Integración por sustitución

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Cambios de variable recomendados

  • 10 integrales resueltas por sustitución


Introducción

El método consiste en sustituir el integrando o parte de éste por otra función para que la expresión resultante sea más fácil de integrar. Si escogemos un cambio de variable de modo que al aplicarlo obtenemos en el integrando una función multiplicada por su derivada, la integral será inmediata. Pero en ocasiones un cambio mal escogido puede complicar más la integral.

En el caso de las integrales definidas, al aplicar el cambio hay que actualizar los extremos de la integral. Por ejemplo, si los extremos de la integral inicial (con variable x) son 0 y 1 y la nueva variable es s =2x, los nuevos extremos serán 0 y 0.5. Notemos que de este modo el intervalo de variación de la variable es el mismo.

En esta sección resolvemos integrales indefinidas por medio de este método. Los integrandos son funciones racionales, con raíces, con funciones trigonométricas, raíces en el denominador, logaritmos...

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Cambios de variable recomendados

En la siguiente tabla se recopilan diferentes cambios de variable que suelen funcionar en la mayoría de las integrales que nos encontraremos:

cambios de variable recomendados para integrales


10 Integrales Resueltas por sustitución


Nota previa: en algunas de las integrales utilizaremos que

$$ \int{sin^2(x)}dx = \frac{x}{2} - \frac{sin(x)\cdot cos(x)}{2} $$

$$ \int{cos^2(x)}dx = \frac{x}{2} + \frac{sin(x)\cdot cos(x)}{2} $$


Integral 1

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

Nota 1: esta integral es en realidad inmediata, pero la vamos a resolver mediante sustitución.

Nota 2: en esta integral aplicamos dos cambios de variable para hacer notar, por un lado, que existen múltiples primitivas para una misma función. Y, por otro lado, que pueden aplicarse distintos cambios de variables. No obstante, un cambio de variable mal escogido puede complicar la integral.

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Integral 2

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

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Integral 3

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

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Integral 4

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

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Integral 5 (dificultad alta)

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

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Integral 6

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

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Integral 7

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

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Integral 8 (dificultad alta)

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

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Integral 9

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

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Integral 10

ejercicios resueltos integración por sustitución o 
        	cambio de variable

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