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Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones (en nuestro caso serán dos ecuaciones) y varias incógnitas (en nuestro caso dos) que aparecen en una o varias de las ecuaciones.
Una ecuación que tiene más de una incógnita nos informa de la relación que existe entre éstas. Por ejemplo, la ecuación x - y = 0 nos dice que x e y son el mismo número.
No podemos resolver una ecuación con dos incógnitas ya que una de ellas queda en función de la otra. Por ejemplo, si tenemos la ecuación x - 2y = 0 y aislamos x obtenemos que x = 2y. Es decir, que el valor de x es el doble que el de y. Pero continuamos sin saber los valores de x e y.
Para poder resolver un sistema de N incógnitas necesitamos tener N ecuaciones. En realidad, también necesitamos que las ecuaciones sean linealmente independientes, pero no tendremos en cuenta esta necesidad en este nivel.
En esta sección tenemos problemas cuya resolución requieren el planteamiento de sistemas de ecuaciones de dimensión 2 (dos ecuaciones y dos incógnitas). Si no recordamos cómo resolver los sistemas (igualación, reducción y sustitución), podemos visitar la página resolución de sistemas (métodos básicos).
Otros métodos son la eliminación de Gauss y la Regla de Cramer.
Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números son?
En primer lugar, definimos las incógnitas:
Por un lado, sabemos que los dos números suman 25, lo cual nos proporciona la primera ecuación:
$$ x + y = 25 $$
Por otro lado, también sabemos que el doble de uno de los números es 14, lo cual proporciona la segunda ecuación:
$$ 2x = 14 $$
Ya tenemos 2 incógnitas y 2 ecuaciones, suficiente para plantear y resolver el sistema de ecuaciones:
Aplicamos el método de sustitución, despejando la \(x\) en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera.
Despejamos la \(x\) en la segunda ecuación:
Observad que ya tenemos el valor de una incógnita: \(x = 7\).
Sustituimos en la primera ecuación (escribimos 7 en lugar de \(x\)) y resolvemos la ecuación:
La solución del sistema es \(x = 7\) e \(y = 18\). Por tanto, los números buscados son 7 y 18.
Podemos comprobar el resultado:
El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué números son?
Llamaremos
Como el doble de la suma de los números es 32, tenemos la ecuación
$$ 2(x + y) = 32 $$
Nota: recordad que es importante escribir la suma de los números entre paréntesis.
Podemos quitar los paréntesis de la ecuación si multiplicamos por 2 los sumandos que contiene:
$$ 2(x + y) = 32 $$
$$ 2x + 2y = 32 $$
También, sabemos que la diferencia (la resta) de los números es 0:
$$ x - y = 0 $$
Nota: la anterior ecuación nos informa de que los números son iguales (\(x = y\)).
El sistema obtenido es el siguiente:
Para variar, resolvemos este sistema por el método de reducción.
Multiplicamos la segunda ecuación por -2 y sumamos las ecuaciones (desaparecerá la incógnita \(x\)):
Finalmente, calculamos \(x\) sabiendo que \(y = 8\) usando la segunda ecuación:
Por tanto, los números buscados son 8 y 8.
Podemos comprobar el resultado:
La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del otro. ¿Qué números son?
Definimos las incógnitas:
La suma de los números es 12:
$$ x + y = 12 $$
La mitad del primer número es el doble del segundo:
$$ \frac{x}{2} = 2y $$
Tenemos el sistema de ecuaciones
Resolvemos el sistema por sustitución.
Despejamos la \(x\) en la segunda ecuación:
Sustituimos en la primera ecuación:
Como ya tenemos \(y\), podemos calcular \(x\):
Por tanto, los números buscados son las fracciones 48/5 y 12/5.
Comprobamos el resultado (opcional):
Tenemos dos números cuya suma es 0 y si a uno de ellos le sumamos 123 obtenemos el doble del otro. ¿Qué números son?
