Cálculo de Áreas: Integrales Definidas

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Introducción

Una de las aplicaciones de las integrales es el cálculo directo de áreas. Recordamos que si f es una primitiva de F, esto es, si

$$\int{F(x)dx} = f(x)+ C \Leftrightarrow f'(x) = F(x) $$

Entonces, la integral definida de F entre los extremos a < b es, por la Regla de Barrow,

$$\int ^b _a{F(x)dx} = f(b)-f(a) $$

Se cumple que este resultado coincide, bajo ciertas restricciones, con el área de la región encerrada entre la gráfica de F y el eje de las abscisas (eje OX) en el intervalo [a, b]:

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos

El área de la región A viene dada por la integral definida

$$A = \int^b_a{F(x)}dx $$


Importante: región negativa

Si la gráfica de la función está por debajo del eje, entonces el resultado de la integral es negativo:

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos

Por tanto, el área es el valor absoluto de la integral:

$$A = \left| \int^b_a{F(x)}dx \right| $$


Consecuencia: región positiva y negativa

Si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas, para calcular el área se deben calcular dos (o más) integrales: una para la región positiva y otra para la negativa (en valor absoluto).

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos

El área de la región encerrada entre la gráfica de F y el eje de las abscisas en el intervalo [a, c] es la suma:

$$ A + B = \int^b_a{F(x)}dx + \left| \int^c_b{F(x)}dx\right| $$

Si no se calculan por separado, el resultado de la integral es el resultado de un área negativa y una positiva y, por tanto, el resultado obtenido es menor que el área real.


Área entre dos gráficas:

El área encerrada entre las gráficas de las funciones f y g en el intervalo [a, b] viene dada por la integral de la resta de las funciones:

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos. Introducción a la integral impropia de Riemann

El área es

$$ A = \int^b_a{(f(x)-g(x))dx} $$

Nota 1: el integrando debe ser la función cuya gráfica es mayor menos la función cuya gráfica es menor.

Nota 2: la integral dada representa el área de la región puesto que

$$ \int^b_a{(f(x)-g(x))}dx = $$

$$ = \int^b_a{f(x)}dx - \int^b_a{g(x)}dx $$

(El área A es el área que hay bajo la gráfica de f menos el área que hay bajo la gráfica de g).

Nota 3: si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas o bajo dicho eje, hay que proceder según se explicó anteriormente.

Nota 4: nótese que el intervalo sobre el que se define la integral coincide con los puntos donde las gráficas se cortan (intersectan).



17 Problemas Resueltos


En esta sección se calculan áreas de regiones delimitadas por funciones y rectas, dos funciones, funciones a trozos y funciones con valor absoluto.

En el Ejercicio 10 y 11 se calcula el área de un círculo y el área del interior de una elipse, respectivamente, considerando dichas áreas como las delimitadas por funciones.

En el Ejercicio 15 y 16 se calcula el área de una región no acotada (de longitud o anchura infinita) mediante el cálculo de una integral impropia de Riemann, cuyo concepto se explica intuitivamente en su resolución.

En el Ejercicio 17 se calcula el área del conjunto intersección de tres conjuntos definidos analíticamente.


Ejercicio 1

Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función

$$ f(x) = x(x-2) $$

y las rectas verticales

$$ x^2 = 1 $$

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Ejercicio 2

Calcular el área de la región delimitada entre la gráfica de la función coseno

$$ f(x) = cos(x)$$

y las rectas verticales

$$ x = \pm \pi $$

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Ejercicio 3

Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de la hipérbola f y el eje de abscisas, siendo

$$ f(x) = \frac{1}{x}, \ 2\leq |x| \leq 3$$

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Ejercicio 4

Calcular el área encerrada entre las gráficas de la recta y la parábola dadas por las funciones

$$ f(x) = x $$

$$ g(x) = x^2 $$

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Ejercicio 5

Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las parábolas

$$ f(x) = x^2 $$

$$ g(x) = -x^2 +2 $$

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Ejercicio 6

Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de f y el eje horizontal

$$ f(x) = x\cdot sin(x), \ 0\leq x \leq 2\pi $$

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Ejercicio 7

Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función definida a trozos

\[ f(x) = \begin{cases} |x|, & \quad \text{si } 0 \leq |x| \leq 2 \\ 0, & \quad \text{en otro caso}\\ \end{cases} \]

y el eje de las abscisas (eje horizontal).

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Ejercicio 8

Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función polinómica de cuarto grado f, el eje de las abscisas y las rectas verticales x = 0 y x = 7.

$$ f(x) = x(x-1)(x-3)(x-6) $$

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Ejercicio 9

Calcular el área delimitada entre las gráficas de la función valor absoluto

$$ f(x) = |x| $$

y la función cuadrado

$$ g(x) = x^2 $$

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Ejercicio 10 (dificultad alta)

Calcular analíticamente mediante integrales definidas el área de un círculo de radio 2.

Ayuda 1: la circunferencia de radio 2 (y centrada en el origen) está formada por los puntos (x, y) del plano que cumplen la ecuación

$$ x^2 + y^2 = 4 $$

Ayuda 2:

$$ \int{cos^2(x)}dx = \frac{sin(x)cos(x)}{2} + \frac{x}{2} $$

$$ sin(arcsin(x))=x$$

$$ cos(arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2} $$

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Ejercicio 11 (dificultad alta)

Calcular analíticamente mediante integrales definidas el área de la región encerrada por la elipse

$$ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{12} = 1 $$

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Ejercicio 12

Calcular el área de la región que delimitan las gráficas de f y de g y el eje de abscisas de modo que la región sea adyacente al eje de las abscisas en el intervalo formado por los dos puntos de corte de la gráfica de f con dicho eje.

$$ f(x) = x^2-2 $$

$$ g(x) = -x^2 -1 $$

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Ejercicio 13

Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones f y g:

$$ f(x) = (x+1)(x-3)$$

$$ g(x) = -(x-1)(x+3)$$

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Ejercicio 14

Calcular el área encerrada entre las gráficas de la función valor absoluto

$$ f(x) = |x^2 -3| $$

y la parábola

$$ g(x) = 2x^2+1 $$

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Ejercicio 15

Región de longitud infinita: Integral impropia de Riemann

Calcular el área de la región de longitud infinita delimitada por la gráfica de la función

$$ f(x) = \frac{1}{x^2}$$

y el eje de las abscisas en el intervalo de los reales mayores que 1.

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Ejercicio 16

Región de longitud infinita: Integral impropia de Riemann

Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función exponencial

$$ f(x) = e^x $$

y el eje de abscisas en el intervalo de los reales menores que 1.

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Ejercicio 17

Calcular el área de la región determinada por la intersección de los siguientes conjuntos del plano:

integrales definidas: cálculo de áreas (regiones) del plano: ejercicios resueltos. Áreas entre gráficas de funciones. Introducción a la integral impropia de Riemann

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