Ecuaciones Irracionales (con radicales)

Contenido de esta página:

  • Breve Introducción

  • Método de Resolución

  • 17 Ecuaciones Irracionales Resueltas



Introducción

Una ecuación irracional es aquella en la que aparecen raíces que contienen a la incógnita, es decir, la incógnita se encuentra bajo signos radicales.

Para resolverlas, se elevan ambos lados de la ecuación al orden de la raíz (al cuadrado, al cubo...).

Esto nos obligará a calcular binomios de Newton, como el cuadrado de la suma:

$$ ( a + b )^2 = a^2 + b^2 + 2a\cdot b $$

por lo que tendremos que escribir la ecuación de modo que no se compliquen los cálculos (por ejemplo, aislar la raíz en uno de los dos lados de la igualdad).

Este procedimiento aumenta el grado de la ecuación, por lo que posiblemente estamos añadiendo soluciones. Es por ello por lo que siempre comprobaremos las soluciones.

Otro problema que conlleva esta potenciación, en el caso de las raíces de orden par, es que debemos asegurarnos de que las expresiones de los radicandos son positivas o cero (una vez encontrada la solución) para que exista la raíz.

En esta sección resolvemos ecuaciones irracionales. Los ejercicios pretenden estar ordenados en orden creciente de dificultad: empezaremos con ecuaciones simples con una sola raíz cuadrada. Luego tendremos dos o tres raíces en la misma ecuación e incluso raíces en los denominadores.

También veremos un ejercicio con una raíz cúbica y otros con raíces anidadas (una raíz dentro de otra).

Respecto a los radicandos, serán, sobre todo, expresiones polinómicas de primer grado.

Temas similares: ecuaciones logarítmicas y sistemas y ecuaciones exponenciales.


Método de Resolución

Vamos a explicar el método de resolución a través de un ejemplo:

$$ \sqrt{x-1} -1 =0 $$

  1. Reordenamos la ecuación: aislamos la raíz en uno de los lados:

    $$ \sqrt{x-1} = 1 $$

  2. Elevamos ambos lados al orden de la raíz. Si la raíz es cuadrada, elevamos a 2; si es cúbica, elevamos a 3; si es de orden 4, elevamos a 4...

    $$ (\sqrt{x-1})^2 = 1^2 $$

  3. Desarrollamos las potencias. En nuestro ejemplo, el signo radical desaparece y el cuadrado de 1 es 1:

    $$ x-1 = 1 $$

  4. Si quedan raíces, vamos de nuevo al primer paso. Si no quedan raíces, resolvemos la ecuación:

    $$ x-1 = 1 $$

    $$ x = 1+1 $$

    $$ x = 2 $$

  5. Comprobamos que todos los radicandos son positivos para las soluciones obtenidas:

    Nuestro radicando es

    $$ x - 1 $$

    Sustituimos x = 2 :

    $$ x-1=2 - 1 = 1 > 0 $$

    Si alguna de las soluciones hace que el radicando sea negativo, entonces no es una solución.



17 Ecuaciones Irracionales Resueltas


Ecuación 1

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

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Ecuación 2

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Ecuación 3

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Ecuación 4

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Ecuación 5

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Ecuación 6

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Ecuación 7

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Ecuación 8

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Ecuación 9

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Ecuación 10

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Ecuación 11

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Ecuación 12

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Ecuación 13

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Ecuación 14

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Ecuación 15

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Ecuación 16

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Ecuación 17

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