Demostraciones de las propiedades básicas de los números complejos o imaginarios
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Propiedades de los números complejos o imaginarios

Esta página se demuestran las propiedades básicas de los números complejos: conjugado y módulo de la suma, del producto y del inverso, la desigualdad triangular y algunas otras propiedades. Todas las propiedades son muy sencillas de demostrar.

Contenido de esta página:

  • Introducción
  • Recordatorio: forma binómica, forma polar, conjugado, módulo, producto, inverso y cociente
  • 16 Problemas teóricos (demostraciones)

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Introducción

Los números imaginarios (o complejos) son también, para mucha gente, números desconocidos a pesar de que son una útil herramienta en diversos ámbitos de las Matemáticas (y por tanto, de la Fisica, Ingeniería, etc). Existe toda una teoría de análisis complejo, es decir, una teoría sobre funciones cuyas variables son números complejos y, como consecuencia, también existe la versión compleja del cálculo diferencial e integral. Curiosamente, gracias a los complejos se consiguieron algunos teoremas hasta entonces imposibles de demostrar.

Las siguientes dos imágenes son fractales construidos precisamente a partir de números complejos:

Conjunto de Julia lleno Propiedades básicas de los números complejos (demostraciones): módulo, conjugado, producto, cociente, parte real, parte imaginaria, etc. Matemáticas para bachillerato y universidad. TIC
Conjunto de Mandelbrot Propiedades básicas de los números complejos (demostraciones): módulo, conjugado, producto, cociente, parte real, parte imaginaria, etc. Matemáticas para bachillerato y universidad. TIC

Recordad que el conjunto de los números complejos, \(\mathbb{C}\), tiene estructura de cuerpo con la suma y el producto de complejos (es decir, tiene la misma estructura algebraica que el conjunto de los números reales).

2. Recordatorio

Sea \(z = a+bi\) un número complejo, su parte real es \(\mathcal{Re}(z) = a\) y su parte imaginaria es \(\mathcal{Im}(z) = b\).

Se definen:

El conjugado de \(z = a+bi\) es

$$ \overline{z} = a-bi $$


El módulo de \(z\) es

$$ |z| = \sqrt{a^2+b^2} $$


El argumento de \(z\) es

$$ arg(z) = atan\left( \frac{b}{a}\right) $$

El argumento principal de \(z\) es su argumento en el intervalo \(\left( -\pi , \pi\right]\). Se denota por \(Arg(z)\).


El producto de los complejos \(z = a+bi\) y \(w = c+di\) es

$$ z·w = (ac-bd)+(ad+bc)i $$


El inverso de \(z= a+bi\) es

$$(a+bi)^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2}·(a-bi)$$


El cociente de los complejos \(z = a+bi\) y \(w = c+di \neq 0\) es

$$ \frac{z}{w} = \frac{1}{c^2+d^2}·\left((ac+bd) + (bc-ad)i\right) $$


Sea \(r\) el módulo del complejo \(z\) y \(\alpha\) su argumento, la forma trigonométrica de \(z\) es

Propiedades básicas de los números complejos (demostraciones): módulo, conjugado, producto, cociente, parte real, parte imaginaria, etc. Matemáticas para bachillerato y universidad. TIC

Y las formas polares son

Números complejos o imaginarios en forma polar. Calculadora online para pasar de la forma polar a la binómica y viceversa. Incluye las fórmulas para multiplicar y dividir complejos en forma polar. Con problemas resueltos y representaciones. Matemáticas para bachillerato y universidad. TIC

En forma polar, el producto y el cociente de complejos se calcula de otra forma: complejos en forma polar.

5. Problemas resueltos: demostraciones

Problema 1

Todo complejo es igual al conjugado de su conjugado:

$$ \overline{\overline{z}} = z $$

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Problema 2

El conjugado de una suma de complejos es la suma de sus conjugados:

$$ \overline{z+w} = \overline{z}+\overline{w}$$

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Problema 3

El producto de un complejo por su conjugado es el cuadrado de su módulo:

$$ z·\overline{z} = |z|^2$$

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Problema 4

El conjugado de un producto de complejos es el producto de sus conjugados:

$$ \overline{z·w} = \overline{z}·\overline{w} $$

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Problema 5

El conjugado de un cociente de complejos es el cociente de sus conjugados:

$$ \overline{\left( \frac{v}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$$

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Problema 6

La suma de un complejo \(z\) y de su conjugado es el doble de la parte real de \(z\):

$$ z + \overline{z} = 2·\mathcal{Re}(z) $$

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Problema 7

La resta de un complejo \(z\) y de su conjugado es el doble de la parte imaginaria de \(z\) por la unidad imaginaria \(i\):

$$ z - \overline{z} = 2·\mathcal{Im}(z) ·i$$

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Problema 8

El módulo de un complejo es nulo si, y sólo si, es el complejo nulo:

$$ |z| = 0 \leftrightarrow z = 0$$

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Problema 9

El módulo de un complejo es simpre no negativo:

$$ |z| ≥ 0 $$

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Problema 10

El módulo de un complejo es igual al módulo de su conjugado:

$$ |z| = |\overline{z}| $$

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Problema 11

El módulo de un complejo \(z\) es mayor o igual que el valor absoluto de su parte real y de su parte imaginaria:

$$ |\mathcal{Re}(z)|\leq |z| $$

$$ |\mathcal{Im}(z)|\leq |z| $$

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Problema 12

El módulo del producto de complejos es el producto de sus módulos:

$$ |z·w| = |z|·|w| $$

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Problema 13

El módulo del inverso de un complejo \(z\neq 0\) es el inverso del módulo de \(z\):

$$ |z^{-1}| = |z|^{-1}$$

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Problema 14

El módulo del cociente de dos complejos es el cociente de sus módulos:

$$ \left| \frac{z}{w} \right| = \frac{|z|}{|w|} $$

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Problema 15

Valor absoluto de la parte imaginaria y de la parte real del producto de complejos:

$$ |\mathcal{Re}(z·w)| ≤ |w|·|z|$$

$$ |\mathcal{Im}(z·w)| ≤ |w|·|z|$$

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Problema 16

Versión compleja de la desigualdad triángular:

$$ |z+w| \leq |z| + |w| $$

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