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Integración por partes

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Consejos

  • 21 Integrales resueltas por partes

1. Introducción

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

fórmula de integración por partes

Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida De Uniforme (UDV = UV - FVDU).

Aunque se trata de un método simple, hay que aplicarlo correctamente.

Método:

  1. El integrando debe ser un producto de dos factores.

  2. Uno de los factores será u y el otro será dv.

  3. Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.

  4. Se aplica la fórmula.

2. Consejos

  • Escoger adecuadamente u y dv:

    Una mala elección puede complicar más el integrando.

    Supongamos que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por ejemplo x3). Si consideramos dv = x3. Entonces, integrando tendremos que v = x4/4, con lo que hemos aumentado el grado del exponente y esto suele suponer un paso atrás.

    Normalmente, se escogen los monomios como u para reducir su exponente al derivarlos. Cuando el exponente es 0, el monomio es igual a 1 y el integrando es más fácil.

    Algo parecido ocurre con las fracciones (como 1/x). Si consideramos dv = 1/x, tendremos v = log|x| y, probablemente, obtendremos una integral más difícil.

    Como norma general, llamaremos u a las potencias y logaritmos y dv a las exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas.

  • No cambiar la elección:

    A veces tenemos que aplicar el método más de una vez para calcular una misma integral.

    En estas integrales, al aplicar el método por n-ésima vez, tenemos que llamar u al resultado du del paso anterior y dv al resultado v. Si no lo hacemos así, como escoger una opción u otra supone integrar o derivar, estaremos deshaciendo el paso anterior y no avanzaremos.

  • Integrales cíclicas:

    En ocasiones, tras aplicar dos veces integración por partes, tenemos que despejar la propia integral de la igualdad obtenida para poder calcularla. Un ejemplo de esto es la Integral 10.

X

3. 21 Integrales resueltas

Integral 1

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 2

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 3

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 4

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 5

ejercicios resueltos integración por partes

Solución


Integral 6

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 7

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 8

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 9

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 10

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 11

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 12

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 13

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 14

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 15

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 16 (dificultad alta)

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 17

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 18

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 19 (video)

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 20 (video)

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

Integral 21 (video)

ejercicios resueltos integración por partes

Solución

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