logotipo matesfacil

Integrales definidas: áreas

En esta página enunciamos la regla de Barrow y explicamos cómo aplicarla para calcular el área de una región delimitada por la gráfica de una función y el eje de abscisas. Resolvemos 17 problemas de calcular áreas.

Contenido de esta página:

  1. Integral definida: regla de Barrow
  2. Interpretación geométrica
  3. Región negativa
  4. Región positiva y negativa
  5. Área entre dos gráticas
  6. 17 problemas resueltos de calcular áreas

1. Integral definida: regla de Barrow

La integral definida de la función \(F\) en el intervalo \([a,b]\) es

$$ \int_a^b { F(x) dx}$$

Regla de Barrow:

Si \(f\) es una primitiva de \(F\), es decir, \(f' = F\) o, equivalentemente, \(\int{F(x)dx} = f\), entonces

$$ \int_a^b { F(x) dx} = f(b) - f(a)$$

2. Interpretación geométrica

Bajo ciertas condiciones, la integral definida de \(F\) en el intervalo \([a,b]\) coincide con el área de la región encerrada entre la gráfica de \(F\) y el eje de abscisas para \(a\leq x\leq b\):

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos

El área de la región A es la integral definida

$$A = \int^b_a{F(x)}dx $$

Una de las condiciones para que la integral coincida con el área es que la región debe estar en el semiplano superior (\(y\geq 0\)).

3. Región negativa

Si la región se encuentra en el semiplano inferior (\(y\leq 0\)), entonces, la integral sigue siendo el área de la región, pero con signo negativo:

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos

Por tanto, el área es el valor absoluto de la integral:

$$A = \left| \int^b_a{F(x)}dx \right| $$

4. Región negativa y positiva

Si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas, para calcular el área se debe calcular una integral definida para cada región.

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos

En las regiones de la parte superior, el resultado es no negativo. En las de la parte inferior, es no positivo.

En el caso de la representación, el área de la región es

$$ A + B = \int^b_a{F(x)}dx + \left| \int^c_b{F(x)}dx\right| $$

Si no se calculan las integrales por separado, el resultado de la integral es menor o igual que el área, puesto que estamos sumando áreas positivas y negativas.

5. Área entre dos gráficas

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos. Introducción a la integral impropia de Riemann

El área encerrada entre las gráficas de las funciones \(f\) y \(g\) en el intervalo \([a, b]\) viene dada por la integral de la resta de las funciones:

$$ A = \int^b_a{(f(x)-g(x))dx} $$

Observad que la integral anterior es la resta de las áreas que encierran, por separado, ambas gráficas con el eje de abscisas:

$$ \int^b_a{(f(x)-g(x))}dx = $$

$$ = \int^b_a{f(x)}dx - \int^b_a{g(x)}dx $$

Consideraciones:

6. Problemas resueltos

En el Problema 10 y 11 se calcula el área de un círculo y el área del interior de una elipse, respectivamente, considerando dichas áreas como las delimitadas por funciones.

En el Problema 15 y 16 se calcula el área de una región no acotada mediante el cálculo de una integral impropia de Riemann, cuyo concepto se explica intuitivamente en su resolución.

En el Problema 17 se calcula el área del conjunto intersección de tres conjuntos del plano definidos analíticamente.

Problema 1

Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función \(f(x) = x(x-2)\) y las rectas verticales \(x^2 = 1\).

Solución

Problema 2

Calcular el área de la región delimitada entre la gráfica de la función coseno, \(f(x) = cos(x)\), y las rectas verticales\(x = \pm \pi\).

Solución

Problema 3

Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de la hipérbola \(f\) y el eje de abscisas, siendo

$$ f(x) = \frac{1}{x}, \ 2\leq |x| \leq 3$$

Solución

Problema 4

Calcular el área encerrada entre las gráficas de la recta y la parábola siguientes:

$$ f(x) = x $$

$$ g(x) = x^2 $$

Solución

Problema 5

Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las parábolas

$$ f(x) = x^2 $$

$$ g(x) = -x^2 +2 $$

Solución

Problema 6

Calcular el área de la región encerrada entre el eje horizontal y la función

$$ f(x) = x\cdot sin(x), \ 0\leq x \leq 2\pi $$

Solución

Problema 7

Calcular el área encerrada entre el eje de las abscisas y la gráfica de la función definida a trozos como

\[ f(x) = \begin{cases} |x|, & \quad \text{si } 0 \leq |x| \leq 2 \\ 0, & \quad \text{en otro caso}\\ \end{cases} \]

Solución

Problema 8

Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función polinómica de cuarto grado \(f\), el eje de las abscisas y las rectas verticales \(x = 0\) y \(x = 7\):

$$ f(x) = x(x-1)(x-3)(x-6) $$

Solución

Problema 9

Calcular el área delimitada entre las gráficas de la función valor absoluto, \(f(x) = |x|\), y la función cuadrado, \(g(x) = x^2\).

Solución

Problema 10 (dificultad alta)

Calcular analíticamente mediante integrales definidas el área de un círculo de radio 2.

Ayuda 1: la circunferencia de radio 2 (y centrada en el origen) está formada por los puntos \((x, y)\) del plano que cumplen la ecuación

$$ x^2 + y^2 = 4 $$

Ayuda 2:

$$ \int{cos^2(x)}dx = \frac{sin(x)cos(x)}{2} + \frac{x}{2} $$

$$ sin(arcsin(x))=x$$

$$ cos(arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2} $$

Solución

Problema 11 (dificultad alta)

Calcular analíticamente mediante integrales definidas el área de la región encerrada por la elipse

$$ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{12} = 1 $$

Solución

Problema 12

Calcular el área de la región que delimitan las gráficas de \(f\) y de \(g\) y el eje de abscisas de modo que la región sea adyacente al eje de las abscisas en el intervalo formado por los dos puntos de corte de la gráfica de \(f\) con dicho eje.

$$ f(x) = x^2-2 $$

$$ g(x) = -x^2 -1 $$

Solución

Problema 13

Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones \(f\) y \(g\):

$$ f(x) = (x+1)(x-3)$$

$$ g(x) = -(x-1)(x+3)$$

Solución

Problema 14

Calcular el área encerrada entre las gráficas de las siguientes funciones (valor absoluto y parábola):

$$ f(x) = |x^2 -3| $$

$$ g(x) = 2x^2+1 $$

Solución

Problema 15 (dificultad alta)

Región con área infinita (es una integral impropia de Riemann)

Calcular el área de la región de longitud infinita delimitada por la gráfica de la función

$$ f(x) = \frac{1}{x^2}$$

y el eje de las abscisas en el intervalo de los reales mayores que 1.

Solución

Problema 16 (dificultad alta)

Región con área infinita (es una integral impropia de Riemann)

Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función exponencial

$$ f(x) = e^x $$

y el eje de abscisas en el intervalo de los reales menores que 1.

Solución

Problema 17

Calcular el área de la región determinada por la intersección de los siguientes conjuntos del plano:

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos. Áreas entre gráficas de funciones. Introducción a la integral impropia de Riemann

Solución




acceso al foro

ejercicios interactivos de matemáticas


Integral definida: cálculo de áreas - © matesfacil.com

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.