Sea \(x\) uno de los números y sea \(y\) el otro.
La suma de los números es 0:
$$ x + y = 0 $$
Si a uno de los números (por ejemplo, \(x\)) le sumamos 123 obtenemos el doble del otro número:
$$ x + 123 = 2y $$
Luego tenemos el sistema de ecuaciones
Nota: es mejor si escribimos las incógnitad en el lado izquierdo y los números en el derecho.
Resolvemos por sustitución.
Aislamos \(x\) en la primera ecuación:
Sustituimos \(x = -y\) en la segunda ecuación:
Calculamos la otra incógnita:
Por tanto, los números buscados son 41 y -41.
Podemos comprobar el resultado:
Hallar un número de dos cifras que cumpla:
A diferencia de los anteriores, en este problema tenemos que encontrar un único número.
El número que buscamos tiene 2 cifras, a las cuales llamaremos \(x\) e \(y\). Es decir, es el número \(xy\), siendo \(x\) la primera de sus cifras e \(y\) la segunda.
Importante: con \(xy\) nos referimos a un número de dos cifras y NO a la multiplicación \(x\cdot y\).
La segunda cifra es el doble de la primera:
$$ y = 2x $$
La suma de las cifras es 12:
$$x + y = 12$$
Tenemos un sistema de dos ecuaciones:
Resolvemos por sustitución (sustituyendo la primera ecuación en la segunda):
Por tanto, el número buscado es el 48 (la primera cifra es \(x = 4\) y la segunda es \(y = 8\).
Comprobamos el resultado:
Nota: observad que también podemos resolver este problema sin plantear un sistema de ecuaciones. Los únicos números de dos cifras cuya segunda cifra es el doble de la primera son 12, 24, 36 y 48. Y el único número de éstos cuyas cifras suman 12 es el 48.
Ana tiene el triple de edad que su hijo Jaime. Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de su hijo. ¿Cuántos años tienen Ana y Jaime?
En este problema usaremos otras incógnitas distintas a \(x\) e \(y\), lo cual no afectará a la resolución. A veces, usar otros nombres para las incógnitas puede ayudarnos a identificarlas, sobre todo cuando trabajamos con muchas.
Definimos las incógnitas:
La primera ecuación la obtenemos sabiendo que la edad de Ana es el triple que la de Jaime:
$$ a = 3j $$
Dentro de 15 años, tanto Ana como Jaime van a tener 15 años más, es decir,
En este momento (pasados los 15 años), sabemos que la edad de Ana será el doble que la de Jaime:
$$ a + 15 = 2\cdot ( j + 15 )$$
Nota: no olvidemos el paréntesis para calcular el doble de la edad de Jaime.
Simplificamos la última ecuación:
$$ a + 15 = 2\cdot ( j + 15 )$$
$$ a + 15 = 2j + 2\cdot 15$$
$$ a + 15 = 2j + 30$$
$$ a -2j = 15$$
Tenemos, por tanto, el sistema de ecuaciones siguiente:
Resolvemos por sustitución:
Ana tiene 45 años y su hijo Jaime tiene 15.
Comprobamos la solución (opcional):
Hemos comprado 3 canicas de cristal y 2 de acero por 1,45€ y, ayer, 2 de cristal y 5 de acero por 1,7€. Determinar el precio de una canica de cristal y de una de acero.
Definimos las incógnitas del problema:
El precio de 3 canicas de cristal es \(3\cdot c\) y el precio de 2 canicas de acero es \(2\cdot a\). Sabemos que estas 3 canicas de cristal y 2 de acero valen, en total, 1.45€:
$$ 3c + 2a = 1.45 $$
Por otro lado, como 2 canicas de cristal y 5 de acero valen 1.7€,
$$ 2c + 5a = 1.7 $$
Tenemos el sistema de ecuaciones
Resolvemos por reducción.
