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Dominio y recorrido de una función

En esta página explicamos el concepto de dominio, codominio y recorrido de una función de una variable y resolvemos 13 ejercicios.

Contenido de esta página:

  1. Definiciones
  2. Algunos ejemplos
  3. Gráfica
  4. 13 ejercicios resueltos (hallar dominio y recorrido)

1. Definiciones

Una función, \(f\), relaciona los elementos de dos conjuntos, \(A\) y \(B\). Normalmente, se escribe \(f:A\rightarrow B\).

\(A\) es el dominio de \(f\) y \(B\) es el codominio. Normalmente, se denota al dominio de \(f\) por \(Dom(f)\).

A cada elemento \(a\) del dominio \(A\), la función \(f\) le asigna un único elemento \(b\) del codominio \(B\). Lo denotamos por

$$ f(a) = b $$

Se dice que \(b\) es la imagen de \(a\) y que \(a\) es la antiimagen de \(b\).

El conjunto de todas las imágenes del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de \(f\). Normalmente, se escribe como \(Im(f)\).

La imagen de \(f\) es un conjunto contenido en el codominio \(B\).


2. Algunos ejemplos


Ejemplo 1

Explicamos los conceptos de dominio, codominio y recorrido (o imagen) de una función y resolvemos ejercicios. Función racional, raíz cuadrada, función definida a trozos, polinómica, exponencial, valor absoluto, logarítmica, etc. Matemáticas. Análisis de una variable real.

Dominio: es el conjunto formado por los números 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 y -4.

Normalmente, el dominio de las funciones que veremos es el conjunto de los números reales: \(\mathbb{R}\).


Codominio: es el conjunto formado por los números 2, -2, 4, -4, 6, -6, 8 y -8.


La imagen de 1 es 2 y la imagen de -3 es -6, es decir, \(f(1) = 2\) y \(f(-3) = -6\).

La antiimagen de 8 es 4 y la antiimagen de -4 es -2, es decir, \(f^{-1}(8) =4\) y \(f^{-1}(-4) = -2\).


Imagen: coincide con el codominio.


La función \(f\) relaciona cada número del dominio con su doble (lo multiplica por dos). Podemos escribir la función \(f\) como

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Así, si sustituimos \(x\) por un elemento del dominio, tenemos su imagen. Por ejemplo,

  • La imagen de 1 es \(f(1) = 2\cdot 1 = 2\).
  • La imagen de -1 es \(f(-1) = 2\cdot (-1) = -2\).
  • La imagen de 2 es \(f(2) = 2\cdot 2 = 4\).
  • La imagen de -2 es \(f(-2) = 2\cdot (-2) = -4 \).

Ejemplo 2

Sea la función \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(f(x) = x^2\). Calculamos algunas imágenes:

  • \(f(0) = 0^2 = 0\)
  • \(f(1) = 1^2 = 1\)
  • \(f(-1) = (-1)^2 = 1\)
  • \(f(2) = 2^2 = 4\)
  • \(f(-2) = (-2)^2 = 4\)
  • \(f(3) = 3^2 = 9\)
  • \(f(-3) = (-3)^2 = 9\)

Dominio:

El dominio de \(f\) es el conjunto de los reales: \(Dom(f) = \mathbb{R}\).

Imagen:

La imagen de \(f\) es el conjunto de los reales no negativos, \(Im(f) = \mathbb{R}^+\), porque el cuadrado de un número siempre es no negativo. Además, todos los reales no negativos tienen antiimagen.

Por ejemplo, el número \(7\) tiene dos antiimágenes: \(+\sqrt{7}\) y \(-\sqrt{7}\) ya que

$$ f(\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^2 = 7 $$

$$ f(-\sqrt{7}) = (-\sqrt{7})^2 = 7 $$


Una elemento \(b\) del codominio puede tener más de una antiimagen, pero un elemento \(a\) del dominio sólo tiene una imagen.


3. Gráfica

La gráfica de una función \(f\) es el conjunto de los puntos \((x, f(x))\) tal que \(x\) es del dominio de \(f\):

$$ \Gamma (f) = \{(x, f(x)) : x\in Dom(f) \} $$

Por ejemplo, la gráfica de \(f(x) = x^2\) es

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Hemos representado algunos puntos que vimos en el ejemplo anterior.

4. Ejercicios resueltos

Nota previa: la forma más rápida de hallar el recorrido de una función es observando su gráfica. Sin embargo, vamos a intentar deducirlo de forma razonada. Para ello, podemos ayudarnos de la monotonía (creciente o decreciente) y de límites.

Calcular el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

Ejercicio 1

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Ejercicio 2

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Ejercicio 3

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Ejercicio 4

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Ejercicio 5

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Ejercicio 6

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Ejercicio 7

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Ejercicio 8

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Ejercicio 9

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Ejercicio 10

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Ejercicio 11

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Ejercicio 12

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Ejercicio 13

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