Ecuaciones de primer grado

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Introducción
Número de soluciones
Fracciones y paréntesis
25 ecuaciones de primer grado resueltas

Enlace: 83 ecuaciones resueltas clasificadas por niveles.

Páginas relacionadas

Ecuaciones por niveles:

$Nivel 4: ecuaciones con fracciones$

$Nivel 5: ecuaciones con fracciones y con paréntesis$

1. Introducción

Introducción a las ecuaciones de primer grado.

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2. Número de soluciones

Ecuación sin solución y ecuación con infinitas soluciones.

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3. Fracciones y paréntesis

Método para evitar denominadores y paréntesis.

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4. 25 Ecuaciones resueltas

A continuación se resuelven ecuaciones de primer grado cuya dificultad va aumentado: ecuaciones simples, con fracciones (donde usaremos el mínimo común múltiplo), con paréntesis y con paréntesis anidados (unos dentro de otros).

En la Parte I, las ecuaciones son más cortas y se explican todos los pasos. Pretenden estar ordenadas de menor a mayor dificultad. En la Parte II, las ecuaciones son un poco más complicadas; y, en la Parte III, se muestran todas las operaciones y pasos, pero no se explican tan detalladamente.

Parte I (6 ecuaciones)

Ecuación I.1: ecuación básica

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Pasamos las x's a un lado de la igualdad (izquierda) y los números al otro lado (derecha):

En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Sumamos los monomios con x’s:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Sumamos los monomios de la derecha:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

El coeficiente de la x es 2. Este número está multiplicando a x, así que pasa al otro lado dividiendo:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3.

Ecuación I.2: ecuación con paréntesis

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Recordamos que los paréntesis sirven para agrupar elementos, para simplificar o para evitar ambigüedades.

El signo negativo de delante del paréntesis indica que los monomios que contiene tienen que cambiar de signo:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Sumamos 3 y -2 en el lado derecho:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Pasamos los monomios con x’s a la izquierda y los números a la derecha:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Sumamos 1 y -1. Como el resultado es 0, no lo escribimos:

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Pasamos 2x a la izquierda restando y sumamos los monomios:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Luego la solución de la ecuación es x = 0.

Ecuación I.3: ecuación con fracciones

$ecuación de primer grado con fracciones 3x/2 +2x/3 = (1+3x)/2$

Resolvemos:

Tenemos varias formas de proceder con las fracciones:

Sumar las fracciones de forma habitual.
Multiplicar la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

En esta ecuación aplicaremos la segunda opción. De este modo los denominadores van a desaparecer.

Multiplicamos, pues, por m.c.m.(2, 3) = 6:

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Para simplificar, calculamos las divisiones:

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Nótese que hemos escrito un paréntesis al eliminar la fracción de la derecha. Esto se debe a que el 3 debe multiplicar al numerador que está formado por una suma.

Calculamos los productos:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Para eliminar el paréntesis, multiplicamos por 3 todos los elementos que contiene:

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Pasamos las x’s a la izquierda:

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Sumamos los monomios:

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Finalmente, el coeficiente de la x pasa dividiendo al otro lado:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

La solución de la ecuación es x = 3/4.

La fracción no se puede simplificar más puesto que ya es irreductible (el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1).

Ecuación I.4: ecuación sin solución

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Eliminamos los paréntesis:

El de la izquierda tiene un 2 delante, por lo que multiplicamos su contenido por 2.

Los otros dos paréntesis tienen un signo negativo delante, así que cambiamos los signos de sus monomios:

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Para simplificar, en cada lado sumamos los monomios con y sin parte literal (los que tienen x y los que no):

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Pasamos las x’s al lado izquierdo y sumamos:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Hemos obtenido una igualdad falsa: -2 = -1. Esto significa que la ecuación nunca se cumple, sea cual sea el valor de x. Por tanto, la ecuación no tiene solución.

Ecuación I.5: ecuación con infinitas soluciones

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Eliminamos los paréntesis multiplicando sus sendos contenidos por el número que tienen delante. No hay que olvidar que si el número de delante es negativo, también hay que cambiar los signos:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

En cada lado, sumamos los monomios según su parte literal:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Pasamos las x’s a la izquierda y los números a la derecha:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Sumamos los monomios:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Hemos obtenido una igualdad que siempre se cumple: 0 = 0. Esto significa que la ecuación se cumple siempre, independientemente del valor de x.

Por tanto, la ecuación tiene infinitas soluciones (x puede ser cualquier número y hay infinitos números).

