Problemas de funciones

Sean dos conjuntos de números \(A\) y \(B\), por ejemplo,

Por ejemplo,

La función \(f\) del ejemplo relaciona los números \(a\), \(b\) y \(c\) del conjunto \(A\) con los números \(\alpha\), \(\delta\) y \(\beta\) del conjunto \(B\).

Continuando con el mismo ejemplo,

• la imagen de \(a\) es \(\alpha\), es decir, \(f(a) = \alpha\),

• la imagen de \(b\) es \(\delta\), es decir, \(f(b) = \delta\), y

• la imagen de \(c\) es \(\beta\), es decir, \(f(c) = \beta\).

• El número \(\gamma\) de \(B\) no es la imagen de ningún número del dominio.

El recorrido de la función \(f\) del ejemplo anterior es

$$ Im(f) = \{\alpha ,\ \delta ,\ \beta\}$$

En el ejemplo,

• como \(f(a) = \alpha\), la anti-imagen de \(\alpha\) es \(a\),

• como \(f(b) = \delta\), la anti-imagen de \(\delta\) es \(b\), y,

• como \(f(c) = \beta\), la anti-imagen de \(\beta\) es \(c\).

• El número \(\gamma\) del codominio no tiene anti-imagen. Por tanto, \(\gamma\) no es un elemento de la imagen de \(f\).

Nota: hay que tener en cuenta que

• Un número \(x\) del dominio sólo puede tener una imagen.

• Todos los números del dominio deben tener imagen.

• Un número \(y\) de la imagen puede tener varias anti-imágenes.

• La imagen y el codominio no siempre coinciden, por lo que algunos números del codominio pueden no tener anti-imagen.

Nota 2: Normalmente, por comodidad, las funciones se definen de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), sin excluir los números de \(\mathbb{R}\) que no forman parte del dominio, es decir, aquellos que no tienen imagen.

Por ejemplo, el dominio de la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = \frac{1}{x}\) es el conjunto de los reales distintos de 0 (ya que no se puede dividir entre 0):

$$ Dom(f) = \{x\in \mathbb{R} : x \neq 0\}$$

Ejemplo: la función \(f(x) =2x\) le hace corresponder a cada número real \(x\) su doble, \(2x\). Los puntos de su gráfica son los puntos \((x, 2x)\).

Su gráfica es

Obsérvese que la gráfica de la función del ejemplo anterior es una recta. Pero no siempre es así. La forma de la gráfica depende del tipo función (función lineal, parabólica, exponencial, racional...).

Ejemplos de gráficas:

Gráfica de la función cuadrática \(f(x) = x^2 +1\):

Gráfica de la función exponencial \(f(x) = 2^x \):

Gráfica de la función racional \(f(x) = \frac{1}{2x}\):

Cada número del dominio de una función debe tener una única imagen. Si tiene más, no es una función.

Figura 1:

Es la circunferencia de centro (0,0) y radio 1.5.

No puede ser la gráfica de una función porque tiene los puntos (0,1.5) y (0, -1.5). Es decir, la imagen de \(x = 0\) sería \( f(0) = 1.5\) y \(f(0) = -1.5\).

Figura 2:

Es la gráfica de una parábola, es decir, de una función del tipo \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Concretamente, se trata de la función

$$ f(x) = x^2 - x$$

Figura 3:

En la figura 3 tenemos la recta horizontal \( y = 3\), que es la gráfica de la función constante \(f (x) = 3\).

Figura 4:

Es la recta vertical \(x = 5\). Las rectas verticales no son la gráfica de una función porque esto implicaría que \(x = 5\) tenga infinitas imágenes.

Los puntos de la gráfica son

$$ (5, y), \forall y \in \mathbb{R} $$

Figura 5:

Es la gráfica de una función polinómica con 6 raíces. Concretamente, es la gráfica de la función

$$ f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) $$

1. \( 1\leq x \leq 3 \)

   

2. \( -6\leq x < 6 \)

   

3. \( -2 < x \leq 4 \)

   

4. \( -15\leq x < -5 \)

   

5. \( -6< x < 0 \)

   

6. \( -\infty < x \leq -5 \)

   

El dominio de la función es el intervalo cerrado \(\left[0,6\right]\) (en el enunciado se indican los valores que puede tomar \(x\)).

Como la función es un polinomio de segundo grado, es una parábola. Además, como el coeficiente director (el del monomio \(x^2\)) es positivo, tiene forma de U.

