En esta página estudiamos las operaciones entre sucesiones y su convergencia y resolvemos 10 problemas. No daremos demasiada importancia a la convergencia de las operaciones entre dos sucesiones divergentes.
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Nota previa: si decimos que \(a_n\) diverge, nos referimos a que su límite es más infinito o menos infinito. Si decimos que converge, nos referimos a que su límite es un número finito.
Notación: para indicar que la sucesión \(a_n\) tiene límite igual a \(A\) escribiremos
O bien,
Sean \(a_n\) y \(b_n\) dos sucesiones, entonces su suma es la sucesión \(c_n\) definida por
Si las sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) son convergentes a \(A\) y a \(B\), respectivamente, entonces \(c_n=a_n+b_n\) converge a \(A+B\):
Si una o las dos sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) son divergentes, la suma puede ser convergente o divergente.
Sean \(a_n\) y \(b_n\) dos sucesiones, entonces su resta es la sucesión \(c_n\) definida por
Si las sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) son convergentes a \(A\) y a \(B\), respectivamente, entonces \(c_n=a_n-b_n\) converge a \(A-B\):
Si una o las dos sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) son divergentes, la resta puede ser convergente o divergente.
Sean \(a_n\) y \(b_n\) dos sucesiones, entonces su producto es la sucesión \(c_n\) definida por
Si las sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) son convergentes a \(A\) y a \(B\), respectivamente, entonces \(c_n=a_n\cdot b_n\) converge a \(A\cdot B\):
Si \(a_n\) converge a \(L\neq 0\) y \(b_n\) diverge, su producto es divergente.
Si \(a_n\) converge a \(L=0\) y \(b_n\) diverge, su producto puede ser convergente o divergente.
Si las sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) son divergentes, su producto es divergente.
Sean \(a_n\) y \(b_n\) dos sucesiones siendo \(b_n \neq 0\) para todo \(n\) natural. Entonces, su cociente es la sucesión \(c_n\) definida por
Si las sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) son convergentes a \(A\) y a \(B\neq 0\), respectivamente, entonces \(c_n=a_n / b_n\) converge a \(A/B\):
Si \(a_n\) converge y \(b_n\) diverge, su cociente es convergente a 0.
Si \(a_n\) converge y \(b_n\) converge a \(L= 0\), su cociente diverge.
Si \(a_n\) diverge y \(b_n\) converge a \(L\neq 0\), su cociente diverge.
Si \(a_n\) diverge y \(b_n\) converge a 0, su cociente puede ser convergente o divergente.
Si las sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) son divergentes, su cociente puede ser convergente o divergente.
Si una sucesión \(a_n\) es distinta de 0 para todo \(n\) natural, se define su inversa como la sucesión
Si \(a_n\) converge a \(A\neq 0\), su inversa converge a \(1/A\).
Si \(a_n\) diverge, entonces su inversa converge a 0.
Si \(a_n\) converge a 0, entonces su inversa diverge.
Problema 1
Calcular el término general \(c_n\) de la suma de las sucesiones, completar la siguiente tabla y calcular el décimo término de la suma:
Problema 2
Calcular el término general \(c_n\) de la resta de las sucesiones, completar la siguiente tabla y calcular el décimo término de la resta:
Problema 3
Calcular el término general \(c_n\) del producto de las sucesiones, completar la siguiente tabla y calcular el décimo término del producto:
Problema 4
Calcular el término general \(c_n\) del cociente de las sucesiones, completar la siguiente tabla y calcular el décimo término del cociente:
Problema 5
Calcular el término general \(1/a_n\) de la inversa de la sucesión, completar la siguiente tabla y calcular el décimo término de la inversa:
Problema 6
Sean las sucesiones
Calcular los límites de
La suma \(a_n+b_n\).
La resta \(a_n-b_n\).
El producto \(a_n·b_n\).
El cociente \(a_n/b_n\).
Problema 7
Vimos en un ejemplo que
la sucesión \(a_n=\frac{1}{n^2}\) es convergente a 0,
la sucesión \(b_n=n\) es divergente y
el producto \(a_n·b_n=1/n\) es convergente a 0.
¿También es convergente el producto de \(a_n=1/n\) y \(b_n=n^2\)?
Problema 8
Sean las sucesiones
Calcular los límites de
La suma \(a_n+b_n\).
La resta \(a_n-b_n\).
El producto \(a_n·b_n\).
El cociente \(a_n/b_n\).
Problema 9
Calcular el límite de la inversa de las siguientes sucesiones:
\( a_n=1/n\rightarrow 0 \)
\(b_n=5+1/n\rightarrow 5\)
\(c_n=7n\rightarrow +\infty \)
Problema 10
Sean las sucesiones
Calcular los límites de
La suma \(a_n+b_n\).
La resta \(a_n-b_n\).
El producto \(a_n·b_n\).
El cociente \(a_n/b_n\).
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