Cálculo Diferencial de Una Variable (Teoría)

Definición: Derivable y derivada

Sean:

• I un intervalo abierto de los reales
• a un punto de I
• f una función de I en los reales

decimos que f es derivable en a si existe el siguiente límite y, en tal caso, a su valor le llamaremos f '(a):

Decimos que f es derivable en I si lo es en todos los puentos del intervalo.

Llamamos derivada de f a la función f '(x) siendo x de I.

Ejercicios resueltos: Cálculo de derivadas.

Derivadas elementales

Llamamos derivadas elementales o inmediatas a aquéllas que luego utilizaremos para el cálculo de derivadas de funciones más complejas.

Las derivadas elementales las podemos encontrar aquí: Tabla (PDF) de derivadas elementales. Se obtienen mediante el cálculo del límite que define la derivada, del mismo modo que obtenemos las derivadas en los siguientes ejemplos:

Propiedades y Reglas de Derivación

Regla de la Cadena

Regla de la cadena: Sean f y g dos funciones tales que f es derivable en a y g es derivable en f ( a ) , entonces

$$ (g\circ f )'(a) = g'(f(a))\cdot f'(a) $$

Demostración:

Suponemos que f(x) no es constante y que f y g son derivables en a y en f(a), respectivamente.

Aplicando la definición de límite a la composición de f y g:

$$(g\circ f)'(a) = \lim_{x\to a} \frac{(g\circ f)(x)-(g\circ f)(a)}{x-a} =$$

$$ = \lim_{x\to a} \frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} =$$

$$ = \lim_{x\to a} \frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}\cdot \frac{f(x)-f(a)}{f(x)-f(a)} =$$

$$ = \lim_{x\to a} \frac{g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}\cdot \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =$$

$$ = g'(f(a))\cdot f'(a)$$

Extremos y monotonía

• Criterio de extremos:

  Si f es derivable en un extremo (máximo o mínimo local), entonces la derivada es 0 en dicho punto.

• Criterio de monotonía:

  Si f es derivable en a :

  • Si   f ' (a) > 0, entonces f es creciente en a. Esto significa que existe un entorno de a para cuyos valores f es creciente.
  • Si  f ' (a) < 0,  f es decreciente en a.
  • Si  f ' (a) = 0, decimos que a es un punto crítico, esto es, a es un posible extremo (local).
  • Demostración

• Criterio de extremo (segunda derivada): Si a es un punto con f ' (a) = 0   (es decir, a es un punto crítico) y   f admite segunda derivada en a :
  • Si  f '' (a) > 0, el punto a es un máximo (local).
  • Si  f '' (a) < 0, el punto a es un mínimo (local)
  • Si  f '' (a) = 0, el punto a es un punto de inflexión (punto donde cambia la monotonía).
  • Demostración.

Teorema del valor medio de Lagrange

Sea la función continua

$$ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$$

derivable en el intervalo abierto ]a,b[.

Entonces,

$$ \exists c\in ]a,b[,$$

$$f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$$

La demostración consiste en aplicar a la función

$$ h(x) = f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a) $$

el teorema de Rolle:

Teorema de Rolle y del valor medio de Cauchy