Podemos expresarlo como “x es cualquier real”:

$$ x \in \mathbb{R} $$

Ecuación I.6: ecuación con paréntesis anidados

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Primero eliminaremos los paréntesis exteriores. Empezamos por el de la izquierda. Este paréntesis tiene un signo negativo delante, por lo que cambiamos el signo a sus sumandos. Uno de los sumandos es otro paréntesis:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Eliminamos el paréntesis que queda en la izquierda multiplicando por 2:

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Sumamos los números en el lado izquierdo para simplificar:

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Eliminamos el paréntesis exterior de la derecha multiplicando sus sumandos por 2:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Eliminamos el paréntesis que queda multiplicando por 2 y cambiando los signos:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Sumamos los monomios en el lado derecho:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Pasamos las x’s a la izquierda, los números a la derecha y simplificamos:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Por tanto, la solución es x = -7.

Parte II (7 Ecuaciones)

Ecuación II.1

$$ 3(x+1) -2x = $$

$$ = x-\left( 2 + 3(3 - x)\right) $$

Resolvemos:

En esta ecuación tenemos paréntesis anidados (uno dentro de otro).

Vamos primero a quitar el pequeño (el de dentro). Éste está multiplicado por 3. Para quitar el paréntesis, tenemos que multiplicar por 3 todos los sumandos de dentro:

$$ 3(x+1) -2x = x-\left( 2 + 3\cdot 3 -3x\right) $$

$$ 3(x+1) -2x = x-\left( 2 + 9 -3x\right) $$

$$ 3(x+1) -2x = x-\left( 11 -3x \right) $$

El interior del paréntesis ya no se puede simplificar más. Como tiene un signo negativo dentro, cambiamos el signo de los sumandos de dentro:

$$ 3(x+1) -2x = x - 11 +3x $$

$$ 3(x+1) -2x = - 11 +4x $$

El paréntesis del lado izquierdo está multiplicado por 3. Para quitarlo, multiplicamos todos los sumandos de dentro por 3:

$$ 3x +3 -2x = - 11 +4x $$

Ahora sólo tenemos que agrupar los monomios según su parte literal:

$$ x +3 = - 11 +4x $$

$$ x = -3 - 11 +4x $$

$$ x = -14 +4x $$

$$ x -4x = -14 $$

$$ -3x = -14 $$

Para despejar la x tenemos que pasar el -3 dividiendo:

$$ x = \frac{-14}{-3} $$

Como el signo del numerador y del denominador es negativo, desaparecen:

$$ x = \frac{14}{3} $$

Ya no podemos simplificar más la expresión de la solución ya que 14 no es divisible por 3, es decir, el máximo común divisor de 14 y 3 es 1.

Ecuación II.2

$$ 1 - 2 ( 1 + 3x - 2(x + 2) + 3x ) = - 1 $$

Resolvemos:

Tenemos paréntesis anidados (uno dentro de otro) y signos negativos delante de ellos.

Antes de trabajar con los paréntesis, podemos sumar los términos 3x y 3x del paréntesis exterior ya que se encuentran en el mismo nivel (no forman parte de paréntesis distintos):

$$ 1 - 2 ( 1 + 6x - 2(x + 2)) = - 1 $$

Como el paréntesis interno está multiplicado por -2, multiplicamos por -2 sus sumandos para poder quitarlo:

$$ 1 - 2 ( 1 + 6x - 2x - 4) = - 1 $$

$$ 1 - 2 ( 6x - 2x - 3) = - 1 $$

$$ 1 - 2 ( 4x - 3) = - 1 $$

Procedemos de igual modo que en el paréntesis anterior:

$$ 1 -8x +6 = - 1 $$

$$ -8x +7 = - 1 $$

$$ -8x = -8 $$

$$ x = \frac{-8}{-8} $$

$$ x = 1 $$

Ecuación II.3

$$ x + \frac{1}{3} \left(x - 3 -\frac{1}{2}\left(4 - 3x\right)\right)= $$

$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

Resolvemos:

Tenemos paréntesis anidados multiplicados por fracciones, algunas de ellas con signo negativo.

