Demostraciones de Propiedades de los Números Complejos

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Recordemos que... forma binomial, conjugado, módulo, producto e inverso de complejos

  • 16 Problemas Teóricos Resueltos: de complejos


Introducción

Los números complejos tienen estructura de anillo para la suma y el producto de complejos. Constituyen una herramienta que se emplea en muchos ámbitos como en el cálculo de raíces ecuaciones polinómicas, en la construcción de fractales, en las ecuaciones diferenciales, en el cálculo integral de funciones racionales (fracciones simples)... Existe, incluso, toda una teoría del análisis matemático para estos números: funciones de variable compleja con su diferencial, integral, etc. que permiten demostrar teoremas que hasta entonces no se podían demostrar.

Conjunto de Mandelbrot

demostraciones de complejos

Estas famosas imágenes son la representación de sucesiones de números complejos.

Más Información

Esta sección está dedicada a la demostración de las propiedades básicas de los números complejos: conjugados (de la suma, del producto, del inverso...), módulos, desigualdad triangular, partes real e imaginaria, etc.

Otros temas: producto de complejos.


Recordemos que...

Recordemos que un complejo tiene la forma (forma binomial)

$$a+bi$$

donde a es la parte real, bi la imaginaria e i representa la unidad imaginaria, que es

$$i = \sqrt{-1}$$
  • Su conjugado se define como

    $$ a-bi$$

  • Su módulo, que es el mismo para su conjugado, es

    $$|a+bi|=|a-bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$
  • Su inverso es

    $$(a+bi)^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2 }i$$
  • El producto es

  • Y el cociente es


Problemas Resueltos


Problema 1

Conjugado del conjugado:

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Problema 2

Conjugado de la suma:

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Problema 3

Producto por su conjugado:

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Problema 4

Conjugado del producto:

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Problema 5

Conjugado del cociente:

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Problema 6

Suma del conjugado:

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Problema 7

Resta del conjugado:

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Problema 8

Módulo de un complejo:

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Problema 9

Módulo de un complejo:

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Problema 10

Módulo del conjugado:

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Problema 11

Módulo de la parte real y de la parte imaginaria:

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Problema 12

Módulo del producto:

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Problema 13

Módulo del inverso:

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Problema 14

Módulo del cociente:

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Problema 15

Módulo de la parte imaginaria y de la parte real del producto:

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Problema 16

Desigualdad triangular (versión complejos):

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