Andrey Kolmogórov y los axiomas y espacios de Kolmogórov

Ejemplo:

Considérese el lanzamiento de un dado. Entonces:

El espacio muestral es

$$ \Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $$

Definimos Σ como

$$ \Sigma =\{ E_1, E_2, E_3, E_4 \} $$

siendo E₁ el suceso "número impar", E₂ el suceso "número par", E₃ el suceso "3", E₄ el suceso "distinto de 3" y E₅ el suceso "par o 3", esto es,

$$ E_1 = \{1, 3, 5 \} $$

$$ E_2 = \{ 2, 4, 6\} $$

$$ E_3 = \{ 3\} $$

$$ E_4 = \{ 1,2,4,5,6 \} $$

$$ E_5 = E_2 \cup E_3 $$

La probabilidad de obtener 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 es 1:

$$ P(\Omega) = 1 $$

La probabilidad de obtener un número en concreto, n, es 1/6:

$$ P(n) = \frac{1}{6}, \forall 1\leq n\leq 6 $$

Las probabilidades de los sucesos de Σ son:

$$ P(E_1) = \frac{1}{2} $$

$$ P(E_2) = \frac{1}{2}$$

$$ P(E_3) = \frac{1}{6}$$

$$ P(E_4) = \frac{5}{6}$$

$$ P(E_5) = \frac{2}{3}$$

Nota: tal y como se ha definido, Σ es una σ-álgebra.

Ejemplo 1

El espacio topológico discreto \( (X,\mathcal{T}_d)\) es de Kolmogórov:

Cualquier punto del espacio es un abierto y, por tanto, un entorno de sí mismo. Luego dados dos puntos distintos \( x \) e \( y \), el punto \( y \) no pertenece al entorno \( U_x = \{ x \} \) de \( x \).

Ejemplo 2

El espacio topológico trivial con más de un punto \( (X,\mathcal{T}_T) \) no es de Kolmogórov:

Para todo \( x \) de \( X \), el único abierto al que \( x \) pertenece es \( X \) y, por tanto, \( X\) es también el único entorno de \( x \). Luego dados dos puntos distintos \( x \) e \( y \), \( X\) es el único entorno de \( x \) e \( y \) pertenece a este entorno. Análogamente, \(x\) pertenece al único entorno de \( y\).

Ejemplo 3

El espacio topológico producto del espacio de los reales con la topología usual y del espacio de los reales con la topología trivial:

$$ (\mathbb{R}\times \mathbb{R}, \mathcal{T}_u\times \mathcal{T}_T) $$

no es un espacio de Kolmogórov:

Sean \( x \), \( y \) y z tres números reales. Entonces, los puntos

$$ a=(x, y),b=(x,z) $$

son distintos.

Sin embargo, no existe ningún entorno de \(a\) que no contenga a \( b \) ni viceversa. Esto se debe a que los abiertos (más simples) no triviales de esta topología son bandas (con lados paralelos al eje OY) de altura infinita y los puntos \(a\) y \( b \) se encuentran en la misma recta vertical:

El abierto representado es

$$ A = (2,5)\times \mathbb{R} \in \mathcal{T}_u \times \mathcal{T}_T $$

El abierto puede ser más estrecho, pero siempre contendrá a la recta que une a ambos puntos.

Teorema 1

Todo espacio topológico de Hausdorff es de Kolmogórov.

Demostración:

Sean \( x \) e \( y \) dos puntos distintos de un espacio de Hausdorff con la topología \( \mathcal{T}\). Por definición, existen dos abiertos \( A\) y \( B\) tales que

$$ x\in A, y\in B, A\cap B = \emptyset $$

Teniendo en cuenta que \(y\not\in A\), \(x\not\in B\) y que los abiertos \(A\) y \(B\) son, respectivamente, entornos de \(x\) e \(y\), se concluye que el espacio es de Kolmogórov.

Nota: de esta misma demostración se desprende que el espacio es de Fréchet o T₁.

Teorema 2

Todo espacio topológico de Fréchet es de Kolmogórov \(T_1 \rightarrow T_0\).

Demostración en Espacios de Fréchet.