logotipo matesfacil

Subsucesiones

En esta página definimos el concepto de subsucesión y proporcionamos algunas de sus propiedades inmediatas. También, resolvemos 6 problemas de subsucesiones.

Contenido de esta página:

  1. Introducción

  2. Concepto y ejemplo

  3. Propiedades

  4. 6 problemas resueltos

Temas relacionados:

Notación:

  • Escribiremos simplemente \(a_n\) para referirnos a una sucesión \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\).

  • Expresaremos que la sucesión \(a_n\) converge a \(L\neq \infty\) mediante \(a_n\rightarrow L\) o mediante

    Subsucesiones: definimos el concepto de subsucesión, proporcionamos algunas de sus propiedades inmediatas (como que las subsucesiones de una sucesión convergente son convergentes) y resolvemos 6 problemas de subsucesiones. Secundaria, ESO y Bachillerato.

  • A las subsucesiones \(\{a_{n_k} \}_{k\in \mathbb{N}}\) de \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\) las denotaremos por \(a_{n_k}\).

1. Introducción

De forma no rigurosa, una subsucesión de la sucesión \(a_n\) es una sucesión que está dentro de la sucesión \(a_n\).

La importancia de las subsucesiones es que proporcionan información acerca de la sucesión a la que pertenecen. Por ejemplo:

Si una sucesión \(a_n\) tiene dos subsucesiones que convergen a límites distintos, entonces la sucesión \(a_n\) no converge.

Además, son una herramienta para las demostraciones de otras propiedades. Por ejemplo, las subsucesiones nos ayudan a demostrar el teorema de completitud de los reales:

Toda sucesión de números reales es convergente si y sólo si es de Cauchy.

X

2. Concepto y ejemplo

Intuitivamente, una subsucesión de la sucesión \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\) es una sucesión formada por infinitos términos de \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\).

Definición formal

Sea \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión y sea \(N_0 \subseteq \mathbb{N}\) un subconjunto de los naturales con cardinalidad infinita. Entonces, llamamos subsucesión (o sucesión parcial) de \(a_n\) a las sucesiones \(\{a_{n_k}\}_{n_k\in N_0}\).

Ver Ejemplo

3. Propiedades

Entre las propiedades más inmediatas e importantes de las subsucesiones, destacamos las cuatro siguientes:

Propiedad 1

Sea \(a_n\) una sucesión convergente a \(L\neq \infty\), entonces todas sus subsucesiones \(a_{n_k}\) convergen a \(L\).


Ver demostración

Propiedad 2

Sea \(a_n\) una sucesión acotada, entonces todas sus subsucesiones \(a_{n_k}\) son acotadas.


Ver demostración

Propiedad 3

Si una sucesión \(a_n\) tiene dos subsucesiones que convergen a límites distintos, entonces la sucesión \(a_n\) no converge.


Ver demostración

Propiedad 4

Teorema de Bolzano-Weierstrass: Sea \(a_n\) una sucesión acotada, entonces tiene alguna subsucesión \(a_{n_k}\) convergente.


No demostramos el teorema por su complejidad.

4. Problemas Resueltos

Problema 1

Sea la sucesión \(a_n\) convergente a 0 dada por

Subsucesiones: definimos el concepto de subsucesión, proporcionamos algunas de sus propiedades inmediatas (como que las subsucesiones de una sucesión convergente son convergentes) y resolvemos 6 problemas de subsucesiones. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Sus primeros términos son: 1, 1/2, 1/3, 1/4,...

Determinar si las siguientes sucesiones son subsucesiones de \(a_n\):

  • \( a_{n_k} = \frac{1}{2k} \rightarrow 0\)

  • \( a_{n_k} = 1-\frac{1}{k} \rightarrow 1\)

  • \( a_{n_k} = \frac{1}{k^2} \rightarrow 0\)

  • \( a_{n_k} = \frac{2}{k} \rightarrow 0\)

  • \( a_{n_k} = \frac{1+k}{k^2} \rightarrow 0\)

Ver solución

Problema 2 (dificultad media)

Dada una sucesión \(a_n\), construimos la sucesión constante \(x_n = a_1\). ¿Es \(x_n\) una subsucesión de \(a_n\)?

Ver solución

Problema 3

Sea la sucesión alternada \(a_n\) dada por

Subsucesiones: definimos el concepto de subsucesión, proporcionamos algunas de sus propiedades inmediatas (como que las subsucesiones de una sucesión convergente son convergentes) y resolvemos 6 problemas de subsucesiones. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Demostrar que no converge a partir de sus subsucesiones.

Ver solución


Problema 4

Sea la sucesión alternada dada por

Subsucesiones: definimos el concepto de subsucesión, proporcionamos algunas de sus propiedades inmediatas (como que las subsucesiones de una sucesión convergente son convergentes) y resolvemos 6 problemas de subsucesiones. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Calcular el límite de las siguientes subsucesiones de \(a_n\):

  • \( x_n = a_{2n}\)

  • \( y_n = a_{2n+1} \)

  • \( z_n = a_{n^2}\)

Ver solución

Problema 5

Sea la sucesión no convergente definida por

Subsucesiones: definimos el concepto de subsucesión, proporcionamos algunas de sus propiedades inmediatas (como que las subsucesiones de una sucesión convergente son convergentes) y resolvemos 6 problemas de subsucesiones. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Proporcionar tres subsucesiones \(x_n\), \(y_n\) y \(z_n\) tales que

  • \(x_n\) e \(y_n\) son convergentes con límites distintos.

  • \(z_n\) no es convergente.

Demostrar como consecuencia que la sucesión \(a_n\) no converge.

Ver solución

Problema 6 (dificultad media)

Sea la sucesión definida por

Subsucesiones: definimos el concepto de subsucesión, proporcionamos algunas de sus propiedades inmediatas (como que las subsucesiones de una sucesión convergente son convergentes) y resolvemos 6 problemas de subsucesiones. Secundaria, ESO y Bachillerato.

Determinar si las siguientes sucesiones son subsucesiones de \(a_n\):

  • \( x_n = 5\)

  • \( y_n = 5^n\)

  • \( z_n = 5^{-n}\)

  • \( t_n = 5^{n^2}\)

  • \( u_n = 5^{2n^2}\)

Ver solución





acceso al foro

ejercicios interactivos de matemáticas