El vértice de la parábola es el punto cuya primera coordenada es

Luego la segunda coordenada es

El vértices es \((3,-4)\).

Calculamos la función en los extremos del intervalo del dominio:

La tabla que obtenemos es

Por tanto, tenemos los puntos

Con estos tres puntos podemos representar la gráfica fácilmente:

Observando la gráfica, la imagen o recorrido de la función es el intervalo \(\left[-4,5\right]\) porque la función toma todos los valores entre -4 y 5 incluidos.

El dominio de la función es el intervalo \(\left[ 0,4\right]\).

Como la función es un polinomio de grado 2, es una parábola.

Evaluamos la función en los extremos del dominio para obtener dos puntos:

Los puntos son

Calculamos el vértice:

El vértice está en el punto \((2,1)\).

La tabla obtenida es

Luego la gráfica de la función es

La imagen de la función es el intervalo \(\left[-3,1 \right]\).

• Función \(f\):

  Como la función es un polinomio, \(x\) puede tomar cualquier valor real. Por tanto, el dominio es todos los reales: \(\mathbb{R}\).

• Función \(g\):

  Se trata de una función racional (una fracción). Tenemos que excluir los puntos \(x\) para los que el denominador se anula (ya que no se puede dividir entre 0).

  Tenemos que resolver una ecuación de segundo grado:

  

  Los valores que no puede tomar \(x\) son -4 y 4. Por tanto, el dominio es

  

• Función \(h\):

  Antes que nada, la expresión de la función puede reducirse. Nótese que el numerador puede escribirse como

  

  Por tanto, la función queda como

  

  Así, es fácil ver que el dominio es todos los reales.

• Gráfica 1:

  El dominio es todos los reales (\(\mathbb{R}\)).

  El recorrido es el intervalo \(\left[ -4, +\infty \right[\).

  Se trata de una parábola. Más concretamente, es la función

  $$ f(x) = (x-3)^2-4$$

• Gráfica 2:

  El dominio es todos los reales (\(\mathbb{R}\)).

  El recorrido es el intervalo \(\left] -\infty, 20 \right]\).

  Se trata de una parábola. Más concretamente, es la función

  $$f(x) = -(x+5)^2+20$$

• Gráfica 3:

  El dominio es todos los reales excepto 2, es decir, \(\mathbb{R}-\{2\}\).

  El recorrido es todos los reales excepto 0, es decir, \(\mathbb{R}-\{0\}\).

  Se trata de una hipérbola. Más concretamente, es la función

  $$ f(x) = 1/(x-2) $$

• Gráfica 4:

  El dominio es todos los reales.

  El recorrido es el intervalo \(\left]0,10\right]\).

  Es la gráfica de la función \(f(x) = 10/(x^2+1)\).

• Gráfica 5:

  El dominio es todos los reales excepto los puntos 2 y -2.

  El recorrido es todos los reales excepto 0.

  Es la gráfica de la función \(f(x) = 1/(x^2-4)\).

Apartado a:

Como cada bolígrafo se vende por 0,5$ y su coste de fabricación es de 0,3$, los beneficios por cada bolígrafo vendido son

Por tanto, si se venden \(x\) bolígrafos, los beneficios son

La función de beneficios es

Exigimos \(x\) sea mayor o igual que 0 (\(x ≥ 0\)) porque el número de bolígrafos vendidos no puede ser negativo.

Para representar la gráfica, damos algunos valores a \(x\) para obtener algunos puntos:

La gráfica de la función es

Apartado b:

Si se venden 5.000 bolígrafos, aplicando la función, los beneficios son

Los beneficios son 1.000$.

Apartado c:

Queremos calcular el número \(x\) de bolígrafos vendidos para que las ganancias sean 1.648$. Para ello, resolvemos la ecuación

Es decir,

Deben venderse 8.240 bolígrafos.

Apartado a:

Por un lado, los gastos de la empresa son:

• 5.000$ para preparar el disco.

• 4$ por cada disco grabado.

• 1$ de derechos de autor del cantante por cada disco.

Por otro lado, las ganancias de la empresa son 15$ por cada disco.

La función de beneficios de la empresa en función del número de discos vendidos \(x\) es

Nota: como la inversión de 5.000$ no depende del número de discos, no multiplicamos 5.000 por \(x\).

Su gráfica es

Apartado b:

Calculamos \(x\) para que las ganancias sean 100.000$:

Para ganar 100.000$, la discográfica debe vender 950 discos.