Vamos a eliminar la incógnita \(c\), que tiene coeficiente 3 (primera ecuación) y coeficiente 2 (segunda ecuación). Para que se anulen al sumar las ecuaciones, multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por -3:
Sumamos las ecuaciones del sistema:
Calculamos la otra incógnita a partir de la primera ecuación y \(a\):
Una canica de acero vale 0.2€ y una de cristal 0.35€.
Hallar la longitud de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es P = 24 y cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor. ¿Cuál es el área del rectángulo?
Los rectángulos constan de cuatro lados: dos lados paralelos iguales (base) y otros dos lados paralelos iguales (altura).
Incógnitas:
El perímetro \(P\) es la suma de los 4 lados del rectángulo:
$$P = x + x + y + y $$
Es decir,
$$P = 2x + 2y $$
Como sabemos que el perímetro es 24, tenemos la ecuación
$$2x + 2y = 24$$
Como el lado mayor mide tres veces el menor:
$$ x = 3y$$
Luego tenemos el sistema de ecuaciones
Resolvemos por sustitución (sustituimos \(x = 3y\) en la primera ecuación):
Calculamos la otra incógnita sustituyendo en la segunda ecuación:
Los lados mayores miden 9 unidades y los menores miden 3 unidades (cada uno de ellos).
El área del rectángulo se calcula multiplicando su base por su altura:
$$ A = x\cdot y = 9\cdot 3 = 27$$
Averiguar el número de animales de una granja sabiendo que:
Apartado 1
Hay que tener en cuenta que cada pato tiene 2 patas y cada vaca 4.
Incógnitas (usaremos las iniciales):
La suma de los patos y vacas es 132:
$$ p + v = 132 $$
La suma de las patas es 402 (dos patas por cada pato y cuatro por cada vaca):
$$ 2p + 4v = 402 $$
Tenemos el sistema de ecuaciones
Resolvemos por reducción.
Multiplicamos la primera ecuación por -2 para eliminar la incógnita \(p\) al sumar las ecuaciones:
Calculamos la otra incógnita:
Por tanto, hay 63 patos y 69 vacas.
Apartado 2
Como las cantidades de pienso que consumen son aproximadas, no obtendremos el número exacto de animales, sólo una estimación.
Incógnitas (usaremos x e y por los cromosomas sexuales):
Como hay un gallo por cada 6 gallinas, el número de gallinas es 6 veces el de gallos:
$$ x = 6y $$
Una gallina come 0.5kg y un gallo 0.25kg. En total consumen 200kg:
$$ 0.5x + 0.25y = 200$$
Nota: en el enunciado del problema se indica que el total son 200kg, pero las cantidades que comen las gallinas y gallos es en gramos. Por eso, al pasar de gramos a kilogramos obtenemos decimales.
Tenemos el sistema de ecuaciones
Aplicamos el método de sustitución (sustituimos \(x = 6y\) en la segunda ecuación):
Como obtenemos un número decimal, podemos aproximar el número de gallos a 61, pero usaremos el resultado decimal para calcular el número de gallinas y obtener un resultado más real:
Podemos decir que hay unos 61 gallos y unas 369 gallinas.
Apartado 3
Ya sabemos que hay 69 vacas (apartado 1).
Sea \(c\) el número de conejos.
La sexta parte de conejos está junto a las vacas, por lo que el número de animales que hay en el comedero de las vacas es: número total de vacas más la sexta parte del número total de conejos:
$$ 69 + \frac{c}{6} $$
Al contar los conejos y las vacas, el número de animales en el comedero de las vacas es el triple del que debería ser (debería ser 69, que es el número de vacas):
$$ 69 + c/6 = 69\cdot 3 $$
Resolvemos la ecuación de primer grado:
Hay 828 conejos en total (de los cuales 138 están en el comedero de las vacas).
Resumiendo:
En un examen tipo test, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas).
