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Clasificación de los números (test)

Contenido de esta página:

  • Definición de los 5 tipos básicos de números: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.

  • Test online (en el apartado 7).

Nota: nivel secundaria.

Nota 2: utilizaremos el símbolo "," para denotar el punto decimal. Por ejemplo, escribiremos dos coma tres como 2,3.


1. Números naturales: \(\mathbb{N}\)

El conjunto de los números naturales está formado por los números que utilizamos para contar:

1, 2, 3, 4, 5, 6...

Normalmente, el 0 no se considera como un número natural.

Los números naturales se representan con la letra manuscrita

$$\mathbb{N}$$

Es un subconjunto de los números enteros.

X

2. Números enteros: \(\mathbb{Z}\)

El conjunto de los números enteros está formado por el número 0, los números naturales y los números naturales con signo negativo:

0

1, 2, 3, 4, 5...

-1, -2, -3, -4, -5...

Los números enteros se representan con la letra manuscrita

$$\mathbb{Z}$$

Es un subconjunto de los números racionales.

3. Números racionales: \(\mathbb{Q}\)

El conjunto de los números racionales está formado por los números que se pueden escribir como una fracción cuyo numerador es un número entero y cuyo denominador es un número natural. Es decir, son los números con la forma

$$ \frac{m}{n}$$

siendo \(m\) un número de \(\mathbb{Z}\) y \(n\) un número de \(\mathbb{N}\).

Ejemplos:

$$ 0=\frac{0}{1}$$

$$ 4=\frac{8}{2}$$

$$ -3=\frac{-9}{3}$$

$$ 1,4=\frac{7}{5}$$

$$ -0,12=\frac{-3}{25}$$

Los números decimales que son números racionales son:

  • Decimales exactos, como el número 2,31.

  • Decimales periódicos puros, como el número 2,313131... (el 31 se repite indefinidamente).

  • Decimales periódicos mixtos, como el número 2,3111... (el 1 se repite indefinidamente).

Los números racionales se representan con la letra manuscrita

$$\mathbb{Q}$$

Es un subconjunto de los números reales.

4. Números irracionales: \(\mathbb{R-Q}\)

El conjunto de los números irracionales está formado por los números (reales) que no son racionales, es decir, aquellos que no pueden escribirse como una fracción de un entero y un natural.

Estos números tienen infinitos decimales y no son periódicos.

Ejemplos:

  • Algunas raíces, como las raíces de los números primos: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{7}\)...

  • El número pi:

    $$ \pi = 3,1415926535...$$

  • El número áureo, \(\phi\):

    $$ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618033...$$

Los números irracionales suelen representarse mediante

$$\mathbb{R-Q}$$

cuyo significado es "el conjunto de los reales menos el conjunto de los racionales".

Es un subconjunto de los números reales.

5. Números reales: \(\mathbb{R}\)

El conjunto de los números reales está formado todos los números que hemos visto anteriormente. Es decir, racionales (\(\mathbb{Q}\)), irracionales (\(\mathbb{R-Q}\)), enteros (\(\mathbb{Z}\)) y naturales (\(\mathbb{N}\)).

Los números reales se representan con la letra manuscrita

$$\mathbb{R}$$

Como curiosidad, diremos que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos o imaginarios (\(\mathbb{C}\)).

6. Relación de inclusión

Todos los tipos de números que hemos definido mantienen algún tipo de relación de inclusión entre ellos. Es decir,

Algunos conjuntos de números están dentro de otros conjuntos de números

Estas relaciones de inclusión quedan claras en siguiente diagrama:


Observando el diagrama podemos decir, por ejemplo,

Los números naturales son números racionales:

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Q}$$

(que significa \(\mathbb{N}\) está dentro de o contenido en \(\mathbb{Q}\)).


Los números racionales son números reales:

$$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$

(que significa \(\mathbb{Q}\) está contenido en \(\mathbb{R}\)).


Los números naturales no son números irracionales:

$$\mathbb{N}\not\subset \mathbb{R-Q}$$

(que significa \(\mathbb{N}\) no está contenido en \(\mathbb{R-Q}\)).


7. Test online

Pregunta 1

¿El número -5 es un número racional?

No, es un entero.

No, es un irracional.

Sí.


Pregunta 2

¿La raíz cuadrada de 64, \(\sqrt{64}\), es un número racional o irracional?

Es racional porque 8 es un número racional.

Es irracional porque es una raíz cuadrada.

No es ni racional ni irracional.


Pregunta 3

¿El número decimal 3,14141414... es irracional?

Sí, porque tiene infinitas cifras decimales.

Sí, porque no es un decimal exacto.

No, es un número racional.


Pregunta 4

¿La suma de dos números naturales es un número natural?

Sí, siempre.

No, nunca.

Depende de los números que se suman.


Pregunta 5

¿La resta de dos números naturales es un número natural?

Sí, siempre.

No, nunca.

Depende de los números que se restan.


Pregunta 6

¿El número \(\sqrt{5}/2\) es un número racional?

Sí, porque es una fracción.

Sí, porque la división de dos números racionales es un número racional.

No, porque \(\sqrt{5}\) es irracional.


Pregunta 7

¿El conjunto de los números enteros es un subconjunto de los números naturales?

Sí, y también de los irracionales.

Sí, y también de los reales.

No, los naturales son un subconjunto de los enteros.


Pregunta 8

¿La suma de dos números racionales es un número racional?

Sí, siempre.

No, nunca.

Depende de los números que se suman.


Pregunta 9

¿La resta de dos números racionales es un número racional?

Sí, siempre.

No, nunca.

Depende de los números que se restan.


Pregunta 10

¿El producto de dos números racionales es un número racional?

Sí, siempre.

No, nunca.

Depende de los números que se multiplican.


Pregunta 11

¿El producto de dos números irracionales es un número irracional?

Sí, siempre.

No, nunca.

Depende de los números que se multiplican.






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