Apartado c:

Si se venden 200 discos, los beneficios son

Los beneficios son negativos porque no se venden suficientes discos para recuperar la inversión inicial de 5.000$. En esta situación, la discográfica pierde 3.000$.

Apartado a:

En la compañía A, por cada llamada, se pagan 0,2$ más 0,15$ por cada minuto. Por tanto, el coste de una llamada en función del número \(x\) de minutos es

En la compañía B, el coste es de establecimiento es de 0,5$ y el coste por cada minuto es de 0,05$. Por tanto, la función del coste es

Representamos ambas gráficas:

Apartado b:

Observando las gráficas, si la llamada dura 3 minutos, el coste es el mismo en ambas compañías:

Para las llamadas de menos de 3 minutos, conviene contratar la compañía A (la gráfica de \(f\) está por debajo de la de \(g\)). Y para llamadas de más de 3 minutos, la compañía B.

Apartado c:

Vamos a calcular el precio que debería pagar Antonio en cada una de las compañías por las 100 llamadas con un total de 350 minutos.

Lo que haremos es multiplicar el coste del establecimiento de llamada por 100 y el coste de cada minuto por 350.

Compañía A:

Compañía B:

Antonio tendría que pagar 72,5$ en la compañía A y 67,5$ en la compañía B. Por tanto, le conviene contratar la compañía B.

Apartado a:

Se trata de una función definida a trozos:

• Si \(0\leq x\leq 100\), \(f(x) = 7\cdot x\).

• Si \(100< x< 300\), \(f(x) = 5\cdot x\).

• Si \(x\geq 300\), \(f(x) = 3\cdot x\).

Es decir, la función es

La gráfica de la función es

Apartado b:

Si imprime 60 libros, el coste total es 420€:

Si imprime 220 libros, el precio total es 1.10€:

Si imprime 400 libros, el precio total es 1.200€:

Apartado c:

Si imprime 299 libros, el precio total es 1.495€:

Si imprime 300 libros, el precio total es 900€:

Es decir, es más caro imprimir 299 libros que imprimir 300.

Si observamos la gráfica, si \(200\leq x \leq 300\), la función toma valores mayores que cuando \(x = 300\).

Una función lineal es de la forma

La variable \(x\) será el número de minutos transcurridos.

Para encontrar \(a\) y \(b\) (la pendiente y la ordenada), sustituimos los datos:

Cuando lleva 1 minuto, ha observado 3 farolas. Es decir, cuando \(x = 1\), \(f(1) = 3\). Por tanto,

Tenemos la ecuación

Cuando lleva 3 minutos, ha observado 15 farolas. Es decir, cuando \(x = 3\), \(f(3) = 15\). Por tanto,

Tenemos la ecuación

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

De la primera ecuación tenemos

Sustituimos en la segunda ecuación:

Calculamos la otra incógnita:

Por tanto, la función es

Media hora son 30 minutos, así que en media hora habrá visto 177 farolas:

El dominio de la función es el conjunto formado por los números naturales del 1 al 7:

El recorrido o imagen de la función es el conjunto de números que toma la función:

Los días más productivos de la semana son el día 2 y el día 7. Los menos productivos son el día 3 y 4.

El número total de artículos fabricados en la semana es: 2 días de 15 millares, 3 días de 10 millares y 2 días de 5 millares. Por tanto, se han fabricado un total de 70 millares:

Primero calculamos cuántas mandarinas produce un naranjo.

Como sabemos que un total de 360 naranjos producen 30.240 mandarinas, entonces cada naranjo produce una media de 84 mandarinas:

Así, la función de mandarinas con respecto a naranjos es

Es una función lineal y su gráfica es

Si se plantan 70 naranjos, en lugar de 360, habrá 430:

Pero como ya sabemos que cada naranjo da una media de 84 mandarinas, el número total de mandarinas es 36.120:

Finalmente, se pide calcular cuántos naranjos se necesitan para producir un mínimo de 50.000 mandarinas.

La función obtenida anteriormente proporciona el número de mandarinas en función del número \(x\) de naranjos. Por tanto, debemos calcular \(x\) para que

Podemos escribir, para que sea más sencillo,

Tenemos la ecuación

El número de naranjos \(x\) tiene que ser un número natural. Por tanto, debe ser \(x = 596\).

Nota: si escogemos \(x = 595\), entonces se producen menos de 50.000 mandarinas:

Luego el número mínimo de naranjos para producir 50.000 mandarinas es 596.

