En esta página definimos el concepto de subsucesión y proporcionamos algunas de sus propiedades inmediatas. También, resolvemos 6 problemas de subsucesiones.
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Notación:
De forma no rigurosa, una subsucesión de la sucesión \(a_n\) es una sucesión que está dentro de la sucesión \(a_n\).
La importancia de las subsucesiones es que proporcionan información acerca de la sucesión a la que pertenecen. Por ejemplo:
Si una sucesión \(a_n\) tiene dos subsucesiones que convergen a límites distintos, entonces la sucesión \(a_n\) no converge.
Además, son una herramienta para las demostraciones de otras propiedades. Por ejemplo, las subsucesiones nos ayudan a demostrar el teorema de completitud de los reales:
Toda sucesión de números reales es convergente si y sólo si es de Cauchy.
Intuitivamente, una subsucesión de la sucesión \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\) es una sucesión formada por infinitos términos de \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\).
Sea \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión y sea \(N_0 \subseteq \mathbb{N}\) un subconjunto de los naturales con cardinalidad infinita. Entonces, llamamos subsucesión (o sucesión parcial) de \(a_n\) a las sucesiones \(\{a_{n_k}\}_{n_k\in N_0}\).
Entre las propiedades más inmediatas e importantes de las subsucesiones, destacamos las cuatro siguientes:
Sea \(a_n\) una sucesión convergente a \(L\neq \infty\), entonces todas sus subsucesiones \(a_{n_k}\) convergen a \(L\).
Sea \(a_n\) una sucesión acotada, entonces todas sus subsucesiones \(a_{n_k}\) son acotadas.
Si una sucesión \(a_n\) tiene dos subsucesiones que convergen a límites distintos, entonces la sucesión \(a_n\) no converge.
Teorema de Bolzano-Weierstrass: Sea \(a_n\) una sucesión acotada, entonces tiene alguna subsucesión \(a_{n_k}\) convergente.
No demostramos el teorema por su complejidad.
Problema 1
Sea la sucesión \(a_n\) convergente a 0 dada por
Sus primeros términos son: 1, 1/2, 1/3, 1/4,...
Determinar si las siguientes sucesiones son subsucesiones de \(a_n\):
Problema 2 (dificultad media)
Dada una sucesión \(a_n\), construimos la sucesión constante \(x_n = a_1\). ¿Es \(x_n\) una subsucesión de \(a_n\)?
Problema 3
Sea la sucesión alternada \(a_n\) dada por
Demostrar que no converge a partir de sus subsucesiones.
Problema 4
Sea la sucesión alternada dada por
Calcular el límite de las siguientes subsucesiones de \(a_n\):
Problema 5
Sea la sucesión no convergente definida por
Proporcionar tres subsucesiones \(x_n\), \(y_n\) y \(z_n\) tales que
Demostrar como consecuencia que la sucesión \(a_n\) no converge.
Problema 6 (dificultad media)
Sea la sucesión definida por
Determinar si las siguientes sucesiones son subsucesiones de \(a_n\):
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