La nota de un alumno es 8.05 sobre 10. Calcular el número de preguntas que contestó correcta e incorrectamente.
Escribimos la nota sobre 100 en vez de sobre 10:
$$ 8.05 \cdot 10 = 80.5 $$
Llamamos \(x\) al número de respuestas correctas e \(y\) al número de respuestas incorrectas.
Como se deben contestar todas las preguntas, debe cumplirse que el número de respuestas correctas más el de respuestas incorrectas es igual a 100:
$$ x + y = 100 $$
Cada respuesta correcta suma 1 y cada incorrecta resta 0.5:
$$ 1\cdot x - 0.5 \cdot y = 80.5 $$
Resolvemos el sistema de ecuaciones por sustitución.
Aislamos la \(x\) en la primera ecuación:
$$ x + y = 100 $$
$$ x = 100 - y $$
Sustituimos \(x\) en la segunda ecuación:
$$ x - 0.5 \cdot y = 80.5 $$
$$ (100-y) - 0.5 \cdot y = 80.5 $$
Resolvemos la ecuación de primer grado:
$$ 100-y - 0.5 \cdot y = 80.5 $$
$$ 100-80.5 = y +0.5 y $$
$$ 19.5 = 1.5y$$
$$ y = \frac{19.5}{1.5} = 13$$
Tenemos que el número de respuestas incorrectas es \(y = 13\).
Fácilmente calculamos el número de respuestas correctas:
$$ x = 100 - y = 100 - 13 = 87 $$
Si se suma 7 al numerador y al denominador de una determinada fracción, se obtiene la fracción
$$ \frac{2}{3} $$
Si en vez de sumar 7 se resta 3 al numerador y al denominador, se obtiene la fracción
$$ \frac{1}{4} $$
Encontrar dicha fracción.
Podemos llamar \(x\) al numerador e \(y\) al denominador. Es decir, la fracción que buscamos es
$$ \frac{x}{y} $$
Si sumamos 7 al numerador y al denominador y obtenemos 2/3:
$$ \frac{x+7}{y+7} = \frac{2}{3} $$
Podemos pasar los denominadores multiplicando al otro lado de la igualdad:
$$ 3(x+7) = 2(y+7) $$
Operamos un poco para simplificar la ecuación:
$$ 3x+21 = 2y+14 $$
$$ 3x -2y = -7 $$
Ahora procedemos del mismo modo pero restando 3:
$$ \frac{x-3}{y-3} = \frac{1}{4} $$
Operamos un poco:
$$ 4(x-3) = y-3 $$
$$ 4x-12 = y-3 $$
$$ 4x-y = 9 $$
Por tanto, el sistema de ecuaciones lineales es
$$ 3x -2y = -7 $$
$$ 4x-y = 9 $$
Lo resolvemos por igualación, aislando en ambas ecuaciones la \(x\).
De la primera ecuación,
$$ 3x -2y = -7 $$
$$ x = \frac{-7+2y}{3} $$
Y de la segunda,
$$ 4x-y = 9 $$
$$ x = \frac{9+y}{4} $$
Igualamos las \(x\):
$$ \frac{-7+2y}{3} = \frac{9+y}{4}$$
Resolvemos la ecuación de primer grado:
$$ 4(-7+2y) = 3(9+y)$$
$$ -28+8y = 27 + 3y $$
$$ 5y = 55 $$
$$ y = \frac{55}{5} = 11 $$
Calculamos \(x\) a partir de la \(y\):
$$ x = \frac{-7+2y}{3} =$$
$$ x = \frac{-7+22}{3} =$$
$$ x = \frac{15}{3} =$$
$$ x = 5 $$
Por tanto, la fracción buscada es
$$ \frac{x}{y} = \frac{5}{11} $$
Una marca de bebidas prepara una limonada (agua y concentrado de limón) con una cantidad muy precisa de sus ingredientes. La relación entre las cantidades de agua y concentrado limón es
$$ L_L = \frac{2 L_A}{5} $$
donde LL representa los litros de concentrado de limón y LA los litros de agua.
