \(e^x\). Sólo debemos acordarnos de escribir la constante de integración \(C\).
Integral 3
Solución
Aplicamos la propiedad de que la integral de la suma es la suma de las integrales. Así, podemos descomponer la integral como una suma de integrales más sencillas.
Integral 4
Solución
Como tenemos una suma en el integrando, podemos descomponer la integral como una suma integrales. Además, escribimos la raíz cuadrada como una potencia:
Integral 5
Solución
Si escribimos un 2 en el integrando, tendremos la derivada del seno del ángulo doble:
Integral 6
Solución
Normalmente, las integrales inmediatas de funciones racionales son la derivada de un logaritmo. Si no es así, tendremos que aplicar otros métodos para integrales de funciones
racionales.
El integrando será la derivada de un logaritmo si conseguimos escribir el numerador como la derivada del denominador. Para ello, en esta integral, debemos cambiar el 2 por un 3:
Nota: no hay que olvidar el valor absoluto del argumento del logaritmo porque éste no puede tomar valores no positivos.
Integral 7
Solución
Introducimos un 2 en el integrando para que éste sea la derivada de \(e^{2x}\):
Integral 8
Solución
Como es una función racional simple, su integral será un logaritmo:
Integral 9
Solución
Introducimos un 5 en el integrando para convertirlo en la derivada de \(e^{5x+3}\):
Integral 10
Solución
Lo primero que haremos es descomponer la integral en dos integrales. Después, escribiremos las raíces en forma de potencias para trabajar mejor
con ellas.
Integral 11
Solución
Vamos a escribir la raíz cuadrada en forma de potencia. De este modo, aplicando las propiedades de las potencias, el integrando
será muy simple (una potencia).
Integral 12
Solución
Primero, escribimos la integral como la suma de dos integrales. Después, escribimos la raíz 5-ésima en su forma de potencia. También, podemos escribir la exponencial en el numerador cambiando el
signo de su exponente.
Integral 13
Solución
Normalmente, escribir la tangente como el cociente del seno y del
coseno facilita los cálculos. Al hacerlo, tendremos un cociente de funciones trigonométricas siendo el numerador la derivada del denominador.
Integral 14
Solución
Como de costumbre, descomponemos la integral en tantas integrales como sumandos tiene
el integrando.
Después, escribiremos la raíz como un potencia y aprovecharemos las propiedades de las
potencias para simplificar los integrandos.
Nota: la integral de 1 / ( x 2 ) es tan habitual que
se suele escribir directamente su primitiva.
Integral 15
Solución
El integrando es, si le cambiamos el signo, la derivada de un coseno:
Integral 16
Solución
El integrando es la derivada del cuadrado del logaritmo entre 2:
Integral 17
Solución
Puede parecer una integral difícil, pero no lo es puesto que el integrando es casi la derivada del coseno a la cuarta:
Integral 18
Solución
El integrando es casi la derivada de la tangente del ángulo medio:
Integral 19
Solución
Esta integral es importante en cuanto a que aparece con frecuencia y, para resolverla, debemos recordar la siguiente igualdad trigonométrica:
De donde
Por tanto,
Integral 20
Solución
Aunque el integrando es un cociente de polinomios, no es la derivada de un logaritmo puesto que el grado del polinomio del denominador es 2 y el del numerador es 1.
Solamente debemos recordar la derivada del arcotangente:
Operamos en el integrando para obtener una expresion similar:
Podemos generalizar este tipo de integrales y obtener la siguiente fórmula:
Integral 21
Solución
Claramente, el integrando es una derivada:
Integral 22
Solución
Como el numerador casi es la derivada del denominador, el resultado de la integral es un logaritmo:
Nota: no es necesario escribir el valor absoluto
en el logaritmo ya que su argumento es siempre positivo.
Integral 23
Solución
El numerador no es la derivada del denominador ya que el grado del polinomio del denominador es
1 y el del denominador es 4.
Vamos a escribir el integrando como la derivada de un arctan:
Integral 24
Solución
Se trata d euna integral muy directa:
Integral 25
Solución
Como de costumbre, escribimos la raíz como una potencia:
Integral 26
Solución
La integral es fácil si escribimos la raíz en el numerador, lo cual es posible si aplicamos las propiedades de las potencias.
Integral 27
$$ \int{\frac{x-1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}}} $$
Solución
La integral parece complicada pero, si operamos un poco en el integrando, deja de serlo:
Nótese que tenemos una suma de raíces en el denominador.
Si multiplicamos y dividimos por la diferencia de raíces,
tendremos un polinomio en el denominador y la resta de raíces quedará en el numerador.
Vamos a multiplicar y dividir por la resta de raíces
$$\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}$$
Entonces,
$$ \frac{x-1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}} =$$
$$ =\frac{(x-1)\cdot (\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}) }{(\sqrt{2x})^2-(\sqrt{x+1})^2} =$$
$$ =\frac{(x-1)\cdot (\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}) }{2x-(x+1)} =$$
$$ =\frac{(x-1) \sqrt{2x}-(x-1)\sqrt{x+1} }{2x-x-1} =$$
$$ =\frac{(x-1) \sqrt{2x}-(x-1)\sqrt{x+1} }{x-1} =$$
$$ =\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1} }{1} =$$
$$ =\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}$$
La integral de la resta anterior es inmediata:
$$ \int{(\sqrt{2x}-\sqrt{x+1})dx}=$$
$$ =\int{\sqrt{2x}dx}-\int{\sqrt{x+1}dx}=$$
$$ =\frac{(2x)^\frac{3}{2}}{3}-\frac{2(x+1)^\frac{3}{2}}{3}+K$$
