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Michel Rolle y el Teorema de Rolle

En esta página proporcionamos una breve biografía del matemático Michel Rolle y enunciamos y demostramos el teorema de Rolle y, como corolario suyo, el teorema del valor medio de Cauchy. También, resolvemos problemas de aplicación del teorema de Rolle.

Contenido de esta página:

  1. Biografía de Michel Rolle
  2. Teorema de Rolle: enunciado y demostración
  3. Teorema del valor medio de Cauchy (como corolario del anterior)
  4. Problemas resueltos de aplicación del teorema de Rolle

1. Michel Rolle (1652-1719)

Michel Rolle (1652-1719) fue un matemático francés conocido por ser el autor de diversos resultados, entre los que destaca el teorema que lleva su nombre, cuyo enunciado y demostración se muestran en esta página.

Rolle no tuvo una gran formación académica, sino que fue un matemático autodidacta. Se dio a conocer 1682 cuando resolvió un problema propuesto por el matemático contemporáneo Jacques Ozanam (1640-1718). La solución fue publicada en el Journal des sçavans.

Su obra más importante fue Traité d’algèbre (1690), en la que inventó la notación para representar la raíz n-ésima de un número x:

$$ \sqrt[n]{x} $$

que sigue utilizándose en la actualidad. La parte más importante de esta obra es la presentación (sin demostración) del método de las cascadas (ahora conocido como teorema de Rolle) para obtener (aproximar) raíces de ecuaciones de cualquier grado.

La demostración del teorema, para polinomios y que no se basa en el cálculo diferencial, fue publicada posteriormente en Démonstration d'une Méthode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez (1691).

Se sabe que el matemático indio Bhaskara Acharia (1114-1185) ya conocía este resultado. Tal como se conoce en la actualidad, el teorema fue demostrado por Louis Cauchy (1789-1857) como corolario del Teorema del Valor Medio (de Lagrange) de 1823.

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2. Teorema de Rolle

Sea \(f\) una función continua en el intervalo cerrado \([a,b]\), derivable en el intervalo abierto \(]a,b[\) y con \(f(a) = f(b)\).

Entonces, existe al menos un punto \(c\) del intervalo \(]a,b[\) que anula a la derivada de \(f\), es decir, \(f'(c)=0\).


Interpretación geométrica:

vida y obra de Michel Rolle

La derivada de una función se anula en los extremos locales (máximos y mínimos). La derivada es la pendiente de la recta tangente, siendo 0 en los extremos.

Demostración:

Sea \(x\) un punto del intervalo cerrado \([a,b]\). Como la función es continua en un compacto cerrado, por el teorema de Weierstrass, existen dos puntos del mismo intervalo, \(x_0,y_0 \in [a,b]\), para los que \(f\) alcanza valores extremos absolutos, esto es,

demostración teorema de Rolle

Si \(x_0\) es un punto interior del intervalo (no es ni \(a\) ni \(b\)), entonces es un extremo de la función. Es suficiente considerar \(c = x_0\). Lo mismo para el punto \(y_0\).

Si no es así, tanto \(x_0\) como \(y_0\) son los extremos del intervalo. Podemos suponer \(a =x_0\) y \(b=y_0\). Entonces,

demostración teorema de Rolle

y como \(f(a) = f(b)\), la función es constante. Y por tanto, su derivada se anula.

3. Teorema del valor medio de Cauchy

Sean \(f\) y \(g\) dos funciones continuas en el intervalo cerrado \([a,b]\) y derivables en el intervalo abierto \(]a,b[\). Consideremos que \(g(a)\neq g(b)\) y que la primera derivada de \(f\) y de \(g\) no se anulan a la vez.

Entonces, existe un punto \(c\) del intervalo abierto \(]a,b[\) tal que

$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$

Demostración:

Aplicamos el teorema de Rolle a la función

demostración teorema del valor medio de Cauchy

y se tiene que existe \(c\) en el intervalo abierto \(]a,b[\) tal que su derivada se anula: \(h'(c)=0\).

Por tanto,

demostración teorema del valor medio de Cauchy

Sabemos que \(g(b) - g(a) \neq 0\) y podemos deducir que \(g'(c) \neq 0\), ya que si \(g'(c) = 0\), también tendríamos \(f '(c) =0\), lo cual no es posible por hipótesis.

Por tanto, podemos escribir la igualdad como está escrita en el enunciado.

4. Problemas resueltos

Problema 1

Comprobar si la función \(f(x)=x^2\) cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo \(\left[-1,1\right]\). En caso afirmativo, hallar \(c\) del intervalo tal que \(f'(c)=0\).

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Problema 2

Comprobar si la función \(f(x) = x-3\) cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo \(\left[0,1\right]\). En caso afirmativo, hallar \(c\) del intervalo tal que \(f’(c)=0\). En caso contrario, ¿se cumplen las hipótesis del teorema en un intervalo cerrado contenido en el anterior?

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Problema 3

Hallar \(b\) para que la función \(g(x) = x^2 -4x +5\) cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo \(\left[0,b\right]\) y calcular el número \(c\) del teorema.

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Problema 4

Sea la función definida a trozos

demostración del teorema de Rolle y problemas resueltos de aplicación

Determinar en cuáles de los siguientes intervalos se verifican las hipótesis del teorema de Rolle:

demostración del teorema de Rolle y problemas resueltos de aplicación

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Problema 5

Estudiar si la siguiente función segmentada verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo \(\left[-1, 1 \right]\):

demostración del teorema de Rolle y problemas resueltos de aplicación

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Problema 6

Hallar, si es posible, el parámetro \(a\) para que la siguiente función definida a trozos verifique las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo \(\left[-1.5, 3\right]\) :

demostración del teorema de Rolle y problemas resueltos de aplicación

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Problema 7

Observando la siguiente gráfica, proporcionar un intervalo cerrado donde la función representada verifique las hipótesis del teorema de Rolle. ¿Cuál es el punto \(c\) del teorema?

demostración del teorema de Rolle y problemas resueltos de aplicación

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