Trabajaremos primero en el lado izquierdo de la igualdad. El paréntesis interior está multiplicado por una fracción negativa. Para quitar el paréntesis, tenemos que multiplicar los sumandos de dentro por la fracción:

$$ x + \frac{1}{3} \left(x - 3 -\frac{4}{2} +\frac{3x}{2}\right)= $$

$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

$$ x + \frac{1}{3} \left(x - 3 -2 +\frac{3x}{2}\right)= $$

$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

$$ x + \frac{1}{3} \left(x -5 +\frac{3x}{2}\right)= $$

$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

Notemos que si multiplicamos por 3 toda la ecuación, desaparecen dos denominadores:

$$ 3x + \frac{3}{3} \left(x -5 +\frac{3x}{2}\right)= 3\frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

$$ 3x +\left(x -5 +\frac{3x}{2}\right)= 2\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

El paréntesis de la izquierda lo podemos quitar (está multiplicado por 1) y el de la derecha lo quitamos multiplicando sus sumandos por 2:

$$ 3x + x -5 +\frac{3x}{2}= 2-2\frac{5x}{2} $$

Ahora vamos agrupando los monomios según su parte literal:

$$ 3x + x -5 +\frac{3x}{2}= 2-5x $$

$$ 4x -5 +\frac{3x}{2}= 2-5x $$

$$ 4x +5x +\frac{3x}{2}= 2 + 5 $$

$$ 9x +\frac{3x}{2}= 7 $$

Sumamos las fracciones 9x y 3x/2:

$$ \frac{18x}{2} + \frac{3x}{2}= 7 $$

$$ \frac{21x}{2}= 7 $$

$$ x= \frac{7\cdot 2}{21} $$

Escribimos 21 como un producto para reducir la fracción:

$$ x= \frac{7\cdot 2}{7\cdot 3} $$

Los 7 desaparecen y obtenemos la solución

$$ x= \frac{2}{ 3} $$

Ecuación II.4

$$ \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = \frac{x}{3} + 1 -\frac{1}{2}\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$

Resolvemos:

Tenemos los denominadores 2 y 3. Multiplicamos por su mínimo común múltiplo, 6, para trabajar sin fracciones:

$$ 6\frac{x}{2} + 6\frac{2}{3} = 6\frac{x}{3} + 6 -6\frac{1}{2}\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$

$$ 3x+ 4 = 2x + 6 -3\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$

$$ 3x-2x+ 4 -6 = -3\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$

$$ x -2 = -3\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$

La fracción que queda tiene un signo negativo delante, lo que supone cambiar el signo del numerador.
Como el numerador es una suma, cambiamos el signo a ambos sumandos:

$$ x -2 = -3\left(1+\frac{-x-1}{3}\right)$$

Realizamos la suma en el interior del paréntesis:

$$ x -2 = -3\left(\frac{3}{3}+\frac{-x-1}{3}\right)$$

$$ x -2 = -3\left(\frac{3-x-1}{3}\right)$$

$$ x -2 = -3\left(\frac{2-x}{3}\right)$$

Tenemos el paréntesis multiplicado por 3, pero su interior está dividido entre 3, así que podemos quitar ambos:

$$ x -2 = -\left(2-x\right)$$

Quitamos el paréntesis cambiando el signo de sus sumandos (ya que hay un signo menos delante)

$$ x -2 = -2 + x$$

$$ x -x -2 = -2$$

$$ -2 = -2 $$

$$ 0 = 0 $$

Como tenemos una igualdad verdadera, la ecuación se cumple independientemente de los valores que tome x. Por tanto, la solución es todos los reales:

$$ x\in \mathbb{R} $$

Ecuación II.5

$$ 2\left( x - 3\left( x - 4\left( x -\left( \frac{x}{8}+ 1 \right) \right) \right) \right)=1$$

Resolvemos:

Tenemos múltiples paréntesis anidados, algunos con signo negativo delante.

Comenzamos por el más interno: como tiene un signo menos, para quitarlo cambiamos el signo de todos sus sumandos

$$ 2\left( x - 3\left( x - 4\left( x -\frac{x}{8}- 1 \right) \right) \right)=1$$

El más interno está multiplicado por -4. Para quitarlo multiplicamos por -4 sus sumandos (multiplicar por 4 y cambiar el signo)

$$ 2\left( x - 3\left( x -4x +4\frac{x}{8}+4 \right) \right)=1$$

$$ 2\left( x - 3\left( x -4x +\frac{x}{2}+4 \right) \right)=1$$

$$ 2\left( x - 3\left( -3x +\frac{x}{2}+4 \right) \right)=1$$

De nuevo, el paréntesis interno está multiplicado por un número negativo:

$$ 2\left( x+ 9x -3\frac{x}{2} -12 \right)=1$$

$$ 2\left( 10x -\frac{3x}{2} -12 \right)=1$$

Quitamos el último paréntesis:

$$ 20x -2\frac{3x}{2} -24 =1$$

$$ 20x -3x -24 =1$$

$$ 17x =1+24$$

$$ 17x =25$$

$$ x=\frac{25}{17}$$

No podemos reducir más la fracción ya que el máximo común divisor de 25 y 17 es 1 (porque 17 es primo).

