Cálculo Diferencial de Una Variable (Teoría) |
Contenido de esta página:
Derivable y Derivada
Derivadas Elementales
Propiedades y Reglas de Derivación
Regla de la Cadena
Extremos y Monotonía
Teorema del Valor Medio de Lagrange
Sean:
decimos que f es derivable en a si existe el siguiente límite y, en tal caso, a su valor le llamaremos f '(a):
Decimos que f es derivable en I si lo es en todos los puentos del intervalo.
Llamamos derivada de f a la función f '(x) siendo x de I.
Ejercicios resueltos: Cálculo de derivadas.
Llamamos derivadas elementales o inmediatas a aquéllas que luego utilizaremos para el cálculo de derivadas de funciones más complejas.
Las derivadas elementales las podemos encontrar aquí: Tabla (PDF) de derivadas elementales. Se obtienen mediante el cálculo del límite que define la derivada, del mismo modo que obtenemos las derivadas en los siguientes ejemplos:
Ejemplos (click para ver demostración) | ||
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Ejercicios resueltos (click para ver solución) | 1 |
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Regla de la cadena: Sean f y g dos funciones tales que f es derivable en a y g es derivable en f ( a ) , entonces
$$ (g\circ f )'(a) = g'(f(a))\cdot f'(a) $$
Demostración:
Suponemos que f(x) no es constante y que f y g son derivables en a y en f(a), respectivamente.
Aplicando la definición de límite a la composición de f y g:
$$(g\circ f)'(a) = \lim_{x\to a} \frac{(g\circ f)(x)-(g\circ f)(a)}{x-a} =$$
$$ = \lim_{x\to a} \frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} =$$
$$ = \lim_{x\to a} \frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}\cdot \frac{f(x)-f(a)}{f(x)-f(a)} =$$
$$ = \lim_{x\to a} \frac{g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}\cdot \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =$$
$$ = g'(f(a))\cdot f'(a)$$
Si f es derivable en un extremo (máximo o mínimo local), entonces la derivada es 0 en dicho punto.
Si f es derivable en a :
Sea la función continua
$$ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$$
derivable en el intervalo abierto ]a,b[.
Entonces,
$$ \exists c\in ]a,b[,$$
$$f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$$
La demostración consiste en aplicar a la función
$$ h(x) = f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a) $$
el teorema de Rolle:
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