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Resolución de ecuaciones irracionales

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Método de resolución

  • 17 ecuaciones irracionales resueltas


1. Introducción

Una ecuación irracional es una ecuación en la que aparecen raíces que contienen a la incógnita en su radicando, es decir, la incógnita se encuentra bajo signos radicales.

Para resolverlas, se elevan ambos lados de la ecuación al orden de la raíz (al cuadrado, al cubo...).

Esto nos obligará a calcular binomios de Newton como el cuadrado de la suma:

$$ ( a + b )^2 = a^2 + b^2 + 2a\cdot b $$

por lo que tendremos que escribir la ecuación de modo que no se compliquen los cálculos (por ejemplo, aislar la raíz en uno de los dos lados de la igualdad).

Este procedimiento aumenta el grado de la ecuación, por lo que posiblemente estamos añadiendo soluciones. Es por ello por lo que siempre comprobaremos las soluciones.

Otro problema que conlleva esta potenciación, en el caso de las raíces de orden par, es que debemos asegurarnos de que las expresiones de los radicandos son positivas o cero (una vez encontrada la solución) para que exista la raíz.

En esta sección resolvemos ecuaciones irracionales. Los ejercicios pretenden estar ordenados en orden creciente de dificultad: empezaremos con ecuaciones simples con una sola raíz cuadrada. Luego tendremos dos o tres raíces en la misma ecuación e incluso raíces en los denominadores.

También veremos un ejercicio con una raíz cúbica y otros con raíces anidadas (una raíz dentro de otra).

Respecto a los radicandos, serán, sobre todo, expresiones polinómicas de primer grado.

Temas similares: ecuaciones logarítmicas y sistemas y ecuaciones exponenciales.

2. Método de resolución

Vamos a explicar el método de resolución a través de un ejemplo:

$$ \sqrt{x-1} -1 =0 $$

  1. Reordenamos la ecuación: aislamos la raíz en uno de los lados:

    $$ \sqrt{x-1} = 1 $$

  2. Elevamos ambos lados al orden de la raíz. Si la raíz es cuadrada, elevamos a 2; si es cúbica, elevamos a 3; si es de orden 4, elevamos a 4...

    $$ (\sqrt{x-1})^2 = 1^2 $$

  3. Desarrollamos las potencias. En nuestro ejemplo, el signo radical desaparece y el cuadrado de 1 es 1:

    $$ x-1 = 1 $$

  4. Si quedan raíces, vamos de nuevo al primer paso. Si no quedan raíces, resolvemos la ecuación:

    $$ x-1 = 1 $$

    $$ x = 1+1 $$

    $$ x = 2 $$

  5. Comprobamos que las soluciones son realmente soluciones:

    Sustituimos x = 2 en la ecuación inicial:

    $$ \sqrt{x-1} -1 = 0 $$

    $$ \sqrt{2-1} -1 = 0 $$

    $$ \sqrt{1} -1 = 0 $$

    $$ 1-1 = 0 $$

    $$ 0 = 0 $$

    Por tanto, x = 2 es una solución.

3. Ecuaciones resueltas

Ecuación 1

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 2

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 3

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 4

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 5

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 6

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 7

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 8

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 9

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 10

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 11

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 12

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 13

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 14

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 15

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 16

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

Ecuación 17

ejercicios de ecuaciones irracionales resueltos paso a paso

Solución

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