Si se necesitan 20 limones para obtener un litro de concentrado de limón, ¿cuántos limones se necesitan para elaborar 1230 botellas de 2L de esta limonada?
Las 1230 botellas de 2L equivalen a un total de \(1230\cdot 2 = 2460\) litros de limonada.
Siguiendo la notación del propio problema, definimos las incógnitas siguientes:
Una de las ecuaciones del sistema es la proporcionada por el enunciado:
$$ L_L = \frac{2 L_A}{5} $$
La otra es la siguiente:
$$ L_L + L_A = 2460 $$
Es decir, el total de litros de limonada es la suma de los litros de agua y de los litros de concentrado de limón.
Resolvemos el sistema por sustitución:
De la segunda ecuación despejamos \(L_L\):
$$ L_L = 2460 - L_A $$
Sustituimos \(L_L\) en la primera ecuación:
$$ L_L = \frac{2 L_A}{5} $$
$$ 2460 - L_A = \frac{2 L_A}{5} $$
Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:
$$ 5\cdot 2460 - 5L_A = 2L_A $$
$$ 12300 = 5L_A + 2L_A $$
$$ 12300 = 7L_A $$
$$ L_A = \frac{12300}{7} = 1757.14\text{ L} $$
Nota: la \(\text{L}\) anterior indica litros, no tiene que ver con el nombre de las incógnitas.
Ahora, calculamos los litros de concentrado de limón:
$$ L_L = 2460 - 1757.14 = 702.86L $$
Como se requieren 20 limones para un litro de concentrado y queremos 702.86L de concentrado, necesitamos
$$ 20\cdot 702.86 = 14057.2 $$
Es decir, se necesitan 14058 limones.
Con una cuerda de 34 metros se puede dibujar un rectángulo (sin que sobre cuerda) cuya diagonal mide 13 metros.
Calcular cuánto mide la base y la altura de dicho rectángulo.
Incógnitas:
La longitud de la cuerda coincide con el perímetro del rectángulo (\(P = 2a + 2b\)), por lo que
$$ 2a + 2b = 34 $$
Si dibujamos la diagonal del rectángulo veremos 2 triángulos rectángulos, siendo su hipotenusa la diagonal del rectángulo:
Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
$$ a^2 + b^2 = h^2 $$
donde \(h\) representa la hipotenusa (la diagonal del rectángulo), que sabemos que mide 13. Luego
$$ a^2 + b^2 = 13^2 = 169 $$
La dificultad del problema se debe a esta última ecuación ya que no es lineal (las incógnitas están al cuadrado).
Aislamos \(a\) en la primera de las ecuaciones:
$$ 2a + 2b = 34 $$
$$ a = \frac{34-2b}{2} = 17-b$$
Ahora sustituimos \(a\) en la ecuación no lineal:
$$ a^2 + b^2 = 169 $$
$$ (17-b)^2 + b^2 = 169 $$
Calculamos el cuadrado de la resta (binomio de Newton):
$$ (17-b)^2 = 17^2 +b^2 -2\cdot 17b =$$
$$ = 289 +b^2 -34b $$
Por tanto, tenemos una ecuación de segundo grado:
$$ 289 +b^2 -34b + b^2 = 169 $$
Simplificamos un poco:
$$ 2b^2 -34b +120 =0 $$
Omitimos el procedimiento ya que no pertenece al tema de sistemas de ecuaciones. Las soluciones son:
$$ b=12,\ b=5 $$
Por lo que \(a\) puede tener dos valores:
$$ a = 17-b = 17-5=12 $$
$$ a = 17-b = 17-12=5 $$
Nota: en realidad sólo existe una solución al problema ya que si \(b = 12\), entonces \(a = 5\) y si \(b = 5\) entonces \(a = 12\). Esto se debe a que no importa si consideramos un lado como la base o como la altura.