Ecuación II.6

$$ x-\frac{2}{3}\left(-1-\left(\frac{15}{2}-x \right)\right)=\frac{x}{3}+1 $$

Resolvemos:

Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar algunas de las fracciones:

$$ 3x-2\left(-1-\left(\frac{15}{2}-x \right)\right)=x+3 $$

El paréntesis interno tiene un signo delante: cambiamos el signo de todos sus sumandos para poder quitarlo:

$$ 3x-2\left(-1-\frac{15}{2}+x \right)=x+3 $$

El paréntesis está multiplicado por -2. Para quitarlo, multiplicamos sus sumandos por -2 (multiplicar por 2 y cambiar el signo):

$$ 3x+2+2\frac{15}{2}-2x =x+3 $$

$$ 3x+2+15-2x =x+3 $$

Ahora sólo queda agrupar los monomios:

$$ 3x-2x -x =3-2 -15 $$

$$ 0 = -14 $$

Obtenemos una igualdad falsa, independientemente del valor de la incógnita. Esto quiere decir que no hay ningún valor para el que la ecuación se cumpla: no existe solución.

Ecuación II.7

$$ \frac{5x}{3} -2 \left( \frac{x}{3}+x \right) =-x $$

Resolvemos:

Quitamos el paréntesis multiplicando por -2 su contenido (multiplicar por 2 y cambiar el signo):

$$ \frac{5x}{3} \frac{-2x}{3}-2x = -x $$

Multiplicamos toda la ecuación por 3 para evitar las fracciones:

$$ 5x -2x-6x = -3x $$

Agrupamos los monomios:

$$ 5x -2x-6x +3x= 0 $$

$$ -3x +3x= 0 $$

$$ 0= 0 $$

Obtenemos una igualdad que siempre es cierta, independientemente del valor de la incógnita. Esto quiere decir que la ecuación tiene infinitas soluciones: cualquier valor es una solución:

$$ x\in \mathbb{R} $$

Parte III (12 Ecuaciones)

Ecuación III.1

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Sumamos (o restamos) los monomios con la misma parte literal (las x con x, los números con números). Los que están sumando en un lado, pasan al otro lado restando y viceversa.

Después pasamos las x a un lado de la igualdad y los números a la otra.

Resolvemos la ecuación 2x -3x +2 +5 = 3 + 2 obteniendo x = 2

Ecuación III.2

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Los elementos que están sumando en un lado, pasan al otro lado restando y viceversa.

Después pasamos las x a un lado de la igualdad y los números a la otra.

Resolvemos la ecuación 2x -7x +1 +1 = -2x + 7x +1 obteniendo x = 1/10

Como la x tiene un coeficiente (-10), que está multiplicando, éste pasa al otro lado dividiendo.

Ecuación III.3

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Primero nos deshacemos del paréntesis: como tiene un signo negativo delante, cambiamos el signo a todos los elementos de su interior.

Luego sólo tenemos que agrupar las x en un lado y los números en el otro.

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Como la x tiene un coeficiente (2) multiplicando, éste pasa al otro lado dividiendo.

Ecuación III.4

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Primero nos deshacemos de los paréntesis: el de la derecha tiene un signo negativo, que cambia el signo de los elementos del interior; el de la derecha está multiplicado por 3, que pasa dentro del paréntesis multiplicando a todos los elementos.

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Ecuación III.5

ecuaciones de primer grado resueltas

Resolvemos:

Tenemos fracciones. Podemos proceder de varias formas:

multiplicar todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores
o bien, ir multiplicando por cada denominador .

Nosotros multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo, que es 6:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

De este modo, al efectuar la división, desaparecen los denominadores.

Ahora nos deshacemos de los paréntesis: el primero está multiplicado por 3, por lo que multiplicamos por 3 su contenido; el segundo por -2, por lo que multiplicamos por -2 (no olvidar el signo):

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Finalmente, agrupamos las x a un lado y los números al otro:

$resolución de ecuaciones de primer grado paso a paso: ecuaciones simples, con fracciones, con paréntesis, con paréntesis dentro de otros, con signos negativos y ecuaciones sin soluciones o con infinitas soluciones$

Tenemos 0 = -2, lo cual es una igualdad falsa. Por tanto, la ecuación no tiene solución porque sea cual sea el valor de x, llegamos a una relación (igualdad) absurda.