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Problemas de funciones

Contenido de esta página:

  1. Introducción

  2. Recordatorio: conceptos de función, dominio, codominio, imagen y gráfica.

  3. 6 Problemas resueltos sobre funciones (dominio, imagen y gráfica)

  4. 13 Problemas resueltos de planteamiento, aplicación e interpretación de funciones (lineales).

Enlaces relacionados:


1. Introducción

Primero, recordamos los conceptos de función, dominio, codominio, imagen y gráfica. Después, resolvemos problemas sobre funciones. Los problemas están clasificados en dos grupos:

2. Recordatorio

En esta sección repasamos los conceptos de función, dominio, codominio, imagen, anti-imagen y gráfica.

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

Ver conceptos

3. Problemas resueltos (Parte I)


En esta colección de problemas reforzamos los conceptos relacionados con las funciones: dominio, codominio e imagen.

Problema 1

Justificar cuáles de las siguientes representaciones son la gráfica de una función y cuáles no:

Figura 1:

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

Figura 2:

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

Figura 3:

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

Figura 4:

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

Figura 5:

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

Solución

Problema 2

Los dominios (los valores que puede tomar la variable) de determinadas funciones son

  1. \( 1\leq x \leq 3 \)

  2. \( -6\leq x < 6 \)

  3. \( -2< x \leq 4 \)

  4. \( -15\leq x < -5 \)

  5. \( -6< x < 0 \)

  6. \( -\infty < x \leq -5 \)

Se pide representarlos en la recta real.

Más información: Intervalos.

Solución

En los dos siguientes problemas, se pide representar la gráfica de una función. Para ello, puedes escribir en una tabla algunos números de su dominio y sus respectivas imágenes, obteniendo así algunos puntos de la gráfica. Después, une los puntos para obtener la gráfica.

Problema 3

Representar la gráfica de la función

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

¿Cuál es el dominio y la imagen de la función?

Solución

Problema 4

Representar la gráfica de la función

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

Solución

Problema 5

Calcular el dominio de las siguientes funciones.

Nota: una función puede tener varios dominios posibles, pero nosotros queremos que sea lo más grande posible.

Más información: Dominio y recorrido de funciones.

Solución

Problema 6

Observando las gráficas, calcular el dominio y la imagen de las funciones que representan:

Gráfica 1:

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

Gráfica 2:

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Gráfica 3:

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Gráfica 4:

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Gráfica 5:

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Solución

4. Problemas resueltos (Parte II)


Problema 1

Si el coste de fabricación de un bolígrafo es de 0,3$ por unidad y se venden por 0,5$, calcular:

  1. La función de beneficios en función del número de bolígrafos vendidos. Representar su gráfica.

  2. Calcular los beneficios si se venden 5.000 bolígrafos.

  3. Calcular cuántos bolígrafos deben venderse para generar unos beneficios de 1.648$.

Solución

Problema 2

Una empresa discográfica realiza una inversión inicial de 5.000$ para preparar las canciones de un álbum musical. El coste de fabricación y grabación de cada disco es de 4$. Además, la discográfica debe pagar al cantante 1$ por cada disco por derechos de autor.

Se decide que el precio de venta del disco sea 15$.

Se pide:

  1. La función de beneficios (ganancias menos gastos) de la empresa en función del número de discos vendidos. Representar su gráfica.

  2. El número de discos que deben venderse para que la empresa tenga unas ganancias de 100.000$.

  3. ¿Cuáles son los beneficios si se venden sólo 200 discos?

Solución

Problema 3

Antonio va a comprarse un teléfono móvil y está estudiando la oferta de dos compañías distintas:

La compañía A le ofrece pagar 0,2$ por el establecimiento de la llamada y 0,15$ por cada minuto de llamada.

La compañía B le ofrece pagar 0,5$ por el establecimiento de la llamada y 0,05$ por cada minuto de llamada.

Se pide:

  1. Representar la función del coste de una llamada en cada una de las compañías.

  2. Calcular cuándo es más recomendable una compañía u otra en función del tiempo de duración de una llamada.

  3. Antonio sabe que, aproximadamente, realiza 100 llamadas mensuales que suman un total de 350 minutos. ¿Qué compañía le conviene?

Solución

Problema 4

Manuel quiere imprimir su novela y pide presupuesto a una papelería. Le dicen que el coste de impresión por cada libro sería:

Se pide:

  1. Calcular la función (por partes) que proporciona el coste d impresión en función del número de libros. Representar su gráfica.

  2. ¿Cuánto debe pagar Manuel si imprime 60 libros? ¿Y si imprime 220 libros? ¿Y si imprime 400 libros?

  3. Calcular cuánto debe pagar Manuel si imprime 299 libros. ¿Y si imprime 300 libros?. Observar la gráfica de la función para comentar el resultado.

Solución

Problema 5

Problemas resueltos de planteamiento, aplicación, representación de funciones y gráficas de funciones. Problemas teóricos y problemas de aplicación. Introducción a las funciones.

Observando la anterior gráfica de una función definida por partes, calcular:

Solución

Problema 6

Un auto circula por una autopista recta a velocidad constante. El copiloto cuenta las farolas que hay en la calzada:

Obtener la función que proporciona el número de farolas vistas en función del tiempo sabiendo que es una ecuación lineal.

¿Cuántas farolas habrá visto en media hora?

Solución

Problema 7

El consultor de una empresa está estudiando la función de producción de la empresa. Dicha función, \(f(x)\), proporciona el número de millares de artículos fabricados en el día \(x\) de una determinada semana.

La gráfica de la función es

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Contestar:

Solución

Problema 8

Se estima que en un campo de 360 naranjos producirá 30.240 mandarinas. Suponiendo que todos los árboles producen la misma cantidad de frutos, calcular:

Solución

Problema 9

Un laboratorio de medicinas vende una caja de penicilina que contiene 20 cápsulas por $15. Obtener:

Solución

Problema 10

El dueño de una tienda invirtió $18 para para comprar 60 bolsas de frituras. Si vende cada bolsa en $0,5, obtener:

Solución

Problema 11

Una empresa que vende agua tiene dos máquinas embotelladoras:

Obtener:

Solución

Problema 12

Un banco tiene tres tipos de hipotecas: f, g y h. Cada una de las hipotecas tiene unos intereses distintos y los beneficios del banco en cada una de ellas vienen dadas por las funciones \(f(x)\), \(g(x)\) y \(h(x)\), respectivamente, siendo \(x\) el número de años de duración de la hipoteca.

Cuando se desea contratar una hipoteca, el banquero observa las gráficas de los beneficios para escoger la que produce más beneficios al banco:

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Contestar:

Solución

Problema 13

El oso panda de un zoológico pesó 3,5kg al nacer. Sabiendo que los ejemplares de su especie aumentan una media de 2,5kg cada mes durante los primeros 3 años de vida, calcular:

Solución


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