Por tanto, los lados del rectángulo miden 12 y 5 metros.
En un concierto benéfico se venden todas las entradas y se recaudan 23 mil dólares. Los precios de las entradas son 50 dólares las normales y 300 dólares las vip.
Calcular el número de entradas vendidas de cada tipo si el aforo del establecimiento es de 160 personas.
Definimos las incógnitas del sistema:
El número total de entradas coincide con el número total de personas:
$$ v + n = 160 $$
La recaudación es
$$ 300v + 50n = 23000 $$
Resolvemos el sistema de ecuaciones por igualación (aislamos \(v\) en ambas ecuaciones):
De la primera ecuación:
$$ v = 160-n $$
De la segunda ecuación:
$$ v = \frac{23000 - 50n}{300} $$
Igualamos ambas expresiones:
$$ 160-n = \frac{23000 - 50n}{300} $$
La solución de la ecuación de primer grado anterior es:
$$ n = 100 $$
Por tanto,
$$ v = 160-100 = 60 $$
Por tanto, se vendieron 60 entradas vip y 100 normales.
Un niño realiza las siguientes observaciones sobre un parque infantil de pelotas:
Llamaremos \(v\) al número de pelotas verdes, \(r\) al número de pelotas rojas y \(a\) al número de pelotas amarillas.
El segundo punto nos dice que
$$ v+r = 5a $$
El tercer punto nos dice que
$$ v = 3a $$
Y el cuarto nos dice que
$$ a+r = 123 $$
Tenemos un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas.
Resolvemos el sistema por sustitución:
Sustituimos la \(v\) de la segunda ecuación en la primera ecuación:
$$ v+r = 5a $$
$$ 3a+r = 5a $$
Aislamos \(r\):
$$ r = 5a -3a $$
$$ r = 2a $$
Sustituimos \(r\) en la tercera ecuación:
$$ a+r = 123 $$
$$ a+2a = 123 $$
$$ 3a = 123 $$
$$ a = 41 $$
Ahora usamos el valor de \(a\) para obtener las otras incógnitas:
$$ r = 2a = 82 $$
$$ v = 3a = 123 $$
Por tanto, el número de pelotas de cada color es
Calcular el número de números positivos de 3 cifras (mayores que 99 y menores que 1000) tales que una de sus cifras es 0 y las otras dos cifras suman 7.
Como los números son de 3 cifras (siendo una de ellas 0), serán de la forma \(xy0\), o bien, \(x0y\). Las incógnitas \(x\) e \(y\) pueden ser los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y, además, \(y\) puede ser 0.
Nota: los números \(0xy\) no son de tres cifras ya que en realidad lo serían de dos: \(xy\) (menores que 100).
Nota 2: los números \(x\) e \(y\) no pueden ser 8 ni 9 porque entonces su suma sería mayor que 7.
En ambos casos, tiene que cumplirse que las cifras suman 7:
$$ x+y = 7 $$
Por tanto, tenemos las posibilidades siguientes:
x | y | x + y | xy0 | x0y |
1 | 6 | 7 | 160 | 106 |
2 | 5 | 7 | 250 | 205 |
3 | 4 | 7 | 340 | 304 |
4 | 3 | 7 | 430 | 403 |
5 | 2 | 7 | 520 | 502 |
6 | 1 | 7 | 610 | 601 |
7 | 0 | 7 | 700 | 700 |
Nota: \(x\) no puede ser 0 ya que es la primera cifra en ambos casos. Sin embargo, \(y\) sí puede ser 0 por ser la segunda o tercera cifra.
En la tabla se recogen las 7 posibilidades y son válidas para ambos casos, excepto la última, que proporciona el mismo número en la forma \(xy0 = 700\) y \(x0y = 700\).
Por tanto, hay un total de 13 números.
Más problemas: 10 problemas de sistemas explicados.
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