Integración por partes

Integramos por partes:

Nota: es importante escoger

$$ x = u \rightarrow dx = du$$

ya que de este modo estamos reduciendo el grado del monomio (de 1 a 0). Si por el contrario escogemos

$$ x = dv \rightarrow v = \frac{x^2}{2} $$

aumentamos el grado (de 1 a 2) y complicamos más la integral ya que el factor de la exponencial se mantiene igual y nos queda la integral

$$ \int {\frac{x^2}{2}\cdot e^x }dx$$

Integramos por partes:

Nota: al igual que en el ejercicio anterior, como no importa si cos x es u ó dv (ya que obtenemos un sinus), elegimos u = x para disminuir su grado (y así desaparece la x). Si escogemos dv = x, aumentamos su grado:

$$ dv = x \rightarrow v = \frac{x^2}{2}$$

En esta integral no tenemos un producto explícito de funciones, pero como no sabemos cuál es la primitiva del logaritmo, lo que hacemos es derivarlo, es decir, u = ln (x)

Nos interesa escoger u = x² (para reducir su exponente) pero entonces nos vemos obligados a que dv = ln(x) y obtener v no es inmediato. Así que escogemos lo contrario:

Si escogemos dv = ln(x), no podremos obtener fácilmente v. Es mejor escoger u = ln(x)

Normalmente escogemos u = x ² para reducir su exponente, pero entonces tendremos que dv = arctan x y no conocemos la primitiva del arctan. Escogemos lo contrario:

Ahora tenemos que calcular la integral de una función racional. Para simplificar su expresión vamos a efectuar la división de polinomios:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} \rightarrow P(x) = Q(x)C(x) + R(x) $$

donde C(x) y R(x) son los polinomios cociente y resto respectivamente.

Dividiendo en la expresión por Q(x) tenemos

$$ \frac{P(x)}{Q(x)} = C(x)+ \frac{R(x)}{Q(x)}$$

usaremos esta descomposición en la integral:

Resolvemos la integral:

Por tanto:

Nota: hemos quitado el valor absoluto del logaritmo ya que su argumento es siempre positivo.

Cada vez que integramos o derivamos cos(x) obtenemos ± sin(x). Por tanto, no nos importa si es u ó dv. Sin embargo, es mejor escoger u = x² ya que al derivar reducimos el exponente: du = 2x. Escogeremos dv = cos(x)

Integramos por partes otra vez, pero tenemos que escoger u = x porque si no, volvemos al paso anterior:

Es decir,

Escogemos u = x para reducir su exponente (y por tanto, desaparece x).

Notemos que la primitiva de

$$ \frac{1}{cos^2(x)}$$

es inmediata.

Parecido a lo que ocurre con sin(x) y cos(x), al derivar o al integrar e^x obtenemos e^x, por lo que no importa si es u ó dv. Si escogemos que la exponencial sea u, este factor se mantendrá siempre en la integral y, además, el monomio (la potencia) será dv e iremos aumentando su grado al calcular v. Por tanto, escogemos dv = e^x y u los monomios del polinomio para reducir su exponente hasta que sea una constante.

En este ejemplo no importa cuáles son los factores u y dv, ya que al integrar y al derivar e^-x obtenemos -e^-x y al integrar y al derivar cos(x) obtenemos ± sin(x).

Se trata de una integral cíclica en la que tendremos que aplicar dos veces integración por partes (con la misma elección para no volver al paso anterior) y tendremos que despejar la integral de la expresión obtenida.

Tenemos de nuevo una exponencial por un seno, por tanto, se trata de una integral cíclica ya que tendremos que aplicar dos veces integración por partes (con la misma elección para no volver al paso anterior) y despejar la integral de la expresión obtenida.

Podemos escoger u y dv al azar.

Escogeremos el polinomio como u para reducir los exponentes hasta que desaparezcan

Cada vez que derivamos o integramos la exponencial obtenemos la misma exponencial pero multiplicada por una constante (o la inversa de dicha constante), por lo que no nos importa si es u ó dv.

Escogemos según el otro factor, que como es un monomio, elegimos u = x² para reducir su exponente:

La integral del arcsin puede considerarse como directa, pero también podemos calcular su primitiva integrando por partes:

Calificamos esta integral como difícil ya que, después de aplicar integración por partes, vamos a transformar el integrando en la derivada de un arctan.

Es cíclica: obtendremos que la integral es igual a una expresión en la que aparece la propia integral. Tendremos que aislar la integral en la ecuación:

Aplicaremos integración por partes 3 veces para reducir el exponente del monomio:

Nota: si se desea, se pueden cambiar los nombres de las variables u y v cada vez que se aplica integración por partes.