Para la función pedida, \(x\) es el número de cajas vendidas e \(y=g(x)\) es el número total de cápsulas vendidas.

Como cada caja contiene 20 cápsulas, la función es

Su gráfica es

Para la segunda función, \(x\) seguirá siendo el número de cajas vendidas, pero ahora \(y=f(x)\) será la ganancia total.

Como cada caja se vende por $15, la función es

Su gráfica es

Las ganancias son $4.000 para el número de cajas \(x\) tal que

Resolvemos la ecuación:

Como el número de cajas debe ser natural, para alcanzar los $4.000, deben venderse 267 cajas.

Pero debemos calcular el número de cápsulas, no de cajas. Sabiendo que cada caja contiene 20 cápsulas, el número de cápsulas que debe venderse es 5.340:

Finalmente, calculamos las ganancias que se generan si se venden 360 cápsulas. Como cada caja contiene 20 cápsulas, las 360 cápsulas equivalen a 18 cajas:

Utilizamos la segunda función para calcular los ingresos:

Por tanto, si se venden 360 cápsulas, las ganancias ascienden a $270.

Las ganancias del dueño son de $0,5 por cada bolsa vendida. Es decir, si \(x\) es el número de bolsas, las ganancias son

Pero hay que restar los $18 que invirtió.

Luego la función de beneficios es

siendo \(x\) el número de bolsas vendidas.

La gráfica de la función es

Nótese que -18 no multiplica a \(x\) porque no depende del número de bolsas que se vende.

También, hemos escrito el dominio de la función ya que ésta sólo sirve cuando se vende un máximo de 60 bolsas. Para vender más, el dueño de la tienda debe adquirir más bolsas, con su correspondiente inversión.

El dueño de la tienda recupera la inversión cuando los beneficios son $0. Es decir, cuando ni pierde dinero ni lo gana.

Calculamos \(x\) tal que

Por tanto, debe vender 36 bolsas para recuperar la inversión. Si vende menos, habrá perdido dinero y, si vende más, habrá ganado dinero.

Finalmente, calculamos \(f(60)\):

Por tanto, si vende todas las bolsas, tiene un beneficio de $12.

La variable \(x\) representará la cantidad de tiempo en minutos.

Calculamos la función \(f(x)\) que proporciona el número de botellas producidas en \(x\) minutos por la máquina 1:

En dos minutos embotella 4 lotes de 12 botellas. Es decir, 48 botellas en 2 minutos. Por tanto, embotella 24 botellas por minuto.

La función \(f\) es

Para la máquina 2, procedemos del mismo modo:

Los 5,5 lotes de 12 botellas suman un total de 66 botellas en 3 minutos. Por tanto, embotella 22 botellas por minuto.

La función \(g\) es

Las gráficas de las funciones son

A la empresa le conviene adquirir la máquina 1 puesto que embotella más botellas por minuto. La gráfica de \(f\) está por encima de la de \(g\) por esta misma razón.

Para cada duración, el banquero debe escoger la hipoteca cuya gráfica esté por encima de las otras dos.

• Si la duración es menor de 4 años, escoge la hipoteca h.

• Si la duración es de 6 años, escoge la hipoteca f.

• Si la duración es mayor de 12 años, escoge la hipoteca g.

Para responder al último apartado, debemos observar las intersecciones de las gráficas:

• Si la duración es de 4 años, las hipotecas f y h producen los mismos beneficios.

• Si la duración es de 8 años, las hipotecas g y h producen los mismos beneficios.

• Si la duración es de 12 años, las hipotecas f y g producen los mismos beneficios.

La función del peso \(f(x)\) es función del número de meses \(x\) del panda.

Como el panda aumenta 2,5kg al mes, en \(x\) meses, aumentará \(2,5\cdot x\). Pero hay que tener en cuenta el que panda nació pesando 3,5kg.

La función del peso del panda es

El dominio es el conjunto de números que puede tomar \(x\). Como los datos son para los 3 primeros años (36 meses), el dominio es

En notación de intervalos,

La gráfica de la función es

Calculamos el peso a los 6, 9 y 24 meses (2 años son 24 meses):

Por tanto, a los 6 meses pesa 18,5kg; a los 9 meses, 26kg; y a los 2 años, 63,5kg.

Para el último punto debemos sustituir el peso que queremos obtener en la función y resolver la ecuación:

Por tanto, es oso sobrepasará los 80 kilos cuando tenga más de 30,6 meses, es decir, cuando tenga más de 2,55 años.