Calcular Ecuaciones a partir de las soluciones

Contenido de esta página:

• Introducción

• 12 Problemas Resueltos

En esta página vamos a calcular ecuaciones para que tengan determinadas soluciones.

Normalmente, aprendemos a resolver ecuaciones, pero no a encontrar ecuaciones que tengan una determinada solución. Quizás, no sea una tarea demasiado útil matemáticamente hablando, pero sí lo es, por ejemplo, para los profesores.

En esta página vamos a calcular ecuaciones polinómicas con coeficientes reales (o enteros, en algunos problemas). Es decir, las ecuaciones deben tener la forma

siendo \(n\) el grado de la ecuación, \(a_n \neq 0\) y \(a_k \in \mathbb{R}\) los coeficientes de la ecuación.

Nota: en los problemas hablamos de ecuaciones y soluciones, pero podemos cambiarlo por polinomios y raíces.

El método de resolución que seguiremos en la mayoría de los problemas es muy simple:

Problema 1

Encontrar una ecuación de primer grado y una de segundo grado para las que \(a = \sqrt{5}\) sea una solución.

Problema 2

Encontrar una ecuación de primer grado y una de segundo grado con coeficientes enteros para las que \(b = \frac{5}{2}\) sea una solución.

Problema 3

A partir de los problemas anteriores, hallar una ecuación de segundo grado y una de tercer grado para las que \(a\) y \(b\) sean soluciones:

$$a = \sqrt{5}$$

$$b =\frac{5}{2}$$

Problema 4

¿Hay alguna ecuación de primer grado con coeficientes enteros cuya solución sea \(a = \sqrt{3}\)?

Problema 5

Encontrar una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros para la que \(a\) sea una solución:

$$ a = 1+\sqrt{3}$$

Problema 6

Encontrar una ecuación con coeficientes enteros para la que \(a\) sea una solución:

$$ a = \sqrt{1+\sqrt{5}}$$

Problema 7

Encontrar una ecuación con coeficientes enteros cuyas soluciones sean \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\) y \(a_3 = -1\).

Problema 8

Hallar una ecuación con coeficientes enteros para la que \(a\) sea una solución:

$$ a = \sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$$

Problema 9

Encontrar una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros para la que \(a\) sea una solución:

$$ a = \frac{1}{1+2\sqrt{3}} $$

Problema 10

Hallar una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros para la que el número complejo \(a = 1+2i\) sea una solución.

Problema 11

Hallar una ecuación con coeficientes enteros para la que \(a\) sea una solución:

$$ a = \sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{3}} $$

Problema 12

¿Es posible encontrar una ecuación de primer grado con coeficientes reales y cuya solución sea un número complejo?

¿Es posible encontrar una ecuación de segundo grado con coeficientes reales con una solución real y una compleja?

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