Integral 1

Solución
Integramos por partes:

Nota: es importante escoger
$$ x = u \rightarrow dx = du$$
ya que de este modo estamos reduciendo el grado del monomio (de 1 a 0). Si por el
contrario escogemos
$$ x = dv \rightarrow v = \frac{x^2}{2} $$
aumentamos el grado (de 1 a 2) y complicamos más la integral ya que el factor de la exponencial
se mantiene igual y nos queda la integral
$$ \int {\frac{x^2}{2}\cdot e^x }dx$$
Integral 2

Solución
Integramos por partes:

Nota: al igual que en el ejercicio anterior, como no importa si cos x es
u ó dv (ya que obtenemos un sinus), elegimos u = x para disminuir su grado (y así
desaparece la x). Si escogemos dv = x, aumentamos su grado:
$$ dv = x \rightarrow v = \frac{x^2}{2}$$
Integral 3

Solución
En esta integral no tenemos un producto explícito de funciones, pero como no sabemos cuál es la primitiva
del logaritmo, lo que hacemos es derivarlo, es decir, u = ln (x)

Integral 4

Solución
Nos interesa escoger u = x2 (para reducir su exponente) pero entonces nos vemos obligados a que
dv = ln(x) y obtener v no es inmediato. Así que escogemos lo contrario:

Integral 5

Solución
Si escogemos dv = ln(x), no podremos obtener fácilmente v. Es mejor escoger
u = ln(x)

Integral 6

Solución
Normalmente escogemos u = x 2 para reducir su exponente, pero entonces tendremos que
dv = arctan x y no conocemos la primitiva del arctan. Escogemos lo contrario:

Ahora tenemos que calcular la integral de una función racional. Para simplificar su expresión
vamos a efectuar la división de polinomios:
$$\frac{P(x)}{Q(x)} \rightarrow P(x) = Q(x)C(x) + R(x) $$
donde C(x) y R(x) son los polinomios cociente y resto respectivamente.
Dividiendo en la expresión por Q(x) tenemos
$$ \frac{P(x)}{Q(x)} = C(x)+ \frac{R(x)}{Q(x)}$$
usaremos esta descomposición en la integral:

Resolvemos la integral:

Por tanto:

Nota: hemos quitado el valor absoluto del logaritmo ya que su argumento es siempre positivo.
Integral 7

Solución
Cada vez que integramos o derivamos cos(x) obtenemos ± sin(x). Por tanto,
no nos importa si es u ó dv. Sin embargo, es mejor escoger u = x2 ya
que al derivar reducimos el exponente: du = 2x. Escogeremos dv = cos(x)

Integramos por partes otra vez, pero tenemos que escoger u = x porque si no, volvemos
al paso anterior:

Es decir,

Integral 8

Solución
Escogemos u = x para reducir su exponente (y por tanto, desaparece x).
Notemos que la primitiva de
$$ \frac{1}{cos^2(x)}$$
es inmediata.

Integral 9

Solución
Parecido a lo que ocurre con sin(x) y cos(x), al derivar o al integrar ex
obtenemos ex, por lo que no importa si es u ó dv. Si escogemos que la exponencial
sea u, este factor se mantendrá siempre en la integral y, además, el monomio (la potencia) será dv e
iremos aumentando su grado al calcular v. Por tanto, escogemos dv = ex y u los monomios
del polinomio para reducir su exponente hasta que sea una constante.

Integral 10

Solución
En este ejemplo no importa cuáles son los factores u y dv, ya que al integrar y
al derivar e-x obtenemos -e-x y al integrar y al derivar cos(x)
obtenemos ± sin(x).
Se trata de una integral cíclica en la que tendremos que aplicar dos veces
integración por partes (con la misma elección para no volver al paso anterior) y tendremos que
despejar la integral de la expresión obtenida.

Integral 11

Solución
Tenemos de nuevo una exponencial por un seno, por tanto, se trata de una integral cíclica ya que
tendremos que aplicar dos veces integración por partes (con la misma elección para no volver al paso anterior) y
despejar la integral de la expresión obtenida.
Podemos escoger u y dv al azar.

Integral 12

Solución
Escogeremos el polinomio como u para reducir los exponentes hasta que desaparezcan

Integral 13

Solución
Integral 14

Solución
Cada vez que derivamos o integramos la exponencial obtenemos la misma exponencial pero
multiplicada por una constante (o la inversa de dicha constante), por lo que no nos
importa si es u ó dv.
Escogemos según el otro factor, que como es un monomio, elegimos
u = x2 para reducir su exponente:

Integral 15

Solución
La integral del arcsin puede considerarse como directa, pero también podemos calcular
su primitiva integrando por partes:

Integral 16 (dificultad alta)

Solución
Calificamos esta integral como difícil ya que, después de aplicar integración por partes,
vamos a transformar el integrando en la derivada de un arctan.

Integral 17

Solución
Es cíclica: obtendremos que la integral es igual a una expresión
en la que aparece la propia integral. Tendremos que aislar la integral en la ecuación:

Integral 18

Solución
Aplicaremos integración por partes 3 veces para reducir el exponente del monomio:

Nota: si se desea, se pueden cambiar los nombres de las variables u y v
cada vez que se aplica integración por partes.
Integral 19 (video)

Solución
Integral 20 (video)

Solución
Integral 21 (video)

Solución